非线性优化的航空电源交流畸变系数算法研究

(1.上海飞机设计研究院 民用飞机模拟飞行国家重点试验室,上海 201210； 2.西安理工大学，陕西 西安 710048)

航空用单相或三相交流电源是重要的机载电源，其额定输出频率为400 Hz，输出相电压为115 V。交流畸变会降低电源供电质量，影响用电设备性能指标。因此，国军标(GJB 181B—2012、GJB 5189—2003)[1-2]和航天行业标准(QJ 3233—2005)[3]等均提出，需要对航空交流电源的交流电压畸变系数进行检测。

国军标GJB 5189—2003[2]对交流电压畸变系数检测方法进行了说明，其核心在于计算求出采样数据和交流电压基波信号的误差平方和。但是，国军标GJB 5189—2003[2]并未明确说明交流电压基波分量的检测计算方法。怎样从交流电压采样信号中获取基波分量，成为交流畸变系数检测的主要难点。

交流电压基波分量包含了幅值、频率和相位3个参数。航空用三相交流电源的电压幅值约为162 V(115 Vrms)；频率固定为400 Hz，但实际频率通常存在小幅变化；相位则由采样起始时间决定。基波分量的检测在电力系统中具有重要价值，在电力计量、配电自动化远方终端、继电保护和故障录波等电力自动化装置中广泛应用。电力系统中，通常先通过硬件滤波消除或抑制高次谐波，获得交流基波分量，之后采用硬件或软件方法检测幅值、频率和相位。硬件滤波通常采用无源或有源低通滤波器，例如，杨菊[4]提出了一种基于自适应陷波器、瞬时对称分量算法和滞环电流控制方式的飞机交流电源有源滤波器，通过硬件补偿谐波方式获得交流信号基波分量。针对基波分量检测幅值频率和相位，常用的方式包括硬件法和软件方法。硬件方法通过过零比较器、方波形成电路和计数器等，利用周期或频率测量法实现测频[4-5]，或通过锁相倍频电路在线跟踪系统频率[6-7]；软件方法则通过傅里叶变换法[8-11]或数字滤波器[12-13]测量频率，或在频率已知条件下测量幅值和相位[14]。

由于本系统旨在检测电压信号交流畸变，因此无法使用对原始信号硬件滤波后求解基波分量的方案。采用锁相环或傅里叶变换方法等，通常只能对幅值频率相位中的一个或两个参数进行检测，其他参数则需要固定。实际航空电源检测中，幅值、频率和相位均受到交流畸变影响，需要同时加以检测。为此，研究并提出一种基于非线性优化的基波分量拟合计算方法，用于从交流电压采样信号中准确提取基波分量，从而实现交流畸变系数的准确检测。

首先将交流基波分量的计算，转换为一个同时包含频率、相位和幅值的非线性优化问题。该问题旨在通过非线性拟合方法，从原始采样数据中拟合出交流基波分量。之后，基于多维单纯形下降法(Nelder-Mead method)[15-16]，构造数值优化求解算法，同步优化频率、相位和幅值，使交流基波分量与采样数据的误差平方和最小，从而拟合出接近真值的交流基波分量。在此基础上计算交流畸变系数。通过数值试验，验证了该方法的有效性。最后，将该算法应用于某最新研制的大功率航空电源检测系统中，获得了良好的检测效果。

所设计算法无需对采样信号事先进行滤波提取基波，也无需假设频率已知等预设条件，因而能够在不增加硬件复杂程度的基础上，更为准确地获取基波分量，进而更为精确地计算出交流畸变系数。该方法改进了交流基波分量和交流畸变系数检测方法，具有理论和实践应用价值。

1 交流畸变系数检测原理

根据国军标GJB 5189—2003[2]要求，交流畸变系数是交流畸变与电压基波分量方均根之比，具体检测方法如下。

首先按照一定采样频率(100 kHz以上)对待测交流电源输出电压进行连续采样(采样值记为ui)，采样时间不小于1 s。之后，按照式(1)计算交流畸变值：

(1)

