管理学领域的曲线效应及统计检验方法

○林伟鹏 冯保艺

引言

为了简单明晰地描述管理学现象并尝试揭示其背后的规律，管理学研究通常基于线性假设提出研究模型，如我们常常能在管理学研究论文中看到作者提出“变量X 与变量Y 存在正相关（或者负相关）关系”的假设或观点，这就是典型的线性关系。线性模型的好处在于十分直观并且易于应用。但是现实生活中两个现象或构念之间的关系并非总是线性的，随着研究的不断深入，这种基于线性假设的研究出现了越来越多的分歧，体现在两个方面：一是不同研究间所得结论的分歧，比如对于变量X 与变量Y的关系，可能在一些研究中发现它们正相关，但另一些研究发现它们没有显著关系，甚或是存在负相关关系；二是研究结论与客观现实的分歧，比如研究发现变量X 与变量Y 存在线性正相关关系的结论，代表每多投入一单位的X 就应该有等比例单位的Y的提升。但客观实际往往并非如此，Y 通常不会随着X 投入的增多而发生线性的增长。因此，基于线性假设的研究可能存在一定的局限性，我们有必要思考是否该以非线性的角度来看待这些研究内容。

实际上，非线性现象并不新奇，我们在日常生活中经常提到的“过犹不及”“矫枉过正”“欲速则不达”等，本质上描述的都是非线性现象。古往今来不少学术大家也对现实世界中的非线性现象做过论述和探讨。例如，我国古代思想家孔子阐述了中庸之道，提出“超过事物一定之界限与未达到一定界限，其为对立之两端，一般错误，并无二致”，[1]意思是世间事物都有一个“度”，如果超过了这个“度”，那么和没有达到一样，不能发挥很好的效果。[2]类似地，西方古希腊哲学家亚里士多德也提出，真正的美德其实是两个极端的中间，比如鲁莽和懦怯都是过失，而勇敢是这两个极端的折中。[3]可见，非线性现象在中外哲学中早有探讨，其内涵在于揭示事物之间的联系并不是简单线性的，而是曲线的。

近期，非线性的现象也开始受到国内一些管理学者的关注。有学者认为，“激励”确实能够提高员工工作的积极性、主动性，也确实能够提高员工或组织的绩效。但任何事物都有两面性，做任何事情都要掌握“度”，过犹不及；[4]奖励得当，恰到好处，就能对事物的发展起到极大的推动作用；反之，奖励过分了，就会事与愿违，阻碍事物的发展。[5]由此可见，在企业管理实践中也需要重视非线性的效应。

然而，目前的管理学研究中对于非线性的研究仍比较少见，对于非线性效应依然了解不足。此外，目前对于非线性效应如何在统计上进行检验也缺乏明确的指导。鉴于此，本文介绍了管理学研究中一些常见的非线性效应，帮助研究者深入了解管理学中的非线性现象，为研究者在研究非线性效应时提供统计检验上的支持。

一、非线性效应的内涵

实证研究中，研究者要提出一个关于非线性效应的研究问题，其根源往往在于发现了前人研究间的冲突或不一致。当构念与构念之间的线性关系在不同的实证研究中得出矛盾或不一致的结论时，一种可能的解释是它们之间其实并非线性关系，而是曲线关系。举例来说，有研究发现组织公民行为和员工绩效正相关，即随着员工组织公民行为的增加，员工绩效也会随之提高；[6]然而另外的研究却发现，组织公民行为与组织绩效负相关。[7]基于这些看似矛盾的发现，学者认为组织公民行为和员工绩效之间的关系其实并非线性相关那么简单，[8]两者之间很可能是一个倒U 型的关系。[9]这个研究例子实际上代表了一类非线性现象，即一些被普遍认为能带来积极产出（如提高个人绩效、组织绩效、团队创新等）的前因变量（如组织公民行为、尽责性、积极领导力等），在一些研究中却没有效应，甚至出现了消极的效应。这些研究之所以会出现不一致的结果，一种可能的解释是“过犹不及”效应。[10]

