抓其不变 悟其本质 培养学生解决问题的能力

摘要：本文以平面向量的一节习题课为例，阐述如何培养及提升学生分析问题与解决问题的能力.

关键词：核心素养;数学思想;课程标准

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）09-0049-03

收稿日期：2021-12-25

作者简介：徐媛媛（1978.3-），安徽省滁州人，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

纵观近十年的平面向量的真题，发现对学生灵活运用“向量”这一工具解决问题的能力要求越来越高.为此，本文以一节平面向量的习题课为例，浅谈一下在课堂教学中如何提升学生解决问题的能力.

1 回归基本概念，理解其本质，并灵活运用

“回归基本概念”指的是重新审视概念，并用相应的概念去解决问题，实际上这是一种朴素而又重要的策略和思想方法.平面向量的基本概念既是关于平面向量问题的出发点，同时也是新知识、新思维的生长点.对于解决平面向量问题，如果能真正做到理解概念的本质，才能真正灵活运用，往往能达到化难为易，化繁为简的解题效果.

设计意图：此题重在考查学生对基本定理的理解.此题的本质是已知三角形及边上两个确定的分点D、E，点O也因DC，BE而确定.根据平面向量基本定理的内容可知：任意向量均能分解为一组基底的线性运算，且分解具有唯一性.此题的难点是点O的位置实际上是确定的，但条件中没有直接给出，所以不方便直接求出AD的基底表示.解法1的思维是方程思想，利用条件中两个重要的信息D、O、C和B、O、E三点共线，转化为有公共点的两个向量共线，即DO∥DC和BO∥BE.过程的核心是要用同一组基底来表示这些向量，再借助共线向量定理列出关于x，y的二元方程组，从而解决问题.解法2其实与解法1的本质是一样的，区别在于运用了“共线向量定理”的一个重要推论“三点共线”性质：“分解式中的系数和恒为1”，直接构造出关于x，y的方程组，简化了过程.解法3属于间接求法，正如前面所讲，如果点O在线段DC或BE上的分点位置是确定的，则可直接求解任意关于点O的向量.此种解法的突破口是求解点O在DC和BE上的位置.从两个不同角度，用两个不同的参数λ、μ借助于三角形法则去表示同一向量AD.根据平面向量基本定理中所阐述的系数唯一性，从而构造参数λ、μ的方程，再去求解x，y.解法4与解法3的本质是一样的，只是用的是学生们初中所学知识“平行线分线段成比例”，直接用几何法求得点O在线段DC（或线段BE）上的分点位置，这一解法其实很巧妙，也体现了数形结合思想.所以真正领悟此题的本质与关键，则可以做到灵活运用各种思维去解决问题.

2重视数学思想方法训练，从而以一应万变

数学学习的本质就是学生在老师的指导下，学习数学家思维活动的成果.当学生思维能力提高了，就能独立解决问题了.

设计意图：解法1中巧妙构造中位线，利用平面向量的图形运算将“所求向量”转化为“已知向量”.其实数学问题的求解就是结合已知条件和所求问题进行相关联想，对题目的信息进行适当的转化，从而找到解决问题的思路.

解法2是基本解法，建系用坐标求解.最后把问题巧妙地转化为定点到已知圆上点的距离的最值问题.因为平面向量天然具备代数和几何的双重属性，在解题中要培养学生们纵横妙想，巧妙转化，合理化归的数学思维.

3 重视培养数学运算的核心素养

很多学生要想在规定的时间内，保质保量完成解题任务，计算能力是一个非常重要的要求.

对于平面向量这一章，要关注学生能否理解向量线性运算、数量积，体会向量运算与实数运算的异同;能否在综合情境中，借助向量表示和运算解决相关的问题，积累发现和提出某种数学对象的运算法则，探索其不同的数学内涵和运算规律.

4 关注解题之后的反思

波利亚说过：“数学问题的解决仅仅是一半，更重要的是解题之后的回顾.”其实很多简单的表象背后都隐藏着非常深刻的内涵，看似割裂的问题，本质却是同根同源.所以课堂上要引导学生学会解后反思，通过反思，抹去浮华，发现规律，促进迁移.

数学课堂上对学生思维能力的培养需要长时间的训练，不是一蹴而就的，具有阶段性、连续性、整合性等特点.需要教师们以现代教育教学理论为指导，充分协调教学中的各种因素，采取教学技法，激活思维能力.唯有这样，才能真正地提高学生们解决问题的能力.

参考文献：

[1] 人民教育出版社，课程教材研究所，数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书·数学[M].北京：人民教育出版社，2010.

責任编辑：李璟