电静液作动器自调节积分鲁棒运动控制*
2022-04-02姚建勇张连仲邓文翔杨晓伟梁相龙
姚建勇，张连仲，王 拓，邓文翔，杨晓伟，梁相龙
(1.南京理工大学 机械工程学院· 南京·210094；2.江苏自动化研究所· 连云港·222006)
0 引 言
近几十年来，阀控液压系统由于功率密度大、快速、精确反应等优势被广泛应用于重型工业领域。然而，阀控液压系统存在节流、溢流、卸荷损耗、功率效率低等缺点。此外，大部分阀控系统采用开式回路，不仅对液压油需求量大，还易造成环境污染。虽然电静液作动器的控制性能不如阀控系统，但是它具有体积小、无污染、效率高等优势，因此被广泛应用于大型飞机等场合。随着未来飞机向高速化、高压化、快速响应等方向发展，为满足航空工业对控制性能日益增长的需求，针对电静液作动器设计高性能控制方法很有必要。
自20世纪80年代以来，有关电液伺服系统的许多控制策略陆续被提出。自适应控制方法是处理参数不确定性问题的一种行之有效的方法。然而，自适应控制几乎没有处理外干扰的能力，例如外部载荷干扰。实际的液压系统中总是存在着外干扰，所以自适应控制在实际液压系统中很难实现高性能控制。作为鲁棒控制方法之一的滑模控制，可以有效地处理任何有界的模型不确定性并达到渐近稳定的跟踪性能。但是滑模控制也存在一些缺点：设计的滑模控制器是不连续的，这在实际应用中会导致控制抖动问题，高频的抖动可能会激励被忽略的系统高频动态，进而引起共振或者加速机器磨损，恶化控制性能。为了同时处理参数不确定性和不确定非线性，Yao B.等提出了自适应鲁棒控制，该方法可保证系统的暂态性能和瞬态性能。为了达到高精度的控制性能，自适应鲁棒控制往往需要较高的反馈增益。然而，过大的反馈增益会增大系统带宽，从而激发系统的高频动态，导致系统失稳。Yao J.等提出了带有扩张状态观测器的自适应鲁棒控制策略。扩张状态观测器可以估计参数不确定性和外干扰，为控制器提供补偿，不过这种策略仅能保证系统的跟踪误差有界。为了进一步提高控制精度，Xian B.等提出了误差符号积分鲁棒控制策略，但是这种控制器的非线性鲁棒增益与系统建模不确定性的一阶导数和二阶导数密切相关。此外，该控制器的积分鲁棒项的符号误差增益必须尽可能大，以获得更好的精度。但是由于测量噪声的存在，增益过大容易造成高增益反馈，导致系统失稳，所以需要多次重复实验以获得合适的增益值，所以传统的误差符号积分鲁棒控制方法具有很大的工程局限性。R.Hippalgaonkar等提出了一种用于液压混合执行器的最优监控策略，但是该方法主要从节能方面考虑，控制精度不高。H.T.Seo等针对电静液作动器提出了基于前馈补偿和扰动观测器的复合控制，但是该方法将系统的非线性模型过于简化，实验的结果有待改进。
基于上述内容，本文针对电静液作动器设计了一种基于扩张状态观测器的自调节积分鲁棒控制器。本文与传统的积分鲁棒控制器相比，主要的改进点如下：
1)自调节积分鲁棒控制器融合了自适应控制的思想，有效地解决了符号函数增益调节的随机性、保守性、局限性以及潜在的高增益反馈的问题。当外干扰增加时，在自调节增益律的作用下，增益的估计值会相应地增加，以增强非线性鲁棒项对干扰的鲁棒性。
2)扩张状态观测器可以估计干扰并进行前馈补偿，有效地避免了高反馈增益。
1 电静液作动器的数学模型
本文研究的电静液作动器系统如图1所示，主要包括液压缸(1)、溢流阀(2，3)、单向阀(4，5)、蓄能器(6)、双向柱塞泵(7)、伺服电机(8)和内部油路管道。
图1 电静液作动器示意图Fig.1 Schematic diagram of EHA
考虑到电静液作动器中的永磁同步伺服电机的频宽远高于整个电液伺服系统的频宽，因此可将伺服电机动态简化为比例环节，即
=
(1)
式中，是角速度增益；是控制输入；是电机角速度。
惯性载荷的动态特性可以描述为
(2)
考虑液压缸的泄漏，建立液压缸的两腔压力动态方程如下
(3)
式中，=+和=-代表系统两腔的体积，其中和代表系统两腔的初始容积；是液压油有效弹性模量；是内泄漏系数；是液压泵进入液压缸左腔的流量，是液压泵流出右腔的流量；()和()是流量建模误差。
考虑液压泵的流量脉动以及内部压差造成的泄漏，建立液压泵流量方程如下
==-+
(4)
式中，是液压泵的排量；是液压泵的内泄露系数；是液压缸两腔的压差；是未建模误差。
(5)
式中,()=-()；()=(1+1)+(+)。
2 自调节积分鲁棒控制器设计
2.1 系统模型与问题描述
定义系统参数向量=[,,,]=[,,,+]。因此，式(5)可以转化为
(6)
式中，()=(1+1)；()=(1+1)；()=(1+1)。
控制目标：设计有界的控制输入，使得尽可能准确地跟踪期望运动轨迹()。
为了方便后续控制器设计，作如下假设：
假设1：期望位置轨迹及其一阶、二阶导数均有界；
