D-S证据理论在导弹健康状态评估中的应用

李晓晴， 刘 瀛， 包素艳

(1.北京交通大学 机械与电子控制工程学院，北京 100044； 2.航天新长征大道科技有限公司，北京 100070；3.北京航天爱锐科技有限责任公司，北京 100076)

导弹是一种“长期贮存，一次使用”的武器装备，其健康状态通常需要综合多个参数进行评定，一旦某一关键部位出现故障，将会给整个系统带来严重影响，后果不堪设想。但是测试参数与导弹健康状态之间并不存在明显的对应关系，所以利用测试参数评估导弹健康状态是一个不确定性推理过程，D-S(Dempster-Shafer)证据理论可以很好地处理基于多源信息不确定推理的问题，对于发现潜在故障和优化决策等方面具有重要作用。本文针对经典D-S证据理论在数据融合过程中存在的问题[1]，通过对比现有的改进算法，并在此基础上做了进一步修正，最后用一个实际案例证明了该算法的有效性。

1 经典D-S证据理论

D-S证据理论起源于20世纪60年代，最早是由美国的数学教授Dempster提出来的，该理论利用上下限概率完美地解决了多值映射的问题，后来Shafer对该理论做了进一步完善并进行了推广[2]。经典的D-S证据理论主要包括3个基本内容：基本可信度分配函数m、信度函数Bel和Dempster合成规则。

(1) 基本可信度分配函数。

(2) 信度函数。

Dempster合成规则是证据理论的核心，其将来自不同信息源的独立证据进行组合，产生更可靠的信息。假设Bel1和Bel2是同一识别框架上的两个可信度函数，m1和m2分别是其对应的基本可信度分配函数，则Dempster合成规则可以表示为

(1)

但是当K→1时，即证据之间的冲突程度较大时，经典的D-S证据理论不再适用。实际上，在评估导弹健康状态时，各项测试参数大多通过传感器采集，而传感器采集的信息不乏相互冲突矛盾的，如果直接带入模型，则会导致结果分析不准确，需要对D-S证据理论进行改进。

针对D-S证据理论不能合成高冲突证据的问题，主要有以下两种改进方法。

(1) 修改证据源。

该方法的前提是认为D-S组合规则本身没有问题，但是需要对原始证据进行处理。Murphy最早提出了加权平均法[3]，首先求出所有证据的基本概率分配(Basic Probability Assignment,BPA)的算术平均值，然后再利用经典的D-S证据组合规则进行n-1次融合，通过对证据进行简单的加权处理可以提高冲突证据融合结果的精确性，弥补了经典证据理论组合规则的不足之处[2]。但是该方法在进行加权处理时，默认各个证据对结果的影响是相同的，但实际上各个参数指标所占的权重并不相同，所以Murphy方法还需进一步改进。邓勇等[4]在Murphy改进方法的基础上，引入了一个度量各个证据体之间相似度的距离函数，可以计算出系统中各个证据相对于其他证据的支持度，并将该支持度作为权重，进行加权平均后利用D-S组合规则进行融合，该方法具有较强的抗干扰能力，收敛速度也较快。胡昌华等[5]通过Pignistic变换重新定义了衡量证据间冲突的标准，通过引入证据重要权重系数，对冲突概率进行重新分配，也可以有效处理证据之间的冲突。虽然上述几种方法中都考虑了各个证据体之间的关系，可以在一定程度上改善冲突问题，但是并没有考虑证据自身的有效性，对最终的融合结果也会产生一定影响。

(2) 修改合成规则。

该方法的前提是认为最终融合结果与实际不符是由于组合规则的不足引起的。最具有代表性的则是Yager[6]法，他认为应该将冲突证据赋给辨识框架中的未知部分。虽然这样处理在一定程度上可以合成高冲突的证据，但是相当于完全否定了冲突证据，当有2个及以上的证据源时，该方法的合成效果并不理想。孙全等[7]则认为即使证据间互相冲突但是仍有部分是可用的，可用程度取决于该证据的可信度，可以把支持证据冲突的概率赋给各个命题，但是这种方法的一个明显错误在于作者在求解时把证据集体的可信度当做单个证据的可信度。李弼程等[8]则在孙全的基础上，将支持证据冲突的概率按各个命题的平均支持程度进行加权分配，进一步改进了组合规则，即使对于高冲突证据，也可以得到较为理想的结果。李弼程改进的方法虽然使融合结果更符合实际，但是忽略了各个证据的可信度。叶清等[9]在李弼程改进方法的基础上引入了“证据折扣率”用来确定各个证据的权重，将冲突按照证据权重进行分配。潘光等[10]则在此基础上对D-S组合规则做了进一步改进，通过证据距离确定单个证据的可信度，基于可信度采用加权平均的方法将证据冲突概率分配给各个命题，这两种改进方法都加快了融合结果向正确目标收敛的速度。

