利用向量法求空间角

王丽艳

摘要：近年来，立体几何中的空间角问题已成为各大考试中的“常客”，而向量法是解决立体几何问题的常用方法。向量法避免引入繁杂的辅助线，是学生使用较多的方法。但学生在用向量法求解空间角问题时，易混淆空间角与向量所成角的关系。本人带领学生进行一轮复习，利用一节课时间，复习空间角知识，巩固与加深学生对空间角与向量所成角关系的理解，并能解决相关题目。以下是本人授课中讲解线面角与向量所成角关系的教学片段。

关键词：向量法，空间角，线面角

一、知识讲授

首先带领学生回顾相关知识点：两向量数量积公式、两向量夹角公式、平面法向量的概念、线面角θ的范围（请学生回答，此處详细的公式及概念省略）

α思考：设平面α的一个法向量为，则<，>与线面角θ的关系？（教师用幻灯片放映所用课件）。

教师问：对于图1，θ的余角与<，>的关系？

学生1答：相等，满足关系式cos.

教师追问：请你简单说说二者为什么满足这个关系？

学生1答：因为向量有方向，向量的夹角要求两个向量平移到有共同的起点位置，当两个向量位置如图1时，既满足θ的余角与<，>相等。

教师问：非常好，那么哪位同学可以说说图2中，θ的余角与<，>的关系？

学生2答：互补，满足关系式

教师问：那么可以得出线面角与向量所成角之间的关系吗？

学生3答：由诱导公式得到线面角与向量角的关系式：sinθ=

教师：这几位同学掌握的都非常好，大家要理解并熟记这个公式，同学们在求解线面角时角问题时，应注意到方向向量与法向量夹角余弦值的绝对值与线面角的正弦值相等，如果要求线面角的余弦值需要用求解，大家务必牢记，在以后做题中不要混淆两角关系，下面我们看一道求线面角的问题。

二、相关例题

如图，在四边形ABCD中，BC=CD，BC⊥CD，AD⊥BD，以BD为折痕把△ABD折起，使点A到达点P的位置，且PC⊥BC.若M为PB的中点，二面角P­BC­D等于60°，求直线PC与平面MCD所成角的正弦值.

教师分析：求解直线与平面所成的角步骤： 1.建系，将点、向量坐标化;2.求出直线的方向向量、平面的法向量;3.求向量的夹角，根据sinθ=得出所求（该题的解答过程由学生书写，教师投影并进行讲评，强调重要步骤）。

解：∵PC⊥BC，CD⊥BC，∴∠PCD是二面角P­BC­D的平面角，即∠PCD=60°.在Rt△PCD中PD=CDtan60°=3CD.取BD中点O，连OM，OC.∵BC=CD，BC⊥CD，∴OC⊥BD.由题知OM为△PBD的中位线，∴OM∥PD.

又由PD⊥面BCD（易证），∴OM⊥面BCD，∴OM⊥BD，OM⊥OC，即OM，OC，BD两两垂直，以O为原点，OC，OD，OM所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

设OB=1，则P（0，1，），C（1，0，0），D（0，1，0），M（0，0，），则，，.设平面MCD的一个法向量为，由得取，得

设线PC与面MCD所成角为θ，故线PC与面MCD所成角的正弦值为.

三、归纳总结

向量法是高中数学教学中的重要内容，是解决立体几何问题法的重要方法。学生在解决立体几何问题时，若题目可以建系，学生会首先考虑建立坐标系来解题。通过本节课师生的讨论与研究，巩固学生对空间角与向量所成角的关系的认识，降低思维高度，化繁为简，快速解题。

参考文献：

[1]高永琪.用向量法求空间角[J].考试周刊，2009（06）：69-70.

[2]张宏俪.聚焦立体几何中空间角的求解[J].高中数理化，2021（23）：13-15.

[3]刘春燕.向量法求空间角与距离[J].读写算（数学教育研究），2010（31）：98-99.