假设2：干扰()和()足够光滑，满足如下条件：
(7)
式中，、、、为未知的正数。
注：假设2在传统的误差符号积分鲁棒控制器设计中很常见。然而，在传统的误差符号积分鲁棒控制器设计中，需要、、和的值进行控制器设计和稳定性分析。这个先决条件可能对所研究的非线性系统施加很大的限制，不适用于实际的物理系统。而本文中仅需要()和()有界即可，极大减弱了传统误差符号积分鲁棒控制器设计过程中假设的限制程度。
2.2 观测器设计
定义为的扩张状态变量，即=()，且定义其导数为()。设计如下扩张状态观测器以观测系统第三通道的匹配干扰
(8)
由式(8)，干扰观测误差动态方程可得
(9)
(10)
式中，为赫尔维茨矩阵，=[0,1]，且存在一个正定阵满足如下方程
+=-
(11)
式中，为单位矩阵。
引理1：状态估计误差总是有界的，且任意时间后该界的大小随着观测器带宽的增大而减小。此外，存在常值满足以下条件
(12)
证明：定义李雅普诺夫函数
=
(13)
则关于时间的一阶导数为
≤-+
(14)
由式(14)可得
(15)
则
(16)
式中，min()是的最小特征值。
由式(10)得
(17)
并且有
(18)
则
(19)
(20)
2.3 控制器设计
步骤一：定义如下误差变量
(21)
式中，=-是位置跟踪误差；和是正的反馈增益；是的虚拟控制律。
由式(6)和式(21)可得
()+
(22)
设计虚拟控制律为
(23)
式中，是正反馈增益。
定义=-，将式(23)代入式(22)可得
=-++()
(24)
式中，为正的反馈增益。
设计自调节积分鲁棒控制律为
(25)
(26)
根据式(24)，可得()的动态方程
(27)
(28)
由于()是不可测得的信号，因此自调节率的等价形式如下
(29)
式中，是可调的正的自调节律增益。
步骤二：定义辅助变量
(30)
由式(6)和式(30)，可将()写为
(31)
式中，是正的反馈增益。
由式(31)，可设计最终的控制器为
(32)
(33)
()关于时间的一阶导数为
(34)
(35)
式中，是可调的正的自调节律增益。
2.4 稳定性分析
引理2：定义辅助函数如下
(36)
(37)
当式(26)和式(33)成立时，函数()和()总是正定的。
定理1：选择增益值和满足条件(26)和(33)，且选择足够大的反馈增益、、、、使得矩阵为正定矩阵
(38)
则式(32)中的控制输入可以保证闭环控制器中所有信号都是有界的，并且可以获得渐近跟踪性能，即当→∞时，→0。
证明：定义如下李雅普诺夫函数
(39)
由式(21)、式(27)、式(28)、式(30)、式(34)～式(37)，可得关于时间的导数为
=-
(40)
式中，=[,,,,]。
通过调整参数、、、、可使矩阵为正定，则有
=-≤0
(41)
3 仿真实验及结果分析
仿真验证时选择连续的近似库仑摩擦函数为
(42)
电液伺服系统参数选择如表1所示。
表1 电液伺服系统参数Tab.1 Electro-hydraulic servo system parameters
为了验证所提控制策略的有效性，本文选择如下三种控制器进行对比分析。
2)自调节积分鲁棒控制器(Adjustable Robust Integral of the Sign of the Error Controller，ARISE)：该控制器与ARISEESO相比，不带干扰补偿。其控制律为
(43)
为了观察不同自调节增益对控制性能的影响，选择三组自调节增益=100、=10，=800、=40，=1500、=100。为了确保对比公平，该控制器的其他参数与ARISEESO参数保持一致。
3)比例-积分-微分(PID)控制器：PID控制器是工业中最常用的控制器，通过试错法确定其控制器增益为：=2000，=500，=0。
图2 不同自调节增益对应的跟踪误差Fig.2 Tracking errors corresponding to different adjustable gain
(a)β1的估计值
图4 ARISEESO控制器的期望轨迹跟踪Fig.4 Desired trajectory tracking of ARISEESO controller
(a)PID控制器
(a)干扰d2及其估计值
图7 ARISEESO控制器的控制输入Fig.7 Control input of the ARISEESO controller
(a)β1的估计值
4 结 论
本文针对电静液作动器高精度运动控制，设计了一种基于扩张观测器的自调节积分鲁棒控制器。该控制器的主要特点是针对各种建模不确定性可以实现渐近输出跟踪性能，同时避免了高增益反馈。通过仿真验证了算法的有效性，结果表明：相较于传统的PID控制器，该控制器的跟踪误差约为0.2mm，控制精度达到0.4%左右。