式中：UJJ为交流畸变电压，单位为V；Tw为小于并最接近1 s期间整数个电压周波所对应的时间，单位为s；Δt为采样周期，单位为s；uJJi为采样时刻交流畸变电压瞬时值，单位为V，计算方式如下：

uJJi=ui-u1i

(2)

式中：ui为被测交流电源在采样时刻的输出电压瞬时值，单位为V；u1i为被测交流电源在采样时刻的输出电压基波分量瞬时值，单位为V。

由交流畸变电压计算交流畸变系数：

(3)

式中：KJJ为交流畸变系数；U1为基波分量方均根值(即有效值)，单位为V。

尽管国标GJB 5189—2003[2]说明了交流畸变系数检测的方法，但并没有具体说明式(1)和式(2)中交流基波分量的计算方法。怎样从交流电压采样信号中获取基波分量，成为交流畸变系数检测的主要难点。

2 交流基波分量拟合问题

交流畸变检测系统中，通常采用高速ADC对被测交流信号进行高速采样，其采样率通常在交流信号固有频率10倍以上。假设按照固定采样率，在一定时间内对待测交流信号进行采样，采样电压信号记作ui，共获得n个采样值，采样周期为Δt。定义第i个采样时刻，交流基波分量信号真实值为

u1i(A,f,θ)=Asin(2πfiΔt+θ)

(4)

式中：A为交流基波分量信号幅值;f为交流基波分量频率;θ为交流基波分量信号相位。

交流采样信号与交流基波信号之间存在误差，该误差一方面由采样时的噪音产生，另一方面由交流畸变产生。定义误差函数如式(5)所示:

(5)

正常情况下，畸变电压仅占电源输出电压的一小部分，基波分量应当接近于原始采样波形。因此，如果能够找出一组使得E最小化的参数(f,A,θ)，该组参数所对应的正弦波应当最接近于真实基波分量。基于这一思想，可以将从采样数据中提取交流基波分量的问题转换为式(6)所示的非线性连续优化问题：

(6)

3 求解交流基波分量及交流畸变系数

式(6)所示问题可以采取多种非线性连续优化算法加以求解。基于梯度信息的优化方法较为常用，如梯度下降法、拟牛顿法[15]等。这类方法通常优化效率较高，但是需要在计算中对误差函数求梯度场，计算相对烦琐。由于畸变系数检测对计算效率没有要求，因此采取运算速度相对较慢，但计算精度和鲁棒性较高的多维单纯形下降法[15-16]求解。

多维单纯形下降法是一种不依赖于梯度信息的非线性优化算法，其基本思路是在N维空间中，构造一个非退化的初始单纯形，然后通过一系列的几何操作，如反射、扩展、收缩等，逐步往极值点移动该单纯形，从而最终找到极值点。以下简要说明基于多维单纯形下降法求解式(6)所示问题的过程。

首先需要计算基波分量幅值、频率和相位的初始值(f0,A0,θ0)，以便从初始值出发，构造初始单纯形。尽管从理论来说，从任意一个初始解出发，都应当能够收敛到最优解，但如果初始解接近于最优解，则能够大幅降低迭代计算时间。

初始解的频率采用被测电源的额定输出频率，或者按照式(7)计算：

(7)

式中：m为采样数据中的过零点数量。

初始解的幅值为

(8)

初始解的相位则由采样点中第1个正向过零点计算：

θ0=2πf0i0Δt

(9)

式中：i0为采样信号中第1个正向过零点的序号。

获得基波分量初始解后，构造初始单纯形。由于式(6)中包含3个待优化变量，因此初始单纯形包含4个端点，构成一个多面体。每个端点均为一个解，分别为x1=(f0,A0,θ0)，x2=(1.1f0,A0,θ0)，x3=(f0,1.1A0,θ0),x4=(f0,A0,θ0+0.1π)。由初始单纯形出发，依据下面的算法计算交流基波分量。

算法:基于单纯形计算交流基波分量。

① 将x1、x2、x3、x4代入式(5)，计算相应的误差值E(x1)、E(x2)、E(x3)、E(x4)。对解重新排序，使得E(x1)≤E(x2)≤E(x3)≤E(x4)。