“过犹不及”效应是指一个能带来正向产出的前因变量，在过度投入之后与产出之间的关系变得不显著，甚至是负向的。“过犹不及”效应的本质是揭示了各变量之间普遍存在的曲线关系，也是目前被研究最多的非线性现象之一。实际上，这类曲线效应广泛存在于社会科学的不同领域中。Grant等在心理学领域引入了“过犹不及”效应，认为美好的事物并非一直都是有利的，而这一规律普遍成立。[11]他们深入分析了美德的四个方面，包括智慧、勇气、人性和爱、正义，过度时都可能存在负面的效果。Pierce等则把“过犹不及”效应引进了管理学领域，认为“过犹不及”效应普遍存在于管理学领域的各个层次。[10]Busse等则提出ABC 模型进一步解释“过犹不及”效应：随着前因变量A 投入的增加，收益B 和成本C在同时提升，最终的产出是收益和成本两者之间的综合结果，即“产出 = 收益- 成本”。[12]由于前因变量A的增加会同时导致收益B 和成本C的上升，如果成本C 上升超过了收益B，则会导致最终产出的下降，所以前因变量的投入并非总是越多越好。

和“过犹不及”效应相对应的，还存在“居中不良”效应。“居中不良”效应指的是将因素投入在中等水平时，收益低于将因素投入在低水平和高水平的现象。[13]相对于“过犹不及”效应，关于“居中不良”效应的研究仍很少。目前对于“过犹不及”效应和“居中不良”效应的研究，最常采用的数学模型是二次函数曲线模型，因为二次函数模型是曲线效应模型中最简单的数学模型。但需要注意的是，“过犹不及”或“居中不良”效应是用来描述非线性关系的一类概括性术语，并不特指某种数学模型，而二次函数只是其中一种可以描述“过犹不及”或“居中不良”效应的数学模型而已。换句话说，非线性效应并不只有二次函数模型一种，其他常见的如S 型曲线模型、钟形曲线模型、不规则曲线模型等也都属于非线性模型的范畴。例如，S 型曲线经常被运用于创新与技术扩散分析中：在创新扩散的早期，能够接受新技术与新观点的人数很少，扩散进展速度很慢；当接受者人数扩大到一定比例时，进展突然加快，曲线迅速上升并保持这一趋势；在接近饱和点时，进展又会开始变得减缓。[14]S 型曲线的数学本质为逻辑斯缔函数，由于该函数形状很像一个“S”型，所以才被称为S 型曲线效应。又如在探讨事物随时间变化发展的轨迹和趋势时，随着时间的推移，事物可能呈现不规则的曲线变化，时而增长时而下滑，那么可以采用潜增长曲线模型来解决此类问题。

总而言之，曲线效应可能有多种不同的呈现形式，不同的曲线效应区别在于具体研究现象的差别和研究者使用数学统计模型的差别。囿于篇幅所限，同时也为了能够更为简单明了地呈现变量间存在的非线性关系，本文主要介绍二次函数曲线效应。其他基于不同数学模型的曲线效应与二次函数曲线效应在基础原理上并没有本质区别，只是在统计检验细节上有些许不同。

在简单的二次曲线关系中，我们以倒U 型关系这一最常见的曲线效应关系为例进行说明。若前因变量与结果变量之间存在倒U 型的关系，则该关系中存在一个临界点。在临界点之前，前因变量与结果变量可能呈正相关关系；在临界点附近，前因变量与结果变量相关关系不显著；在临界点之后，前因变量与结果变量呈负相关关系。图1 呈现了这种倒U 型关系，其中临界点的位置及倒U的开口大小与研究问题的性质及其对应的数学参数有关。

前面提到过曲线效应有助于解决前人不一致的线性研究结论，下面我们以图1为例做细致说明。如图1所示，一个倒U 型的关系可以分成三部分。在区域一中，前因变量X 与结果变量Y 呈正相关；在区域二中，前因变量X 与结果变量Y 无显著相关；在区域三中，前因变量X 与结果变量Y 呈负相关。研究者数据采样的范围不同，则会得出截然不同的结论，这就是为什么基于线性假设的研究可能得出不一致结论的原因之一（其他可能的原因及解决方式将在讨论部分做简单阐述）。也因此，二次曲线关系常常作为研究者解决前人研究冲突或矛盾并做出理论贡献的一种重要方式。

二、管理学研究领域的非线性现象

非线性现象广泛体现在管理学研究的各个领域。近期，国内外一些学者也开始在管理学各个领域中关注并发现了一些非线性关系的管理学现象。

1.组织行为学领域

于海波等在对可就业能力的研究中发现，可就业能力与客观就业绩效（获得的录用通知书数量）之间是倒U 型关系。[15]基于可就业能力归因理论，该研究认为用人单位是否录用大学生，取决于单位对大学生可就业能力的归因解释。随着求职大学生可就业能力从低水平向适度水平提高，用人单位会认为该大学生能够为企业做出更多贡献，从而更可能发放录用通知书。此时大学生可就业能力与客观就业绩效呈正相关关系。但是求职者的可就业能力也并非越高越好，当求职者的可就业能力超出了适当水平，用人单位便会担心留不住该求职者，或担心该求职者会给用人单位带来过强的冲击，此时用人单位便会给予负面的评价。据此，该研究提出可就业能力和客观就业绩效存在倒U 型曲线关系。

