基于离散加筋理论的纵环加筋圆柱壳轴压后屈曲缩尺模型研究

李正良，王静超，于伟，朱万旭

（1.重庆大学土木工程学院，重庆 400045；2.山地城镇建设与新技术教育部重点实验室（重庆大学），重庆 400045；3.桂林理工大学土木与建筑工程学院，广西桂林 541004；4.桂林理工大学广西建筑新能源与节能重点实验室，广西桂林 541004）

新型干式煤气柜是一种可储存可燃气体，是能节约能源和保护环境的大型重要构筑物［1］.新型干式煤气柜柜体作为一种典型的大型薄壁纵环离散加筋圆柱壳，由于试验条件和经费的限制，很难对其进行大量的原型结构试验.目前，较为可行的研究方法是采用缩尺模型的试验结果结合相似理论预测原型的屈曲承载能力.因此，研究纵环加筋圆柱壳轴压后屈曲缩尺模型的设计方法和相似原理，对验证与评估新型干式煤气柜柜体合理性和安全性显得尤为重要.

杨金花等［2］研究了具有环向贯穿脱层圆柱壳的屈曲问题，讨论了脱层大小、深度、位置以及复合材料纤维铺层方向对脱层圆柱壳屈曲载荷的影响.结果表明：脱层长度越大、越靠近壳的外表和轴向中心，结构的屈曲载荷越低.向红等［3］根据Von Karman板理论，建立了具损伤正交各向异性板的非线性压曲方程.Singhatanadgid 和Ungbhakorn［4］针对压扭组合荷载作用下的正交各向异性圆板，进行了线性屈曲完全相似和不完全相似研究.结果表明：完全相似模型和采用各向同性材料的不完全相似模型，结合缩尺原理公式，可以较好地预测其原型的屈曲特性，缩尺原理公式适用于具有任意相同边界条件的一对模型和原型.Hilburger 等［5-6］考虑加筋圆柱壳焊接缺陷的影响，根据结构的半径与等效厚度比值相等的原则，采用密加筋理论、有限元法和结构试验相结合的手段，对缩尺模型与原型进行了稳定性设计和试验，验证了新方法的正确性；同时给出了加筋圆柱壳模型详细和实用的设计方法，但尚未给出缩尺模型与原型的屈曲相似关系.贾冬云等［7-8］采用理论分析、有限元模拟和试验研究相结合的方法，对大型正多边形煤气柜立柱、加筋肋和壁板进行了系统的研究.总体而言，现有研究可以解决层合壳、板和密加筋圆柱壳屈曲的缩尺模型设计与相似预报问题，但对于纵环离散加筋圆柱壳屈曲相似的研究颇为缺乏，所以开展基于离散加筋理论的纵环加筋圆柱壳轴压后屈曲缩尺模型研究非常有必要.

本文以纵环加筋圆柱壳为研究对象，基于离散加筋理论与结构体系的总能量，推导出结构轴压后屈曲的广义相似条件与缩尺原理公式.基于酒窝缺陷和焊缝缺陷的函数，建立了含初始缺陷的纵环加筋圆柱壳有限元模型.最后，对含初始缺陷的纵环加筋圆柱壳，开展轴压后屈曲不完全相似模拟研究，以验证缩尺模型设计的广义相似条件和轴压后屈曲缩尺原理公式的准确性.

1 基于离散加筋理论的加筋圆柱壳轴压后屈曲缩尺原理

1.1 纵环离散加筋圆柱壳轴压后屈曲的广义相似条件

在相似转换过程中，相似结构体系的数学模型是一致的.因此，任意两相似结构体系总能量间的关系可表示为：

式中：下标p 和m 分别代表原型和模型；Xpi和Xmi（i=1，2，…，n）分别对应原型结构和模型结构的几何参数和材料参数；ψ（Ci）（i=1，2，…，n）为两相似结构参数的传递函数.根据该函数关系可推导出结构的屈曲缩尺原理公式.

纵环离散加筋圆柱壳结构见图1、图2.

