格蕴涵代数的Ω-犹豫模糊LI-理想*

姜曼， 黄军峰

(西安交通工程学院 数学教研室，陕西 西安 710300)

1 引言

自Zadeh在1965年提出模糊集[1]，模糊集已经应用到很多方面，现阶段，学者们主要研究的是模糊集以及由模糊集得到的拓展—直觉模糊集[2]、区间值模糊集[3]、双极值模糊集[4]、犹豫模糊集[5]、Ω-模糊集[6]等理论.在模糊蕴涵代数的基础上，1993年徐扬提出了格蕴涵代数[7]的概念，有关格蕴涵代数理论的研究，现阶段学者们做了大量工作[8-15].本文将犹豫模糊集、Ω-模糊集与格蕴涵代数相结合，研究格蕴涵代数的Ω-犹豫模糊LI-理想及其性质.

2 预备知识

定义1[16]设(L,∨,∧,′,→,O,I)是有界格，O是最小元，I是最大元，′:L→L是格中偏序(≤)的逆序对合对应，→:L×L→L是一个映射.称(L,∨,∧,′,→,O,I)是一个格蕴涵代数(简称为L)，如果∀x,y,z∈L,满足下列条件：

(1)x→(y→z)=y→(x→z); (2)x→x=I;

(3)x→y=y′→x′; (4)若x→y=y→x=I,则x=y;

(5)(x→y)→y=(y→x)→x; (6)(x∨y)→z=(x→z)∧(y→z);

(7)(x∧y)→z=(x→z)∨(y→z).

定义2[16]在格蕴涵代数L中定义二元运算⊕，使得(x⊕y)=x′→y,∀x,y∈L.

引理1[16]设L是格蕴涵代数，则∀x,y,z∈L,满足

(1)I→x=I,且x=I; (2)I→x=x，且x→O=x′;

(3)O→x=I，且x→I=I; (4)(x→y)→((y→z)→(x→z))=I;

(5)(x→y)→x′=(y→x)→y′; (6)x∧y=((x→y)→x′)′;

(7)x∨y=(x→y)→y; (8)x≤y当且仅当x→y=I;

(9)O⊕x=xI⊕x=I，且x⊕x′=I; (10)x∨y≤x⊕y，且x≤(x→y)′⊕y;

(11)x≤y⟹x⊕z≤y⊕z.

定义3[16]设L是格蕴涵代数，称L的一个非空子集Q是L的一个LI理想，如果∀x,y∈L,满足

(1)O∈Q；(2)若(x→y)′∈Q且y∈Q,有x∈Q.

定义4[16]设L是格蕴涵代数，称L上的一个模糊集A:L→[0,1]是L上的一个模糊LI-理想，如果∀x,y∈L,满足

(1)A(O)≥A(x)；(2)A(x)≥A((x→y)′)∧A(y).

定义5[16]设L、M是格蕴涵代数，称蕴涵同态f:L→M为格蕴涵同态，如果∀x,y∈L,满足

(1)f(x→y)=f(x)→f(y); (2)f(x∨y)=f(x)∨f(y);

(3)f(x∧y)=f(x)∧f(y); (4)f(x′)=(f(x))′.

同时，设映射f:L→M为格蕴涵同态，若f是单射，则称f是单同态；若f是满射，则称f是满同态；若f是双射，则称f是同构.

定义6[15]设Ω,X是非空给定集合，则称映射A：X×Ω→[0,1]为X的Ω-模糊集.

定义7[5]设X是一个非空经典集合，一个X上的犹豫模糊集F的定义为

F:={(x,hF(x))|x∈X}，

其中hF(x)是由区间[0,1]上若干个不同值构成的集合，表示X中的元素x属于集合F的若干种可能隶属度.设F为X中的犹豫模糊集P([0,1])为区间[0,1]的幂集.称集合

X(F,γ):={x∈X|γ⊆hF(x)}

为F的犹豫水平集，其中γ⊆P([0,1]).记X上的全体犹豫模糊集为HF(X).

定义8[5]对于F∈HF(X),犹豫模糊元hF(x)的下界和上界分别定义为

下界:hF-(x)=minhF(x)，上界:hF+(x)=maxhF(x).

犹豫模糊集的三个基本运算补、并和交分别定义为

(1)补：对于F∈HF(X),它的补元Fc定义为

补运算满足对合律，即(Fc)c=F.

(2)并：F,G∈HF(X),F和G的并F∪G定义为：∀x∈X，hF∪G(x)=hF(x)∪hG(x)={h∈hF(x)∪hG(x)|h≥max(hF-(x),hG-(x))}；

(3)交：F和G的交F∩G定义为:∀x∈X，hF∩G(x)=hF(x)∩hG(x)={h∈hF(x)∩hG(x)|h≤min(hF+(x),hG+(x))}.