组织公民行为是指能够增强组织社会心理环境的员工行为，研究者普遍认为组织公民行为是一个总能带来积极产出的行为，但已有研究存在分歧。[16]Rapp等提出组织公民行为和任务绩效之间存在的是倒U 型的关系。[9]他们基于社会交换理论，认为适度增加组织公民行为可以帮助促进同事之间的社会交换进而带来任务绩效的增加。但是，这一行为带来绩效增加的边际效益是递减的。随着组织公民行为的增加，其所带来的收益在不断减少，但时间成本一直在增加。根据资源配置理论，组织公民行为与任务之间存在着对时间这一资源的竞争，员工投入越多的时间在组织公民行为上就会使得花在任务完成上的时间越少，进而带来任务绩效的下降。此消彼长，存在着一个平衡点：在平衡点之前，组织公民行为与任务绩效呈正相关；在平衡点之后，组织公民行为与任务绩效呈负相关。也就是说组织公民行为与任务绩效呈倒U 型的关系。上述假设的关键点在于时间资源的配置上，员工的组织公民行为会与任务相互竞争时间。因此Rapp等进一步指出，时间管理技能可以调节这一倒U 型关系。[9]时间管理技能强的员工可以在做出更多的组织公民行为时，尽量减少对自己任务完成的干扰。因此，时间管理技能强的人可以使得组织公民行为与任务绩效保持正相关关系。

2.人力资源管理领域

薪酬结构一直是人力资源管理研究者的重要关注点。陈丁等基于竞赛理论提出薪酬差距与企业绩效之间是一个倒U 型关系。[17]从低等到中等的薪酬差距能够刺激员工付出更多的努力去工作，进而促进企业绩效提升。但是过高的薪酬差距使得员工之间为了胜出而相互破坏，使得企业绩效先升后降。

工作设计如何对企业中的员工产生影响也是人力资源管理领域的重要研究问题。Champoux 深入探讨了工作职责范围对员工的影响，认为工作职责范围和员工工作动机存在倒U 型关系。[18]当员工的工作职责范围过小时，他们的工作内容非常有限，容易产生单调枯燥的感受，从而使其工作动机较低；随着工作职责范围的扩大，员工的工作动机越来越被激发；但是当工作职责范围过大时，员工所要承受的工作压力过大，反而使工作动机下降。

3.创业创新领域

创业团队的人员构成一直是创业创新领域的重要研究主题。胡望斌等在研究创业团队异质性对新企业绩效影响时发现，创业团队的异质性与企业绩效之间是一个倒U 型关系。[19]他们基于高阶理论和社会认同理论，提出过低的异质性会抑制团队的决策质量，从而降低企业绩效；但是过度的异质性使得团队内部分歧过大，无法形成统一的决策，也会损害企业绩效。

创业规划是创业创新领域关注的另一个重要内容。Chrisman等探讨了创业规划对创业公司绩效的影响，[20]认为创业规划所耗费的时间与创业公司的长期绩效存在倒U 型关系。如果在创业规划上所花的时间过少，则很难能够有好的创业方案，从而导致绩效较差；但如果在创业规划上花费的时间过长，则可能会导致信息过载，使得创业团队犹豫不决，从而不能形成清晰的创业方案，失去竞争优势。

4.战略管理领域

公司多元化（也称多角化）一直是战略研究中的重要内容。周豫等在商业银行中探讨了公司多元化与企业绩效的关系，[21]认为在多元化水平较低时，多元化能够分散企业经营风险，促进内部化与一体化，给银行绩效带来改善；但是随着多元化的过度实施，银行的管理成本和交易成本都会增加，造成利润率降低，反而会对银行绩效产生负面的影响。即多元化水平与银行绩效之间存在倒 U 型的关系。

Qian等探讨了公司的经营区域多样化的问题，[22]认为公司的经营区域多样化与公司业绩呈倒U 型关系。当公司经营区域多样化很低时，公司只在很小的区域内进行经营运作，很难获得大的经济体量和视野，难以激发创新，所以公司的经济收益比较差。当公司经营区域多样性提高到适中水平时，公司有更多的市场选择，有更多的机会去占领更大的市场，并且能够获得不同地区的不同资源，通过优化配置来达到更好的企业利益。但当公司经营区域多样性过高时，公司需要面对过于复杂的市场环境及不同地区的文化差异和人员差异，从而使公司出现很多管理问题，产生过高的管理成本，反而伤害公司的绩效。