图1 纵环离散加筋圆柱壳Fig.1 The ring and stringer stiffened-cylindrical shell

图2 T型纵环离散加筋圆柱壳的加筋肋截面图Fig.2 Configurations of the ring and stringer T-shaped stiffened-cylindrical shell

图中，R为蒙皮半径，t为蒙皮厚度，L为加筋圆柱壳长度.下标s 和r 分别代表纵向和环向的加筋肋.ds和dr分别表示纵向和环向的加筋肋间距.bfs、tfs和hws、tws分别为纵向T 型加筋肋翼缘和腹板的长度与厚度.bfr、tfr和hwr、twr分别为环向T 型加筋肋翼缘和腹板的长度与厚度.

加筋圆柱壳的能量泛函为［9-10］：

式中：U、UL分别为结构的应变能和外力功.

蒙皮的内力表达式为［10］：

式中：Nx、Ny和Nxy分别为单位长度上对应方向的薄膜内力；Mx、My和Mxy分别为单位长度上对应方向的弯矩；εx、εy和γxy为壳体蒙皮中面的应变；χx、χy和χxy是壳体曲率；μ为蒙皮材料泊松比；B、D和G分别为拉伸刚度、弯曲刚度和剪切模量，具体表达式为

基于Donnell 假定，含初始几何缺陷圆柱壳的非线性几何方程为［11］：

式中：u、v、w分别为圆柱壳的纵向、环向和径向的位移；为径向初始几何缺陷.

加筋肋的非线性几何方程为［10］：

式中：e为加筋肋形心到蒙皮中面的距离.

为了得到加筋圆柱壳的总能量的具体表达式，引入蒙皮与加筋肋的应变能表达式［10，12］：

式中：U0、Us和Ur分别为蒙皮、纵向加筋肋与环向加筋肋的应变能；es和er分别为纵肋截面形心与环肋截面形心到圆柱壳中面的距离；I0s和I0r分别为纵肋与环肋到圆柱壳中面的惯性矩；A为加筋肋截面面积；N为加筋肋数量；Js和Jr为开口截面型加筋肋的扭转常量，其具体表达式为［13］

基于离散加筋理论的加筋圆柱壳应变能表达式为：

轴压作用下结构的外力功表达式为［10］：

式中：px为壳体轴向均布荷载.

根据狄拉克函数的性质［14］：

式（10）可以转化为：

首先，将式（3）、式（5）和式（6）代入式（7），推得式（9）的具体表达式.然后，将式（9）和式（12）代入式（2），得到加筋圆柱壳的总能量表达式为：

原型结构参数可由模型结构参数和缩尺因子Ci表示：

当两相似结构的蒙皮完全几何相似时，即Cx=Cy=Cu=Cv=Cw=CR，并利用δ(ax)=δ(x)∕|a|［14］，将式（14）代入式（13）进行相似转换，可得模型和原型的广义相似条件：

基于式（15），进一步推导得到模型与原型需满足的必要相似条件：

为了能准确预测原型结构的屈曲特性，原型与模型的屈曲模态相似条件为：

式中：m和n分别表示圆柱壳纵向和环向的波数.

1.2 纵环离散加筋圆柱壳轴压后屈曲的缩尺原理公式

当加筋圆柱壳受轴向压力px（受压为正）时，根据广义相似条件式（15），可以得到纵环离散加筋圆柱壳轴压后屈曲相似不变量：

基于式（20），推导得纵环离散加筋圆柱壳轴压后屈曲缩尺原理公式为：

2 算例验证

基于现有文献中的模型，建立相同参数的有限元模型进行屈曲分析，并对比它们的屈曲荷载间的误差，有效验证了建立的含初始缺陷的光滑圆柱壳有限元模型的准确性.基于ANSYS 软件建立有限元模型，模型采用shell181 单元，该单元为四节点六自由度单元，计算时间短，精度高.

2.1 含酒窝缺陷光滑圆柱壳轴压后屈曲验证

采用文献［15］中含酒窝缺陷光滑圆柱壳轴压后屈曲的算例进行有限元模型验证.结构上端面承受轴压荷载，下端面固支，上端面仅放松轴向位移自由度.材料和几何参数为：E=72 GPa、μ=0.31、R=0.25 m、L=0.51 m 和t=0.000 5 m.在结构高度方向L∕2位置施加酒窝缺陷，缺陷函数［15］见式（23）.