② 计算最差解x4以外其余各点的中心点：

(10)

计算x4相对于的对称点：

(11)

式中：t为实数。

③ 令t=1，基于式(11)计算对称点,以及误差，考虑以下情况：

④ 令x2、x3、x4朝向x1收缩，即：

(12)

如图1(e)所示，进入步骤⑤。

⑤ 如果|E(x4)-E(x1)|<(其中为计算精度阈值)，则停止迭代计算，将x1中的频率f、幅值A和相位θ作为式(6)优化问题的解，记做(f*,A*,θ*)；否则，重复步骤①。

基于上面的算法完成对交流基波分量的计算后，将计算所得(f*,A*,θ*)代入式(4)，即可获得每个采样时刻交流基波分量电压值u1i。将交流基波分量代入式(1)～式(3)，即可计算出交流畸变和畸变系数。

4 算法测试

采用数值仿真对论文所设计交流基波分量计算算法加以测试。生成一条交流电压曲线，频率f=400 Hz，电压Vrms=115 V，初始相位θ在测试中采取不同值。采样频率为fs=200 kHz，连续采样1 s。在每个采样点上，随机叠加一定的白噪音，噪音幅值范围为[-e,e]，在测试中选择不同幅值。使用论文所设计算法从包含噪音的电压曲线中计算出基波分量，进而计算出交流畸变系数，并与准确的交流畸变系数加以对比，按照式(13)计算误差:

式中：KJJ为计算所得交流畸变系数;为实际交流畸变系数。

由于每次叠加噪音均为随机产生，为了准确评价算法准确性，在不同噪音范围和初始相位条件下对算法进行20次重复检测，并将平均计算误差和最大计算误差显示在表1中(在所有测试中，最小计算误差均小于0.01%，因此不在表1中予以显示)。可以看出，采用本方法计算所得交流畸变系数与实际值高度一致，满足交流畸变检测要求。

5 算法应用

笔者为某单位设计制造了一套航空电源检测系统，用于对航空交流、直流电源进行检测与校准，如图2所示。

该系统的基本结构框图如图3所示，外部工频电源经调压变压器变压后，向被测机载电源供电(为检测被测电源的电源特性，输入电压需要在一定范围内由调压变压器改变，实际电压值由电压表V1检测)。被测机载电源输出至电子负载，由电子负载提供必要的交流负载。被测电源的输出电压、电流通过功率分析仪进行高速采样。本系统采用致远电子PA-6000H型功率分析仪，用于对交流电源输出电压、电流进行高速采样，采样速率为200 kHz，采样分辨率为16位。功率分析仪内置计算模块可满足常规检测项目需求，可进行电源稳态电压、电流、频率等的检测，但缺乏交流畸变系数检测功能。因此，功率分析仪通过以太网将采样数据上传至上位计算机，由计算机基于论文所设计算法，对电压波形数据计算交流畸变系数。

图4显示了功率分析仪对某电源进行采样获得的原始电压波形(连续采样1 s，图中仅显示起始两个周期内的电压波形，红色曲线)。通过第3节的算法，从采样数据中获得交流基波分量，同时显示在图4中(绿色曲线)。交流电源额定输出频率400 Hz，额定有效值115 V。试验中，电源输出实测有效值为114.68 V。由采样信号提取出交流基波分量频率为400.001 Hz，有效值为114.61 V。由图4可以看出，计算所得交流基波分量与原始电压波形高度接近，同时准确反映了实测电压波形中的畸变部分。将基波分量代入式(1)～式(4)，计算得到交流畸变系数为0.037，该被测电源满足国军标GJB181B—2012[1]对于交流畸变系数的要求。

6 结束语

交流畸变系数是航空电源性能指标中的重要项目之一，笔者对该系数的计算进行了研究，提出了一种基于非线性优化方法，从原始采样波形中提取基波分量，进而计算交流畸变和畸变系数的方法。该方法已在某大功率电源检测系统中得到应用，取得良好的检测效果。