5.小结

以上简单介绍了管理学几个子领域中对曲线效应现象的探讨。邢璐等对组织行为学领域方面的非线性关系研究做了系统总结，[23]Pierce等[10]在论讨“过犹不及”效应的文章中也列举了管理学各个子领域中非线性效应的研究例子。这些研究表明，曲线效应普遍存在于管理学的各个领域。然而，每一段曲线关系的具体形态却是由具体情境决定的。针对不同的变量间关系，其曲线形状和临界点位置会有所不同。此外，变量间的曲线关系也可能受到第三方变量的影响，即存在曲线关系中的调节作用。不同的情境会影响曲线关系的具体形状与临界点的位置，而这两点在管理学上的意义表现为投入的边际效益变化规律和投入的最优区域。另外，非线性关系中的中介效应也是值得探讨的话题，它能帮助我们理解曲线效应产生的机制。

三、非线性关系的统计检验原理（以二次函数为例）

相对于线性模型而言，非线性的模型拟合是多种多样的。社会科学中常用的非线性模型主要有二次函数模型、指数模型、对数模型等。在目前管理学领域涉及非线性关系的研究中，大多采用的是二次函数模型。因此我们以最简单的非线性模型即二次函数模型为例，对非线性关系的统计分析方法进行介绍。①

1.二次函数的倒U 型模型

在传统的一元一次线性模型中，X 和Y的关系一般可以用方程（1）表示。通过对方程（1）求关于X的导数，可得方程（2）。这个方程（2）代表的是X 和Y的关系，是一个常数β1，说明X 和Y的关系（即斜率）是一个恒定值β1，也就是说X 和Y 呈线性关系。举例来说，假定Y 是员工的工作绩效，X 是员工的工作投入，在X和Y的关系中我们预期β1为正数。若数据分析结果发现β1为正数且统计检验显著，说明员工的工作投入和员工的工作绩效呈显著线性正相关关系，员工的工作投入程度越高，工作绩效也会越高。

在一元二次函数模型中，我们可以用方程（3）来表述X 与Y的关系。此时，Y 不止与X 一次项相关，还与X的二次项相关。通过方程（3）求关于X的一阶导数可得方程（4）。方程（4）表示的是X 与Y的关系，从（4）中可以看出X 与Y的关系不是一个常数，而是一个包含变量X的函数，也就是说当X 取不同值时，X和Y的关系不同。在模型检验时我们可以对二次项系数β2的显著性进行检验，如果β2显著，则说明X 和Y存在非线性关系。由二次函数性质可知，如果二次项系数β2为负（即显著小于0），那么X 与Y的关系就是一个倒U 型的关系，如图1所示。如果二次项系数β2为正（即显著大于0），那么X 与Y的关系就是一个U 型的关系，如图2所示。

方程（4）表示的是X 与Y的关系，dY/dX 又称为瞬时变化率，表示在不同水平的X 下，增加1 单位X 能带来Y的增加量。因此瞬时变化率也表示在X 某一水平下的瞬时斜率（或称切线斜率），即X 与Y的瞬时关系。以上文中Rapp等的组织公民行为和任务绩效关系的研究为例，[9]此时方程（4）中β2为负数，可知瞬时变化率dY/dX（即X 与Y的关系）随着组织公民行为X 增加而不断下降，换言之随着组织公民行为的增加能带来的任务绩效增加会越来越少，甚至出现负增长（即绩效的下滑）。当X 处于低水平时，dY/dX为正值（即组织公民行为X 与任务绩效Y 呈正相关），此时组织公民行为可以带来任务绩效的增加；当X 处于适中水平（临界点X=-β1/2β2）时，dY/dX为0（即X 与Y 不相关），此时组织公民行为将不能带来任务绩效的增加；当X 处于高水平时，dY/dX为负值（即X 与Y 呈负相关），此时组织公民行为反而会带来任务绩效的减少。研究者也可以在方程（4）中代入X的不同取值（一般取三个值：X 均值以下一个标准差的值、X的均值及X 均值以上一个标准差的值），从而检验在不同位置的瞬时斜率（即X 与Y的关系）是否显著。