式中：s为缺陷范围内有限元网格节点到缺陷中心的距离；λ和δ0分别为酒窝缺陷的直径与中心幅值；θ和z1分别为光滑圆柱壳的环向和轴向的坐标；θ0和z0分别为酒窝缺陷中心的环向和轴向的坐标.

表1 给出含酒窝缺陷光滑圆柱壳轴压后屈曲临界荷载对比，其中pcr_α表示文献［15］的临界屈曲荷载，pcr_FEM表示本文计算的临界屈曲荷载.由结果可知，不同缺陷半径和不同缺陷幅值工况下，光滑圆柱壳轴压屈曲临界荷载与文献［15］结果的误差绝对值均小于8%，表明进行的含酒窝缺陷圆柱壳轴压后屈曲分析准确、可靠.

表1 含酒窝缺陷光滑圆柱壳轴压后屈曲临界荷载对比Tab.1 Comparisons of the buckling results the shells under axial compression with dimple imperfection

2.2 含环向焊缝缺陷光滑圆柱壳轴压后屈曲验证

采用文献［16］中的含环向焊缝缺陷光滑圆柱壳轴压后屈曲的算例进行有限元模型验证.结构两端面承受轴压荷载，上、下端面简支.材料和几何参数为：E=200 GPa、μ=0.3、R=10 m、L=30 m 和t=0.001 m.在结构高度方向L∕2位置施加一条环向内陷焊缝，缺陷函数［16］见式（24）.

式中：λ0为焊缝缺陷半波长.

表2 给出含环向焊缝缺陷光滑圆柱壳轴压后屈曲临界荷载对比，其中pcr_β表示文献［16］的临界屈曲荷载.

表2 含环向焊缝缺陷光滑圆柱壳轴压后屈曲临界荷载对比Tab.2 Comparisons of the buckling results the shells under axial compression with weld depressions

从表2 可以看出，不同径厚比和环向焊缝不同缺陷幅值工况下的光滑圆柱壳，其轴压后屈曲临界荷载与文献［16］结果间的误差绝对值小于10%.同时，屈曲临界荷载处相应结构的屈曲模态环向波数相同.缺陷幅值小于等于1.0t时，误差绝对值在5%以内；当缺陷幅值为1.5t和2t时，误差分别为-7.83%和-9.04%，误差较大的原因可能是现有的板壳后屈曲分析理论尚不能较好地分析板壳结构缺陷幅值大于1.0t的情况.综上所述，开展的含环向焊缝缺陷光滑圆柱壳轴压后屈曲分析具有较好的准确性.

3 纵环离散加筋圆柱壳轴压后屈曲不完全相似分析

为了验证所推导的缩尺原理公式的准确性，首先对纵环加筋圆柱壳缩尺模型和原型进行轴压后屈曲分析.其次，将缩尺模型的计算结果代入缩尺原理公式得到原型的预测结果.最后，将预测原型与原型的荷载位移曲线进行对比，并判断它们的屈曲临界荷载对应的模态是否一致.

纵环加筋圆柱壳原型结构上、下端面简支.蒙皮与加筋肋的材料参数为：E=200 GPa、μ=0.3.加筋肋数量为：Ns=8、Nr=2.蒙皮与加筋肋几何参数分别见表3和表4.

表3 蒙皮几何参数Tab.3 Geometry parameters of the skin m

表4 加筋肋几何参数Tab.4 Geometry parameters of the stiffeners mm

因满足全部相似条件极其困难，且完全相似在实际情况中也不适用，故可忽略完全相似的部分非重要相似条件，进行结构的不完全相似研究.通过放松广义相似条件，开展缩尺模型的材料和几何尺寸均发生变化的不完全相似研究.此时，假设模型的蒙皮几何尺寸具有相同的几何缩尺因子，且模型与原型具有相同的边界条件，可得如下相似关系：

将式（25）代入广义相似条件式（15）可得：

缩尺原理公式（22）可简化为：

此时令Cstiff=CD，式（27）可进一步简化为：

不完全相似缩尺模型的蒙皮几何参数的缩尺因子均取10，同时，缩尺模型的蒙皮和加筋肋的材料分别使用铝（Al）、紫铜（Copper）、黄铜（Brass）和塑料（PVC），表5 列出了缩尺模型的材料参数.根据式（26）求得缩尺模型环向和纵向等效加筋肋的几何尺寸，发现它们的几何缩尺因子与蒙皮的几何缩尺因子相等.

