无穷维3-李代数的可列结构

周 檬，潘学功，白喜梅

(1.河北软件职业技术学院软件技术系，河北 保定 071000；2.河北大学数学系，河北 保定 071002)

1 预备知识

3-李代数[1-3]在理论物理及微分几何中发挥着重要作用.文献[4-5]利用交换的结合代数构造出了无限维的3-李代数，研究了无限维单3-李代数与Harish-Chandra模的关系，以及实数域上可微函数空间上的单3-李代数的可列结构.

3-李代数L是域F上具有线性运算[，，]：L∧L∧L→L的线性空间，且满足∀x1，x2，x3，y2，y3∈L，

[[x1，x2，x3]，y2，y3]=[[x1，y2，y3]，x2，x3]+[x1，[x2，y2，y3]，x3]+[x1，x2，[x3，y2，y3]].

设B是3-李代数L的子空间，如果∀x1，x2，x3∈B有[x1，x2，x3]∈B，则称B是L的子代数.

设H是3-李代数L的子代数，如果H是满足下列条件的极大子代数：

(1) [H，H，H]=0；

Lγ={x=L|[h1，h2，x]=γ(h1，h2)x，∀h1，h2∈H}.

(1)

则称H是3-李代数L的可列Cartan子代数.如果3-李代数L具有可列Cartan子代数，则称L为可列3-李代数，等式(1)为L关于可列Cartan子代数H的根空间分解.如果Lγ≠0，则称γ是关于H的一个根，称L为根子空间，根的全体Λ={γ∈(H∧H)*-{0}|Lγ≠0}称为L关于H的根系.

例1 设L是域F上的4维3-李代数，{e1，e2，e3，e4}是L的一组基，L的乘法为

[e1，e2，e3]=e4，[e1，e2，e4]=e3.

直接计算可知H=Fe1+Fe2是L的可列Cartan子代数，L关于H的根空间分解为

L=H+Lγ1+Lγ2，Lγ1=F(e3+e4)，Lγ2=F(e3-e4).

其中Λ={γ1，γ2}⊂(H∧H)*，γ1(e1，e2)=1，γ2(e1，e2)=-1.

设A是以{Lr，Mr|r∈Z}为基的交换结合代数，其乘法为

LrLs=Lr+s，MrMs=Mr+s，LrMs=0，∀r，s∈Z.

定义线性变换δ，ω：L→L，

δ(Lr)=rLr，δ(Mr)=rMr；ω(Lr)=M-r，ω(Mr)=L-r.

(2)

2 主要结论

设R是实数域，W={fr=yerx，gr=zerx|r∈Z，x，y，z∈R}是三元实函数的集合.显然，W是所有三元实函数构成的线性空间中的线性无关组，记W在实数域上张成的线性空间为L，则L是以W为基的实数域上的无限维线性空间.

为方便起见，记fr=zerx，gr=yerx，∀r∈Z.

定理1 设L是以{fr=yerx，gr=zerx|r∈Z，x，y，z∈R}为基的实数域R上的无限维线性空间，则L按下列运算构成无限维的单3-李代数，记为L∂：

(3)

且在基{fr=yerx，gr=zerx|r∈Z，x，y，z∈R}下的乘法表如下：

(4)

证明由文献[1]可知，L按照运算(3)构成3-李代数，且直接计算可知：

[yelx，yemx，yenx]=[zelx，zemx，zenx]=0，

从而可得乘法表(4).由文献[4]，在3-李代数L∂同构映射

对任意非零整数l0，记Hl0=Rgl0+Rf-l0，即Hl0是以gl0和f-l0为基的L的2维交换子代数，即[Hl0，Hl0，Hl0]=0，且有下列结论：

定理2 3-李代数L∂是具有可列Cartan子代数Hl0的可列3-李代数，且关于Hl0的根空间分解为

(5)

γk：Hl0∧Hl0→R，γk(gl0，f-l0)=-(l0+k).

其中根空间Lγk=Rfk+Rg2l0+k，即Lγk是以g2l0+k，fk为基的2维子空间，L∂关于Hl0的根系为Λ.

证明因为dimHl0=2，所以[Hl0，Hl0，Hl0]=0.对任意整数k≠l0，由乘法表(4)可知

[gl0，f-l0，gk]=(l0-k)gk，[gl0，f-l0，fk]=(-k-l0)fk.

所以[gl0，f-l0，gk]=0，当且仅当k=l0；[gl0，f-l0，fk]=0，当且仅当k=-l0.因此，对任意a，b∈R，k，l∈Z，k≠l0，l≠-l0，[gl0，f-l0，agk+bfl]=a(l0-k)gk+b(-l-l0)fl=0，当且仅当a=b=0.故H0是L∂的可列的Cartan子代数.

定义γk：Hl0∧Hl0→R，γk(gl0，f-l0)=-(l0+k)，k∈Z，k≠l0.则

[gl0，f-l0，fk]=-(l0+k)fk=γk(gl0，f-l0)fk，

[gl0，f-l0，g2l0+k]=(l0-2l0-k)g2l0+k=γk(gl0，f-l0)g2l0+k.

因此，对任意k≠l0，γk是L∂关于Hl0的一个根，对应的根空间为Lγk=Rfk+Rg2l0+k，且L∂关于Hl0的根系为Λ={γk|k∈Z，γk(gl0，f-l0)=-(l0+k)，k≠l0}，从而等式(5)得证.

定理3 设3-李代数L∂关于可列Cartan子代数Hl0的根空间分解为等式(5).则对任意非零r，s，t∈Z≠l0满足(r-s)2+(r-t)2+(t-s)2≠0，有下列等式成立：

[Lγr，Lγs，Lγt]=Lγr+s+t，γr+γs+γt=γr+s+t∈Λ.

证明由定理2可知，对任意γr，γs，γt∈Λ，有r，s，t∈Z≠l0且

Lγr=Rfr+Rg2l0+r，Lγs=Rfs+Rg2l0+s，Lγt=Rft+Rg2l0+t.

由等式(4)可知

[fr，fs，g2l0+t]=(r-s)f2l0+r+s+t，[fr，g2l0+s，g2l0+t]=(t-s)g4l0+r+s+t，

[fr，g2l0+s，ft]=(t-r)f2l0+r+s+t，[fr，g2l0+s，g2l0+t]=(t-s)g4l0+r+s+t.

因为(r-s)2+(r-t)2+(t-s)2≠0，不妨假设t≠s，r≠s.由上述计算可知

g4l0+r+s+t，f2l0+r+s+t∈[Lγr，Lγs，Lγt].

所以，[Lγr，Lγs，Lγt]=Lγr+γs+γt=Lγr+s+t.证毕.

定理4 3-李代数L∂的任意一个可列Cartan子代数都具有形式Hl=Rgl+Rf-l，∀l∈Z.因此，3-李代数L∂的任意两个可列Cartan子代数同构.

证明由定理2可知，对任意整数，Hl=Rgl+Rf-l是3-李代数L∂的Cartan子代数.再由定理3可得3-李代数L∂的任意一个可列Cartan子代数都具有形式H(l).

对任意l，m∈Z，定义线性映射σlm：H(l)→H(m)，

σ(agl)=agm，σ(bg-l)=bg-m，∀a，b∈R.

显然，σ是线性同构，再由H(l)与H(m)都是Abel子代数，所以σ是代数同构.结论得证.