Zivnuska等认为，工作紧张感与离职意向存在U型关系，而工作紧张感与价值实现和工作满意度之间存在倒U 型关系。[24]基于激发理论，过低的工作紧张感无法提供专注工作所需的状态，会使满意度下降和离职意向上升，过高的紧张感则使员工不堪负荷，导致满意度下降和离职意向上升。因而，工作紧张感与离职意向呈U 型关系，与工作满意度呈倒U 型关系。而对于员工的价值实现，过低的工作紧张感会使员工觉得工作缺乏挑战性，工作无法体现价值，而过高的工作紧张感会使员工认为成功希望渺茫，因而工作紧张感与价值实现之间呈倒U 型关系。

2.非线性关系的调节作用

相对于线性模型，非线性模型的调节作用有了新的内涵，主要表现为调节变量可以改变临界点的位置和调节因素可以改变曲线的形状。这在管理学上的意义分别是：第一，调节因素可以改变X 与Y 关系反转的节点。Le等在研究个人特质和绩效之间关系时提出，尽责性与任务绩效之间的非线性关系由任务复杂程度调节，高的任务复杂程度能使尽责性与任务绩效关系的反转点出现在更高水平的尽责性上（即往后移），如图3所示。[25]第二，调节变量可以改变X 对Y的瞬时变化率，也就是说调节因素处于不同水平时，可以改变曲线的陡峭程度。Ellington等在研究组织公民行为和任务绩效的倒U型关系边界时提出，社会性密度可以减弱组织公民行为和任务绩效之间关系的收益递减性。[26]即在高的社会性密度下，组织公民行为与任务绩效之间的倒U 型关系的陡峭程度会变得更加平缓，如图4所示。

那么，应该如何检验二次函数曲线关系的调节效应？我们先回顾下线性关系中调节效应的检验方式，再引出二次函数曲线关系中调节作用的检验方法。一般线性关系的调节效应模型可以用方程（5）来表述。通过方程（5）求关于X的偏导数可以得到方程（6）。方程（6）表述的就是X 与Y的关系，它是包含调节变量Z的一个函数，表明X 与Y的关系随着调节变量Z的变化而变化，即Z 调节了X 与Y的关系。因此，检验线性关系中的调节作用只需要检验交互项的系数β3是否统计显著即可。

对应的，二次函数非线性关系中的调节作用模型我们用方程（7）来表述。[27,28]为了更加直观地看出X 与Y的关系如何受到调节变量Z的影响，我们将方程（7）变换成方程（8）。从方程（8）可以看出，X 与Y的关系主要由斜率项Slope=β1+β3Z 和曲率项Curvature=β4+β5Z 来决定。当曲率项显著的时候，不管斜率项是否显著，X 和Y 之间都存在着曲线关系。相反当斜率项显著，如果曲率项不显著，那么X 与Y 之间存在线性关系。如果曲率项与斜率项都不显著，那么说明X 与Y 没有关系。可见，X 与Y的曲线关系取决于曲率项Curvature，而曲率项是包含调节因素Z的函数。如果系数β5显著则说明调节因素Z 能够调节X 与Y的曲线关系，因为X 与Y的曲线关系会随着调节因素Z的变化而变化。根据Aiken等建议，[27]我们可以进一步检验调节因素Z在低（-1SD）和高（+1SD）水平下X 与Y的关系，从而更加直观地了解调节因素Z 对X 与Y 之间曲线关系的调节作用。

我们用Li等的文章详细揭示曲线关系中如何检验调节作用，他们提出仁慈型领导与团队绩效之间存在倒U 型的曲线关系，这一曲线关系还会受到团队承诺的调节。[29]Li等基于资源分配理论，认为领导的资源和时间都有限，过多地把资源和时间投入对员工的关怀会使领导在其他活动（如对任务进度的监控等）的投入减少。所以当仁慈型领导程度超过了适当水平，其所带来的收益就会下降甚至损害团队绩效。Li等还提出团队承诺能够有效调节这一段关系，高承诺的团队将团队的成功视为他们集体的利益。因此，高承诺的团队能够很好地自我管理和相互监控，而不必依赖于领导。所以在高承诺的团队里面，仁慈型领导与团队绩效之间会呈现正相关的线性关系；而在低承诺的团队里面，两者存在上文提到的曲线关系。