表5 不完全相似缩尺模型材料参数表Tab.5 Material parameters of the partly similar scale models

实际工程中的薄壳结构通常存在着一定的初始几何缺陷.其中，酒窝缺陷与焊缝缺陷为典型且不利缺陷.因此，引入不同幅值的酒窝缺陷与环向焊缝缺陷，进行含初始缺陷的纵环离散加筋圆柱壳轴压后屈曲不完全相似分析.

3.1 含酒窝缺陷纵环离散加筋圆柱壳轴压后屈曲不完全相似分析

采用式（23）建立含酒窝缺陷的纵环加筋圆柱壳原型与缩尺模型.其中，缺陷幅值取δ0=IF·t，IF 代表初始几何缺陷的缺陷因子，在结构环向加筋肋上施加2个酒窝缺陷，结构变形图如图3所示.

图3 含酒窝缺陷T型纵环加筋圆柱壳结构变形图Fig.3 Structural deformation diagram of the ring and stringer T-shaped stiffened-cylindrical shell with dimple imperfection

4 种不同模型材料的T 形纵环加筋圆柱壳轴压后屈曲不完全相似模拟的结果见图4～图7.由图可知，在结构达到屈曲前，其荷载与位移处于近似线性关系；当荷载达到上临界点时，荷载随位移陡然下降，结构进入后屈曲阶段；同时，随着IF值的增大，结构上临界点对应的屈曲荷载逐渐减小.表6 为预测原型与原型的上临界屈曲荷载的误差对比.由表6可知，随着模型与原型所取材料泊松比偏差的增大，预测原型与原型的上临界点屈曲荷载的偏差也逐渐增大.IF=1，模型材料为Al 时，T 型纵环加筋圆柱壳平衡路径上临界点径向位移矢量和云图对比见图8.通过对比上临界点处屈曲模态图可知，上临界点处缩尺模型与其对应原型的屈曲模态均相同.由以上分析可知，基于缩尺原理公式，缩尺模型能较好地预测其对应原型的平衡路径和屈曲模态.

表6 预测原型与原型上临界屈曲荷载的误差对比Tab.6 Comparisons of the buckling results between the prototype and the predicted prototypes at the upper critical point of the post-buckling path

图4 模型材料为Al时，T型纵环加筋圆柱壳轴压后屈曲不完全相似模拟Fig.4 Comparisons between the predicted and original the load vs.end-shortening curves of the T-shaped stiffened-cylindrical shell under axial compression when the material is Al

图5 模型材料为Copper时，T型纵环加筋圆柱壳轴压后屈曲不完全相似模拟Fig.5 Comparisons between the predicted and original the load vs.end-shortening curves of the T-shaped stiffened-cylindrical shell under axial compression when the material is Copper

图6 模型材料为Brass时，T型纵环加筋圆柱壳轴压后屈曲不完全相似模拟Fig.6 Comparisons between the predicted and original the load vs.end-shortening curves of the T-shaped stiffened-cylindrical shell under axial compression when the material is Brass

图7 模型材料为PVC时，T型纵环加筋圆柱壳轴压后屈曲不完全相似模拟Fig.7 Comparisons between the predicted and original the load vs.end-shortening curves of the T-shaped stiffened-cylindrical shell under axial compression when the material of the model is PVC

图8 IF=1和模型材料为Al时，T型纵环加筋圆柱壳平衡路径上临界点径向位移矢量和云图对比（放大10倍）Fig.8 The radial displacement contour map at the upper critical point of the post-buckling path for the T-shaped stiffened-cylindrical shell when the material is Al and IF=1（magnified 10 times）

3.2 含环向焊缝缺陷纵环离散加筋圆柱壳轴压后屈曲不完全相似分析

采用式（24）建立含环向焊缝缺陷的纵环加筋圆柱壳原型与缩尺模型，其中缺陷幅值取δ0=IF·（t+bf+hw）.在结构每条环向加筋肋翼缘的两端上施加2 条环向焊缝缺陷，结构变形图见图9.