综上所述，对比经典D-S证据理论以及两种主流的改进算法，不难发现，大多数学者都将重心放在了分析证据之间的关系上，但是证据本身的有效性和重要程度却被忽略了。且经大多数文献结果证明，修改证据源要比修改合成规则在解决冲突问题上更有效[11]。Haenni[12]从工程、哲学和数学的角度证明了“如果在模型X上使用方法Y得出了一个不合理的结论Z”时，实际上应该是模型X的问题，应该修正的是模型本身，即证据源本身，而不是修改合成规则。

目前，已有不少学者将改进的D-S证据理论应用在导弹的健康状态评估中，改进方法也大多借鉴以上两种主流方法。文献[1]中综合考虑平均概率和证据理论，构造了一种新的D-S证据组合规则，采用平均概率合成冲突证据，用于评估导弹控制系统的完好性，但是在证据合成时并没有考虑证据之间的关系。文献[13]中建立了基于改进证据理论的装备健康状态退化模型，在D-S证据合成规则中加入了基本概率赋值的“折扣率”，但其选用的三角型隶属度函数过于粗糙，不能很好地表征测试数据与健康状态之间的关系；文献[14]中利用粗糙集结合修正证据源的D-S证据理论建立了导弹故障智能诊断推理模型，虽然能够减少不确定性对导弹故障智能诊断的不利影响，但是计算量较大，复杂度较高。

所以本文从实际工程问题出发，基于修正证据源的改进方法，在文献[4]的基础上，对证据源进行处理，计算各个证据的权重，并对证据的可信度进行修正，提出了一种新的基于D-S证据理论评估导弹健康状态的方法。

2 方法修正

本方法的核心思想是在利用D-S组合规则进行融合之前，首先对各个证据进行处理，从已有的数据中分析各个证据之间的联系以及证据自身的有效性和可靠性，从而确定每个证据的最终权重。一方面，根据香农定理，一个证据自身包含的不确定信息越多，对决策的影响应该越小，权重就越低；另一方面，如果一个测试指标的实际测量值即将超过标准阈值，即导弹的健康状态将由拟故障过渡到故障，则在决策时应该重点突出状态较差的参数，使决策结果向故障状态倾斜，提醒用户重点关注该导弹。在此基础上，本文改进的基于D-S证据理论评估导弹健康状态的方案具体步骤如下。

① 根据同一时间不同导弹相同指标的测量值，利用熵权法计算出各个指标的权重向量W1。信息熵的定义如下：

(2)

式中：p(xi)表示随机事件X为xi的概率。

熵权法主要根据指标的变异性的大小来确定指标的客观权重。通常来说，如果某个指标的信息熵越小，说明该指标的变异程度越大，提供的信息量越大，在综合评价中所占的权重就越大。假设有n个指标，利用熵权法求得的第i个指标的权重为W1i。

② 以一枚导弹作为分析对象，如果有某个指标的测量值超出指标阈值范围，即判定该导弹为故障状态；若所有测试参数均在标准阈值范围内，则进一步分析其所处的健康状态。

③ 首先根据各个测试指标的历史测试均值，上次非故障值和标准值对测试参数进行归一化处理，最后取平均值作为最终归一化值λ；然后按照最终归一化值求权重向量W2，归一化值越大，权重越大，目的是突出状态较差的参数，权重计算方法如下所示，则第i个参数对应的权重为W2i。

(3)

④ 根据测试参数的归一化值，利用合适的岭形隶属度函数，求出各个指标相对于各个健康状态等级的隶属度，即D-S证据理论中的BPA。

隶属度函数用于表示导弹处于某种健康状态的程度高低，取值范围为[0,1]，隶属度越接近于1，隶属程度越高，反之越低[15]。传统的三角隶属度函数过于粗糙，由于岭形分布隶属度函数具有主值区间较宽、过渡带平缓等特征，具有良好的对称性、稳定性和控制敏感度，可以较好地表征各个健康状态之间的不确定关系[16]，所以选用岭形分布隶属度函数对相邻健康状态等级之间的不确定性进行量化分析。岭形隶属度分布函数如下所示：

(4)

⑤ 利用Jousselme距离[17]求出各个证据(指标)之间的距离，进而求出每个证据的可信度。Jousselme距离是Jousselme为了衡量两个证据之间的相似性提出的一个距离函数。假设m1和m2是辨识框架Θ中的两个BPA函数，将m1和m2视为行向量，则m1和m2之间的距离可以表示为