Li等在检验团队承诺对仁慈型领导与团队绩效之间曲线关系的调节作用时，检验了仁慈型领导的一次项（X）系数、仁慈型领导的二次项（X2）系数、仁慈型领导与团队承诺的一次交互项（XZ）系数和二次交互项（X2Z）系数对团队绩效的预测作用。仁慈型领导二次项（X2）系数显著小于0，说明了仁慈型领导与团队绩效之间存在倒U 型的曲线关系。而仁慈型领导与团队承诺的二次交互项（X2Z）系数显著，说明团队承诺能有效地调节这一段曲线关系。Li等进一步检验当调节变量团队承诺（Z）取高（+1 SD）低（-1 SD）不同的值时，方程（8）中曲率项和斜率项的显著性水平。结果发现，当团队承诺高时，曲率项不显著，而斜率项显著为正，说明对于承诺高的团队，仁慈型领导和团队绩效呈线性正相关关系。相反，当团队承诺低时，曲率项显著为负，而斜率项不显著，说明对于承诺低的团队，仁慈型领导和团队绩效呈倒U 型关系。

3.非线性关系的中介效应

在以往的线性模型中，我们使用中介效应模型来解释前因变量X 对结果变量Y 产生作用的机制。如图5，我们认为前因变量X 通过影响中介因素M，而影响结果变量Y。这两个关系可以分别通过方程（9）和（10）来表述。因此，在模型检验时，我们可以通过检验β2与β4的显著性及两者乘积的显著性，即方程（11），来判断间接效应是否存在。[30]

需要注意的是，两个服从正态分布的参数，它们的乘积未必服从正态分布。因此在检验中介效应时，基于正态分布假设计算出来的标准误很可能是有偏差的，而直接用参数IND 除以这个很可能有偏差的标准误得到的显著性检验指标（如t 值）则很可能也是有偏的，从而使得显著性检验结果不可信。[31-33]为了避免这样的情况，Mackinnon等提出了用重抽样的方法来模拟参数的分布，进而得到置信区间。其中Bootstrap的重抽样方法能够得出很好的结果，因为Bootstrap 并不需要对参数的分布形态做任何前提假定。[31]所以在检验中介效应的时候，我们建议使用Bootstrap 方法得出间接效应的置信区间，以此判断中介效应的显著性。当Bootstrap得到的95%置信区间不包含0 时，则代表间接效应在95%的情况下都是不等于0的，也就说明间接效应是显著（区别于0）的。

非线性关系下的中介效应，其统计原理是相似的。对非线性关系的中介效应模型的探讨，一般目的在于解释X 对Y的非线性效应如何产生。本文将讨论最常见的两种情况：一是X 与M 之间是二次函数关系，M 与Y 之间是线性关系；二是X 与M 之间是线性关系，M与Y 之间是二次函数关系。

本文首先分析第一种模型。如图6，可以构建方程（12）和（13）来分别表述X 与M的关系及M 与Y的关系。其中，X 与M 之间是非线性关系，M 与Y 是线性关系。因此，可以通过方程（14）检验新的参数IND 来确认间接效应是否存在。IND 由方程（12）中的X2的系数β2和方程（13）中M的系数β6的乘积生成，表示的是X通过M 对Y 产生的曲线间接效应的强弱。因此，IND的显著性可以作为中介效应的检验。与上文提到的线性关系的中介效应检验一样，由于参数乘积项的分布很可能不是正态分布，为了得出更加准确的间接效应显著性的估计，建议使用Bootstrap 方法来得出参数IND的置信区间。

第二种模型如图7所示，X 与M 之间是线性关系，而M 与Y 之间是非线性关系。我们通过构建方程（15）与方程（16）来表述，进一步检验参数IND 来确认间接效应是否存在。IND 是方程（15）X的系数β1和方程（16）M2的系数β5的乘积生成，表示的是X 通过M 对Y 产生曲线间接效应的强弱。因此，IND的显著性与强弱可以作为中介效应的检验。同样，为了更加准确地估计间接效应的显著性水平，建议使用Bootstrap 方法得出参数IND的置信区间。

本文以Sui等的研究为例，简单介绍二次函数曲线关系中的中介效应在实际研究中的应用。[34]Sui等指出，领导成员交换区别化与团队绩效之间是倒U 型的关系，而且是通过团队协作这一中介因素发挥作用的；领导成员交换区别化与团队协作之间是非线性的关系，领导成员交换区别化通过团队协作的中介作用间接影响团队绩效（同本文中的第一种非线性关系中介模型）。[34]

Sui等从社会认同理论和社会分类理论出发，认为当领导成员交换区别化从中等水平上升到高水平时，团队内部更可能出现子团队，使得团队内部成员减少合作，从而降低团队绩效；相反，在领导成员交换区别化由低到中等水平增加时，这种区别化还未能导致子团队的出现，却可以产生成员任务角色的分化，促进角色分配和任务结构的匹配，这样成员对团队共同目标和各自子目标有清楚的认识能够带来更加有效的协作。[34]因此，领导成员交换区别化与团队协作之间存在曲线效应，进而影响团队绩效。