图9 含环向焊缝缺陷的T型纵环加筋圆柱壳结构变形图Fig.9 Structural deformation diagram of the ring and stringer T-shaped stiffened-cylindrical shell with weld depressions

4 种不同模型材料的T 型纵环加筋圆柱壳轴压后屈曲不完全相似模拟的结果见图10～图13.由图可知，结构达到屈曲前，荷载与位移处于近似线性关系；当荷载达到上临界点时，荷载随位移陡然下降，结构进入后屈曲阶段；同时，随着IF 值的增大，结构上临界点所对应的屈曲荷载逐渐减小.表7 为预测原型与原型的上临界屈曲荷载的误差对比.由表7可知，随着模型与原型所取材料的泊松比偏差的增大，预测原型与原型的上临界点屈曲荷载的偏差也逐渐增大.IF=0.1，模型材料为Al时，T型纵环加筋圆柱壳平衡路径上临界点径向位移矢量和云图对比见图14.通过对比上临界点处屈曲模态图可知，上临界点处缩尺模型与其对应原型的屈曲模态均相同.根据以上分析可知，基于缩尺原理公式，缩尺模型能较好地预测其对应原型的平衡路径和屈曲模态.

图14 IF=0.1和模型材料为Al时，T型纵环加筋圆柱壳平衡路径上临界点径向位移矢量和云图对比（放大10倍）Fig.14 The radial displacement contour map at the upper critical point of the post-buckling path for the T-shaped stiffened-cylindrical shell when the material is Al and IF=0.1（magnified 10 times）

表7 预测原型与原型上临界屈曲荷载的误差对比Tab.7 Comparisons of the buckling results between the prototype and the predicted prototypes at the upper critical point of the post-buckling path

图10 模型材料为Al时，T型纵环加筋圆柱壳轴压后屈曲不完全相似模拟Fig.10 Comparisons between the predicted and original the load vs.end-shortening curves of the T-shaped stiffened-cylindrical shell under axial compression when the material is Al

图11 模型材料为Copper时，T型纵环加筋圆柱壳轴压后屈曲不完全相似模拟Fig.11 Comparisons between the predicted and original the load vs.end-shortening curves of the T-shaped stiffened-cylindrical shell under axial compression when the material is Copper

图12 模型材料为Brass时，T型纵环加筋圆柱壳轴压后屈曲不完全相似模拟Fig.12 Comparisons between the predicted and original the load vs.end-shortening curves of the T-shaped stiffened-cylindrical shell under axial compression when the material is Brassa

图13 模型材料为PVC时，T型纵环加筋圆柱壳轴压后屈曲不完全相似模拟Fig.13 Comparisons between the predicted and original the load vs.end-shortening curves of the T-shaped stiffened-cylindrical shell under axial compression when the material is PVC

4 结论

本文以纵环离散加筋圆柱壳为研究对象，根据离散加筋理论和能量法推导出结构轴压后屈曲的广义相似条件与缩尺原理公式；结合轴压后屈曲缩尺原理公式，对含初始缺陷纵环加筋圆柱壳的原型和缩尺模型，进行了结构轴压后屈曲的不完全相似分析.得到如下结论：

1）纵环离散加筋圆柱壳缩尺模型的轴压后屈曲荷载位移曲线，结合结构轴压后屈曲不完全相似缩尺原理公式，能较好预测原型结构轴压后屈曲的结果.随缩尺模型与原型的材料泊松比偏差的增大，由纵环离散加筋圆柱壳不完全相似缩尺模型预测的原型结构荷载位移曲线与原型结构结果的偏差逐渐增大.因此，在利用纵环离散加筋圆柱壳轴压后屈曲不完全相似缩尺模型设计方法和缩尺原理公式进行相似预报时，模型结构与原型结构的材料泊松比应相近.

2）提出的纵环离散加筋圆柱壳轴压后屈曲的缩尺模型设计方法和缩尺原理公式适用于不同几何缺陷形式和缺陷幅值的加筋圆柱壳轴压后屈曲相似预报，并且能比较准确地预报大型加筋圆柱壳轴压后屈曲特性.这为采用离散加筋圆柱壳轴压后屈曲缩尺模型实验预测其对应原型的后屈曲特性提供了参考.