3 格蕴涵代数的Ω-犹豫模糊LI-理想

定义9设Ω,X是非空给定集合，则称映射A：X×Ω→P([0,1])为X的Ω-犹豫模糊集.记X上的全体Ω-犹豫模糊集为ΩHF[X].

定义10设A:L→P([0,1])∈HF[L],如果∀x,y∈L,满足

(1)hA(O)⊇hA(x)；(2)hA(x)⊇hA((x→y)′)∩hA(y);

则称A是L的犹豫模糊LI-理想.记L上的全体犹豫模糊理想为HFI[L].

定义11设AΩ:L×Ω→P([0,1])∈ΩHF[L].如果∀x,y∈L,∀δ∈Ω,满足

(1)hAΩ(O,δ)⊇hAΩ(x,δ)；(2)hAΩ(x,δ)⊇hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ);

则称AΩ是L的Ω-犹豫模糊LI-理想.记L的全体Ω-犹豫模糊理想为ΩHFI[L].

在定义11中，如果hAΩ(x,δ)=hA(x),那么这时的Ω-犹豫模糊LI-理想就是一般的犹豫模糊LI-理想.

定理1若AΩ∈ΩHFI[L],则∀x,y∈L,∀δ∈Ω,若x≤y,有hAΩ(x,δ)⊇hAΩ(y,δ).

证明∀x,y∈L,∀δ∈Ω,如x≤y,则(x→y)′=I′=O.因此

hAΩ(x,δ)⊇hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ)=hAΩ(O,δ)∩hAΩ(y,δ)=hAΩ(y,δ).

定理2若AΩ:L×Ω→P([0,1])∈ΩHF[L]，∀x,y,z∈L,∀δ∈Ω,则以下结论等价：

(1)AΩ∈ΩHFI[L]； (2)L1和L4成立；

(3)L5； (4)L3和L6成立；

(5)L1和L7成立； (6)L8.

其中：

L1：hAΩ(O,δ)⊇hAΩ(x,δ)；

L2：hAΩ(x,δ)⊇hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ)；

L3：若x≤y,则hAΩ(x,δ)⊇hAΩ(y,δ)；

L4：hAΩ((x→z)′,δ)⊇hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ((y→z)′,δ);

L5：若(z→x)′≤y,则hAΩ(z,δ)⊇hAΩ(x,δ)∩hAΩ(y,δ);

L6：hAΩ(x⊕y,δ)⊇hAΩ(x,δ)∩hAΩ(y,δ);

L7：hAΩ(x⊕z,δ)⊇hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y⊕z,δ);

L8：hAΩ(z,δ)⊇hAΩ(x,δ)∩hAΩ(y,δ),∀z∈↓(x⊕y)={z∈L|z≤x⊕y}.

证明(1)⟺(2)

若AΩ∈ΩHFI[L],根据定义11，则L1成立.∀x,y,z∈L,∀δ∈Ω,根据引理1，有

((x→z)′→(y→z)′)′→(x→y)′=(x→y)→((y→z)→(x→z))=I,

因此((x→z)′→(y→z)′)′≤(x→y)′.因此根据定理1，有

hAΩ((x→z)′,δ)⊇hAΩ(((x→z)′→(y→z)′)′,δ)∩hAΩ((y→z)′,δ)⊇

hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ((y→z)′,δ).

当L1和L4成立时，由于(x→O)′=(x′)′=x,因此根据L4有

hAΩ(x,δ)=hAΩ((x→O)′,δ)⊇hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ((y→O)′,δ)=

hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ).

所以由定义11可知AΩ∈ΩHFI[L].

(1)⟺(3)

若AΩ∈ΩHFI[L],∀δ∈Ω,∀x,y,z∈L,若(z→x)′≤y,那么有

hAΩ((z→x)′,δ)⊇hAΩ(y,δ)；

又由于AΩ∈ΩHFI[L],因此

hAΩ(z,δ)⊇hAΩ((z→x)′,δ)∩hAΩ(x,δ)⊇hAΩ(y,δ)∩hAΩ(x,δ).

若L5成立，∀x∈L,∀δ∈Ω,由于(O→x)′→x=I′→x=O→x=I,根据引理1有(O→x)′≤x,因此hAΩ(O,δ)⊇hAΩ(x,δ)∩hAΩ(x,δ)=hAΩ(x,δ).

∀x,y∈L,∀δ∈Ω,由于(x→(x→y)′)′→y=y′→(x→(x→y)′)=y′→((x→y)→x′)=(x→y)→(y′→x′)=(x→y)→(x→y)=I,根据引理1有(x→(x→y)′)′≤y,因此hAΩ(x,δ)⊇hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ).所以AΩ∈ΩHFI[L].