四、结论与讨论

1.非线性效应研究的理论意义和实践意义

本文介绍了管理学领域中的非线性现象，并提供了检验曲线效应的统计方法，建议未来的研究可以考虑运用曲线关系研究范式来补充现有线性关系研究范式的不足。本文所提倡的非线性关系研究范式不同于以往的线性关系研究范式，可能更加符合我们对于管理学现象的描述和总结。本文认为非线性效应研究有以下的理论意义：

第一，本文提出的曲线关系研究范式能够帮助研究者解决以往研究中出现的矛盾之处。一般而言，如果不同的研究者在某个研究问题（如探讨X 和Y的关系）上存在不一致的观点，或者过往研究发现不一致的结论，那么解决或调和这种矛盾或者不一致的发现本身就是重要的理论贡献。常用的解决前人研究矛盾和不一致发现的方法有三种：一是所探讨的变量（X 或者Y）可能存在子维度，具体探讨不同子维度关系时很可能有区别；二是存在重要的调节变量能够改变X 和Y的关系，在调节变量取不同值时，X 和Y的关系发生变化；三是X和Y的关系是曲线的而非线性的，如图1所示，在不同的区域上（X 取不同值时），X 和Y的关系是不同的。本文介绍的曲线效应模型正是解决前人研究矛盾的一种重要方式，为学者做出重要理论贡献提供一种可参考的范式。目前已有一些研究者利用这种范式来解决实际的管理研究问题，对过往研究中出现的矛盾进行解决，从而做出理论贡献，研究的实例包括领导力、[29,35,36]组织公民行为、员工自控、工作不安全氛围等。[37-39]

第二，曲线关系研究范式还能进一步重塑理论。在管理学研究中出现矛盾实证例子，往往预示原有理论的解释力度下降或者出现了重要的边界条件。曲线关系研究方式除了能够弥合原有研究的矛盾，也能在此基础上对原有理论进行重塑。例如，基于资源视角，以往学者一般认为公共赞助对企业绩效有着积极作用，[40]公共赞助通过给企业提供资源优厚的环境而促进企业绩效，但在关于公共赞助与企业绩效的实证研究结果中却出现了矛盾。为此，Jourdan等提出公共赞助与企业绩效之间存在曲线的关系，进一步提出资源积累和资源扰动双机制模型，完善了关于公共赞助与企业绩效之间关系的资源理论模型，[41]即公共赞助一方面会增加企业的资源积累以增加企业绩效，另一方面也会扰乱企业内原有的高效资源配置方式而使得企业绩效下降。Jourdan等的理论在原来学者理论的基础上增加了另外一条影响机制（资源扰动）来解释这一现象，即公共赞助不仅会给企业提供优厚的资源，同时也会干扰企业对于资源的决策。新的理论能够有效地弥补原有理论的一些不足之处。

第三，本文倡导的曲线关系研究范式相比于线性关系研究范式有更好的解释力度。以往线性关系研究范式最大的优势在于简洁，但是由于线性模型过于简单，提供的信息有限，往往难以很好地解释现实生活中的管理现象。这在管理学研究中的表现便是越来越多的线性关系实证研究出现不一致的结果。而曲线关系研究范式除了能够解释两个构念之间的复杂关系，还能进一步明确关系的转折点、最优区间等信息，对构念间关系及管理学现象有更好的解释力度。

曲线关系的研究范式在管理实践中也有重要的指导意义。首先，“过犹不及”效应揭示了管理实践中的某些要素并非越多越好。[11]很多被认为能带来积极产出的要素其实都存在着成本。当这些要素的投入过量时，它们带来的收益可能会越来越少（如边界效应递减），但是产生的成本可能越来越多，导致最后的总产出（收益减去成本）反而可能变少。因此，本文主张在管理实践中对这些积极要素的投入应当控制在一定范围内而不是无止境地增加，以防发生“过犹不及”“物极必反”的结果。其次，本文提出的曲线关系研究范式还能通过提供细致的信息来启发管理实践。曲线关系研究范式相比于线性关系，除了能够揭示两个变量之间的复杂关系模式，还能明晰这段关系的转折点，为管理实践中要素投入的最优值或最优区间提供了指导和启示。Koopmann等研究发现，团队任期与团队绩效之间存在倒U 型的关系。[42]这一研究启示了在现实管理中，团队任期并非是越长越好，过长或者过短的团队任期都不利于团队的绩效。研究更进一步指出了这一段倒U 型关系的转折点在团队任期为3.1年，也就是说一个团队任期在3年左右时，团队会达到绩效的最高值。从这点来看，曲线函数可以启发管理决策，但也需要注意，由于管理学常常采用方便取样的方式，采集的数据样本未必具有很强的代表性，加上管理学研究中经常采用主观报告的方式，使管理学研究结论的可推广性和精确性都存在一定的不足。由这点来看，我们对管理学中曲线现象的临界点很难做出准确估计，利用二次函数（及其他曲线函数）估计出来的结果未必能直接应用到企业管理实践中，所以在应用此类管理学发现时仍需谨慎。

