某些链环琼斯多项式的零点性质

韩友发， 张宇浓, 燕佳钰, 姜明慧

(辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029)

本论文主要分为两个部分,第一部分介绍一些基本知识,包括纽结链环的定义,Alexander多项式和Jones多项式的表达形式与性质;第二部分,重点讨论了排叉结P(k,1,…,1)和P(k,k,k)的琼斯多项式的零点分布性质，给出了某些单位根不是解的证明.

1 预备知识

1.1 纽结的基本概念

定义1.1把嵌入欧式空间R3或者三维球面S3中的圆周S1称为纽结.若给纽结规定一个方向,则得到有向纽结.

定义1.2由有限条互不相交的简单闭曲线构成的图形,称为链环;组成链环的每一条闭曲线称为该链环的一个分支；如果给链环的每一个分支规定一个方向,则称该链环为有向链环.

定义1.3对有向投影图L的全体交叉点符号(+1或-1)(见图1)求和,结果称为L的拧数,记作ω(L).

图1 交叉点符号

1.2 纽结多项式

引理1.1[3]亚历山大多项式Δ(L)的3个基本性质：

(1)同痕不变量.

(2)拆接关系式:

(3)Δ()=1.

引理1.2[3]设L是纽结的任意一个有向投影图，则都有一个关于t的整系数多项式V(L),同时满足下面3个性质：

(1)它是同痕不变量.

(2)满足拆接关系式:

(3)平凡纽结的多项式为

V()=1.

则称V(L)是L的琼斯多项式.

1.3 排叉结

定义1.4排叉结p(c1,c2,…,cn)由n元数组(c1,c2,…,cn)确定,i=1,2,…,n(n≥3),|ci|表示该位置的半扭转数,ci的正负表示扭转数的正负(见图2)．

图2 p(c1,c2,…,cn)标准图

2 排叉结及排叉链环的琼斯多项式零点性质

引理2.1[7]当k是偶数时,P(k,1,…,1)为排叉纽结,其琼斯多项式为

t1-n+(t+t-1+1)·(tk-1)·(-1)n-1}.

(1)

当k是奇数时,P(k,1,…,1)为排叉纽结,其琼斯多项式为

Vp(k(1),1(n-1))(t)=

(2)

(tk+t+t-1+1)·t1-n+(t+t-1+1)·(tk-1)·(-1)n-1，

得到

(3)

根据i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i(k为整数)，可以分下几种情况讨论(见表1，表2)：

表1 取值讨论表

表2 取值讨论表

当k为偶数,n为偶数时： 此时式(3)变为

同样以下几种情况讨论：

2.2 排叉链环P(k,k,k)的琼斯多项式零点性质

引理2.3[7]当k是正整数时,排叉链环P(k,k,k)的琼斯多项式为

(4)

t3k+(t+t-1+1)[3tk+(-1)3k(t+t-1)],

得到

由数学归纳法知

循环重复取值,周期为8(见表3).

表3 取值讨论表

当k≠4n时，虚部不为0，结论成立.

当k=4n时，虚部为0，下面证明实部不为0.

表4 取值讨论表