(3)⟺(4)

∀x,y∈L,∀δ∈Ω,若x≤y,则(x→y)′=I′=O≤y,从而

hAΩ(x,δ)⊇hAΩ(y,δ)∩hAΩ(y,δ)=hAΩ(y,δ),

因此L3成立.又因为

((x⊕y)→y)′→x=x′→((x⊕y)→y)=(x⊕y)→(x′→y)=(x⊕y)→(x⊕y)=I,

根据引理1有((x⊕y)→y)′≤x,所以由L5可得hAΩ(x⊕y,δ)⊇hAΩ(x,δ)∩hAΩ(y,δ),因此L6成立.

(4)⟺(5)

∀x∈L,∀δ∈Ω,由于O≤x,因此由L3有hAΩ(O,δ)⊇hAΩ(x,δ),所以L1成立.

∀x,y,z∈L,∀δ∈Ω,根据引理1有x≤(x→y)′⊕y,因此x⊕z≤((x→y)′⊕y)⊕z=(x→y)′⊕(y⊕z),从而hAΩ(x⊕z,δ)⊇hAΩ((x→y)′⊕(y⊕z),δ)⊇hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y⊕z,δ).因此L7成立.

(5)⟺(6)

∀x,y∈L,∀δ∈Ω,如果x≤y,则(x→y)′=I′=O,因此hAΩ(x,δ)=hAΩ(x⊕O,δ)⊇

hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y⊕O,δ)=hAΩ(O,δ)∩hAΩ(y,δ)=hAΩ(y,δ).即L3成立.

又由于∀x,y∈L,∀δ∈Ω,∀z∈↓(x⊕y)={z∈L|z≤x⊕y},因此hAΩ(z,δ)⊇

hAΩ(x⊕y,δ)⊇hAΩ((x→O)′,δ)∩hAΩ(O⊕y,δ)=hAΩ(x,δ)∩hAΩ(y,δ).即L8成立.

(6)⟺(1)

∀x∈L,∀δ∈Ω,因为O≤x⊕x,因此O∈↓(x⊕x),所以由L8有hAΩ(O,δ)⊇hAΩ(x,δ)∩hAΩ(x,δ)=hAΩ(x,δ).因此L1成立.

∀x,y∈L,∀δ∈Ω,则x≤(x→x)′⊕y,即x∈↓(x→y)′⊕y,因此hAΩ(x,δ)⊇hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ).因此AΩ∈ΩHFI[L].

设AΩ∈ΩHF[X],∀γ∈P([0,1]),称Aγ={(x,hAΩ(x,δ))⊇γ|x∈X,δ∈Ω}为A关于的Ω的γ-犹豫水平截集.

定理3AΩ∈ΩHFI[L]⟺Aγ(≠∅)是L的LI-理想.

证明“⟹”∀δ∈Ω,若Aγ≠∅,则有x∈Aγ,即hAΩ(x,δ)⊇γ.由于AΩ∈ΩHFI[L],因此∀x∈L,hAΩ(O,δ)⊇hAΩ(x,δ),所以hAΩ(O,δ)⊇hAΩ(x,δ)⊇γ,即O∈Aγ；当(x→y)′∈Aγ且y∈Aγ时，那么有hAΩ((x→y)′,δ)⊇γ且hAΩ(y,δ)⊇γ成立.由于AΩ∈ΩHFI[L],因此hAΩ(x,δ)⊇hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ)⊇γ.即x∈Aγ.所以Aγ是L的LI-理想.

“⟸”∀γ∈P([0,1]),∀x∈L,由于Aγ≠∅是L的LI-理想，令hAΩ(x,δ)=γ,那么有0∈Aγ,因此hAΩ(O,δ)⊇γ=hAΩ(x,δ).

∀x,y∈L,令hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ)=γ,那么有hAΩ((x→y)′,δ)⊇γ,hAΩ(y,δ)⊇γ,因此(x→y)′∈Aγ并且y∈Aγ.由于Aγ是L的LI-理想，因此x∈Aγ,所以有hAΩ(x,δ)⊇γ=hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ).因此有AΩ∈ΩHFI[L].

设AΩ∈ΩHF[L],0≤k≤1,∀δ∈Ω,定义AΩ∩k和AΩ∪k如下

hAΩ∩k(x)=hAΩ(x,δ)∩k,hAΩ∪k(x)=hAΩ(x,δ)∪k.

定理4如果AΩ∈ΩHFI[L],那么AΩ∩k∈ΩHFI[L],AΩ∪k∈ΩHFI[L].

证明如果AΩ∈ΩHFI[L],那么∀δ∈Ω,∀x,y∈L,有hAΩ∩k(O,δ)⊇hAΩ(x,δ)∩k=hAΩ∩k(x,δ)=hAΩ(O,δ)∩k,hAΩ∩k(x,δ)=hAΩ(x,δ)∩k⊇(hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ))∩k=(hAΩ((x→y)′,δ)∩k)∩(hAΩ(y,δ)∩k)=hAΩ∩k((x→y)′,δ)∩hAΩ∩k(y,δ).因此AΩ∩k∈ΩHFI[L].类似地，可证AΩ∪k∈ΩHFI[L].