2.本文的贡献与意义

第一，以往大多数的研究一般假设变量之间是线性的关系，但是线性的假设未必符合我们对世界的观察。本文详细介绍了曲线效应的本质，以及该效应如何在管理学研究中进行应用。在此基础上以二次曲线关系为例，介绍了“过犹不及”和“居中不良”两种典型的效应。这些效应启发我们可以采用非线性的眼光来看待世界以及管理学研究中构念与构念间的关系，从而更为细致地揭示构念间的关系，进一步发展我们的管理理论。因此，本文的第一个贡献是系统阐述了非线性效应，帮助读者更好地理解非线性效应的内涵和本质，拓宽读者的研究思路。

第二，本文通过介绍目前国内外对于非线性关系的研究例子说明，非线性效应普遍存在于管理学各子领域中，希望能以此帮助研究者了解目前国内外对于非线性关系的研究情况。在管理学的各子领域学科（组织行为学、人力资源管理、创业创新、战略管理等）国内外研究中，存在着一些曲线效应的研究实例。然而，这些曲线效应的研究仍然是凤毛麟角，目前绝大多数管理学研究仍旧采用线性关系的研究思路。因此，本文希望通过对非线性关系研究的介绍，帮助研究者了解非线性模型，并鼓励研究者采用非线性模型对管理学及其他社会科学领域存在的复杂现象进行探索，同时也希望能够引发研究者对管理学研究采用合适模型的关注。

第三，本文进一步探讨了如何对非线性关系模型进行统计检验的问题，以二次函数为例，详细介绍了如何检验一般非线性关系、非线性模型中的调节效应及非线性模型中的中介效应，详细介绍了非线性模型与以往线性模型的区别与联系，从而为拟采用非线性模型的研究者提供良好的数理基础和工具性支持，为进一步推广非线性模型的运用打下基础。线性模型和非线性模型的数学公式及统计方法总结见表1，以供读者参考。

表1 线性效应与二次函数曲线效应的检验方法

3.局限与展望

由于篇幅所限，本文只探讨了非线性模型中的二次函数模型，这是考虑到二次函数模型是诸多非线性模型中最为典型和简单的，其他非线性模型的建模及检验方式与二次模型建模和检验方法并无本质区别，研究者可以根据本文中的二次函数建模方法推导出其他的非线性模型（如三次函数、对数函数等）及其检验方法。

此外，由于管理学研究对象天然的存在嵌套结构，如员工嵌套于团队、团队嵌套于部门、部门嵌套于企业、企业嵌套于行业等，使在管理学研究中运用多水平建模的方法变得非常必要。然而，受篇幅所限，本文仅对单一水平的非线性模型进行介绍，但本文所介绍的内容可以很直观地应用到多水平的研究中。根据Preacher等的研究，在考虑变量间的关系时，只要有一个变量属于高阶层面的变量，那么整段关系就应该发生在高阶层面。[43]若研究目的是检验团队层面的变量X 是否通过个体层面的中介变量M 去影响个体层面的结果变量Y（即2-1-1中介效应关系），由于X 位于高阶层面（团队层面），则实际上整个中介效应都发生在高阶层面（团队层面），也就应该在单一的团队层面上检验X 通过M 对Y的中介效应（即2-2-2 中介效应）。由于该效应发生在单一水平上（团队层面），所以本文所述的单一水平的检验方式仍然适用。读者可以将本文所介绍的非线性效应的原理，与其他常用的统计技术（如多水平建模、结构方程模型等）相结合并灵活运用，从而解决更为复杂的研究问题，做出新的理论贡献。

注释

①此处提供了模型检验对应的Mplus 代码，可参见网址：http://osf.io/s5mkw/。