例谈全等三角形学习的四种意识

曹宝

“全等三角形”的学习中，教师要有针对性地引导学生树立四种意识，即通过“边角定形”意识实现元素到“三角形”的跨越，通过“利用全等”意识认识全等的作用，通过“推陈出新”意识增强推理能力，通过“全等变换”意识理解全等的实质。

一、“边角定形”意识

边、角是三角形的基本要素。初学时，学生理解题意中提到的“边”“角”相关条件时，往往不能由角及形、由线及形。在复杂图形中，因为有干扰条件或位置关系不易观察，即使两个全等三角形已经存在，学生依靠直觉也不易发现。在需要做辅助线构造全等三角形时，学生无处着手。造成上述现象的主要原因是，学生缺乏以条件中的“边”或“角”来确定目标三角形的意识，即“边角定形”意识。因此，教师要培养学生由条件或问题中的“边”“角”确定相关三角形，再通过发现或构造全等三角形来解决问题的意识和能力，进而实现从局部到整体的思维提升。

全等三角形的五个判定定理（SSS、ASA、SAS、AAS、HL）中都有“等边”条件。存在“等边”是两个三角形全等的基础，也是“定形”的重要依据。教师可引导学生用图形分离法或涂色法主动“定形”。

如图1，在△ABC中，AC=BC，直线EF交AC于F，交AB于E，交BC的延长线于D，连接AD、BF，若CF=CD，BF=AD。求证：BF⊥AD。

此题直观上不易发现全等三角形，从求证中也难以确定全等的目标图形，但条件中给出了三对相等的线段，教师应利用这些“等边”，引导学生通过“定形”猜想并证明△BFC≌△ADC，再通过全等带来的等角证出∠BCF=∠ACD=90°，从而得出∠BMD=90°。

二、“利用全等”意识

全等三角形可提供等边、等角，在解决等量关系问题中有重要作用。很多时候，学生由于缺乏“利用全等”的意识，不能有效利用全等带来的等边或等角构想解决问题的思路。

如何促进学生主动利用全等三角形提供的条件解决问题呢？有一类题目，需要证明两对甚至三对全等三角形，在根据条件得到第一对三角形全等后，可利用其提供的等边或等角，为证明第二对三角形全等服务。教师引导学生掌握此类问题，能强化学生“利用全等”的意识。

如图2，在四边形ABDC中，∠BAC+∠BDC=180°，BD=CD，DE⊥AB于E，求[AB+ACAE]的值。

此题条件中给出了BD=CD，作DF⊥AC于F，根据四边形ABDC对角互补可以证出外角等于内对角，即∠DCF=∠DBE，从而得△DCF≌△DBE。通过这对三角形全等，不仅能得到BE=CF，为后续代换线段做准备，而且提供了DE=DF，可用于证明第二对三角形全等，即△ADE≌△ADF，进而得出AE=AF，推知[AB+ACAE=（AE+EB）+（AF-CF）AE=2AEAE=2]。

还有一类题目，问题指向“全等”的方向不明显，学生不易想到通过证明或构造全等三角形解决问题。事实上，当全等三角形出现后，就能带来相等的量，再通过代换找到更多量之间的关系，为解决线段或角的相关问题提供条件。

如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D、E两点运动速度相等。设x=AD，y=AE+CD，y关于x的函数图象如图4，图象经过（0，2），则图象最低点的横坐标是________ 。（2021武汉市中考T16）

由题可知AD=BE，构造△FBE≌△CAD（如图5），得出EF=CD，可将问题转化为求AE+EF取最小值时AD的长度，即当A、E、F共线时BE的值。再由图象信息可知：AD=0时，y=AE+CD=AB+AC=2，得AB=1，最后求得BE=[2]-1=AD。

三、“推陈出新”意识

“等量”是研究全等三角形的关键，当条件给出或题中证出一些等量时，往往可以利用等式的性质代换出新的等量。

如图6，锐角∠AOC，OA=OC，D、B两点分别在线段OA、OC上，且OD=OB。设∠A=α，将△ODC绕点O逆时针旋转一定的角度，使∠BOD=α（如图7），过B作BE∥CD交OC于E，求证：BE=AO。

由条件可得△AOB≌△COD，所以∠1=∠2，∠4=∠C=∠BEO。根据目标线段BE、OA，考虑以边BE、∠BEO为基础构造一个三角形与△OAB全等。由条件知∠3=∠4，作∠BFO=∠BOF（F在CO上），得BO=BF，并由∠BFO+∠BFE=180°，∠BOF+∠OBA=∠1+∠3+∠OBA=∠2+∠4+∠OBA=180°，证出∠BFE=∠OBA，从而△BEF≌△OAB，得BE=AO。

四、“全等变换”意识

当题目给出的条件显得不够、不明顯，或者条件及目标中的线段、角等元素不好利用时，我们可以将图形做一定的变换，使学生发现隐含条件，构造新的三角形，从而解决问题。

教师引导学生从变换的角度认识全等，借助平移变换、对称变换、旋转变换等方法，整体把握图形，经历图形的抽象、分类、运动、位置确定、性质探讨等过程，能促进学生对“全等”问题的深度理解。

如图8，D为等边△ABC外一点，且∠CDB=60°，E为边BC的中点，连接DE、DA，求证：AD=2DE。

根据要证结论及条件“E为边BC的中点”，易想到通过“倍长中线”DE，构造△DEB≌△FEC。这样做的实质是将△DEB绕E点旋转180°，通过旋转变换得到△FEC，出现DF=2DE。在尝试证明DA=DF时，图中找不到已有的全等三角形，必须通过全等变换转移线段，构造新的三角形。抓住△DCF，在已知等边△ABC的基础上，作等边△DBG，将△ABD旋转变换为△CBG，将AD转换为CG，构造出△GDC。随之发现DG=DB=CF，∠FCD=∠GDC=120°，CD=DC，发现对称变换的两个全等三角形，即△FCD≌△GDC，从而证出AD=CG=DF=2DE。

（作者单位：武汉经济技术开发区教育局教研室）

责任编辑  刘佳