定理5如果AΩ、BΩ∈ΩHFI[L],那么AΩ∩BΩ∈ΩHFI[L].

证明如果AΩ、BΩ∈ΩHFI[L],那么∀δ∈Ω,∀x,y∈L,有

hAΩ∩BΩ(O,δ)=hAΩ(O,δ)∩hBΩ(O,δ)⊇hAΩ(x,δ)∩hBΩ(x,δ)=hAΩ∩BΩ(x,δ).

hAΩ∩BΩ(x,δ)=hAΩ(x,δ)∩hBΩ(x,δ)⊇

(hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ))∩(hBΩ((x→y)′,δ)∩hBΩ(y,δ))=

(hAΩ((x→y)′,δ)∩hBΩ((x→y)′,δ))∩(hAΩ(y,δ)∩hBΩ(y,δ))=

hAΩ∩BΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ∩BΩ(y,δ).

因此可得AΩ∩BΩ∈ΩHFI[L].

定理6AΩ∈ΩHFI[L]⟺Aδ∈HFI[L]且Aδ：L→P([0,1]),其中hAδ(x)=hAΩ(x,δ),∀δ∈Ω,∀x∈L.

证明“⟹” 如果AΩ∈ΩHFI[L],那么∀x,y∈L,∀δ∈Ω,有hAδ(0)=hAΩ(0,δ)⊇hAΩ(x,δ)=hAδ(x)和hAδ(x)=hAΩ(x,δ)⊇hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ)=hAδ((x→y)′)∩hAδ(y)成立.因此Aδ∈HFI[L].

“⟸”若Aδ∈HFI[L],则∀x,y∈L,∀δ∈Ω,根据定义11有

hAΩ(0,δ)=hAδ(0)⊇hAδ(x)=hAΩ(x,δ)；

hAΩ(x,δ)=hAδ(x)⊇hAδ((x→y)′)∩hAδ(y)=hAΩ((x→y)′,δ)∩hAΩ(y,δ).

因此AΩ∈ΩHFI[L].

=hAδ((x→y)′,δ)∩hAδ(y,δ).所以Aδ∈ΩHFI[L].

定理8设L1、L2是格蕴涵代数，映射f:L1→L2为满同态映射，若AΩ∈ΩHFI[L1],则f(AΩ)={(x,hf(AΩ)(y,δ))|x∈X}∈ΩHFI[L2],其中定义hf(AΩ)(y,δ)=∪{hAΩ(x,δ)|f(x)=y,δ∈Ω}.证明∀y1,y2∈L2,由于映射f:L1→L2为满同态映射，因此∃x1,x2∈L1,有f(x1)=y1,f(x2)=y2,且有f(O)=O,因此∀δ∈Ω,有

hf(AΩ)(O,δ)=∪{hAΩ(x,δ)|f(x)=O,δ∈Ω}⊇∪{hAΩ(O,δ)|f(O)=O,δ∈Ω}⊇

∪{hAΩ(x1,δ)|f(x1)=y1,δ∈Ω}=hf(AΩ)(y1,δ)；

hf(AΩ)(y1,δ)=∪{hAΩ(x1,δ)|f(x1)=y1,δ∈Ω}⊇∪{hAΩ((x1→x2)′,δ)|f((x1→x2)′)=

(y1→y2)′,δ∈Ω}∩∪{hAΩ((x2,δ)|f(x2)=y2,δ∈Ω}=

hf(AΩ)((y1→y2)′,δ)∩hf(AΩ)(y2,δ).

综上可得，f(AΩ)∈ΩHFI[L2].

定理9设L1、L2是格蕴涵代数，映射f:L1→L2为同态映射，若BΩ∈ΩHFI[L2],那么f-1(BΩ)={(x,hf-1(BΩ)(y,δ))|x∈X}∈ΩHFI[L1],其中定义hf-1(BΩ)(y,δ)=hBΩ(f(y),δ),δ∈Ω.

证明若BΩ∈ΩHFI[L2],则∀y1,y2∈L2,∀δ∈Ω,有

hf-1(BΩ)(O,δ)=hBΩ(f(O),δ)⊇hBΩ(f(y1),δ)=hf-1(BΩ)(y1,δ)；

hf-1(BΩ)(y1,δ)=hBΩ(f(y1),δ)⊇hBΩ(f(y1→y2)′,δ)∩hBΩ(f(y2),δ)=

hf-1(BΩ)((y1→y2)′,δ)∩hf-1(BΩ)(y2,δ).

综上可得，f-1(BΩ)∈ΩHFI[L1].