(5)

(6)

式中：

(7)

‖m‖2=〈m,m〉

(8)

根据证据mi和mj之间的距离可以计算两者之间的相似度S(mi,mj)为

S(mi,mj)=1-dBPA(mi,mj)

(9)

两者之间的距离越小，相似性越高。依此类推，对于系统中的任意一个证据mi，可以求得该证据与系统中其他证据的相似度，进而求得该证据与其他证据的平均相似度为

(10)

平均相似度越高，说明该证据与其他证据的距离越近，获得其他证据的支持度越高。根据系统中所有证据的平均相似度，可以计算出每个证据的可信度为

(11)

证据的可信度越高，其在决策过程中所占的权重越大。

⑥ 综合步骤①和步骤③中求得的各个证据的权重W1i以及权重W2i对证据的可信度Ri进行修正。假设有n个证据,则第i个证据的权重为

(12)

⑦ 基于Murphy改进方法，在BPA中加入各个证据的权重，利用D-S组合规则进行n-1次融合，得出最终结果，该方法的计算过程如下：

(13)

综上所述，在导弹健康状态评估中，首先在性能指标测试参数的基础上，对单位不一、阈值各异的测试参数进行归一化处理；接着根据参数的归一化值和不确定性求出该参数的综合权重；然后利用Jousselme距离求出该证据的可信度，并对该证据的权重进行修正；最后通过改进的岭形隶属度函数确定各个参数对各个健康状态等级的隶属度，即该证据的BPA值，构建基于改进的D-S证据理论的导弹健康状态评估模型。流程图如图1所示。

图1 导弹健康状态评估流程图

3 实验验证

健康状态分级是导弹健康状态评估的基础，传统的导弹健康状态分级采用的“是非制”过于粗糙，不能准确掌握导弹当前的健康状态，本文将导弹的健康状态根据参数测量值的范围进一步细化，如表1所示。

表1 健康状态分级

以某型号地空导弹为例，假设表征其健康状态的测试指标为P1、P2、P3、P4、P5，在2020年的某次测试中，10枚导弹各个测试指标的测试情况如表2所示。

表2 10枚导弹测试参数列表

如果出现某个测试参数的实际测量值超出标准阈值范围，则该设备的健康状态直接被判定为故障状态。已知表2中各个测试参数均在标准阈值范围内，利用熵权法可以得到各个测试参数指标在设备健康状态评估中的权重向量为W1=[0.2171，0.202，0.2184，0.2184，0.1442]。

以其中一枚导弹为例，5个测试参数对应的本次测试实际值、上次测试非故障值、历史测试均值以及标准阈值如表3所示。

表3 单枚导弹测试参数列表

考虑到导弹的健康状态是一个随时间累积的过程，不仅与现在的参数有关，还与设备的历史测试数据有关，在进行归一化处理时，将本次测试数据与上次非故障测试数据、历史故障数据均值以及标准数据分别进行比较，可以更准确地描述当前的健康状态。经过归一化处理之后，最终归一化值为λ=[0.4417,0.4139,0.4033,0.3822,0.3295]。为了突出状态较差的参数，得到各个参数的权重向量W2=[0.2241，0.21，0.2047，0.194，0.1672]，改进的岭形隶属度分配函数如图2所示，其中颜色重叠区域代表不确定性区域，处在该区域的归一化值，既隶属于前一状态，又隶属于后一状态，隶度和为1。

图2 岭形分布隶属度函数示意图

利用最终归一化值，根据隶属度分布函数，可以求出各个证据(指标)对应的BPA，假设优秀、良好、较好和拟故障对应的质量等级分别为A、B、C、D,测试参数P1、P2、P3、P4、P5对应的BPA为m1、m2、m3、m4、m5,具体数值如表4所示。

表4 基本概率分配(无冲突)

根据Jousselme距离可以求出这5个证据指标的可信度分别为：R1=0.2013,R2=0.2094,R3=0.2083,R4=0.2096,R5=0.1714。根据权重W1和W2对可信度进行修正，可以得到5个证据指标的最终权重分别为：ω1=0.2142,ω2=0.2071,ω3=0.2105,ω4=0.2073,ω5=0.1609。

下面将本文提出的方法与D-S经典理论、Murphy法改进算法以及文献[4]算法进行对比，融合结果如表5所示。

表5 算法融合结果对比(无冲突)

由表5可知，在获取的信息源中没有冲突或冲突较小的情况下，4种方法的最终合成结果相同。对比相同迭代次数下，本文的改进方法相比于Murphy改进算法和文献[4]中的方法收敛速度更快，这是因为在融合过程中，根据各个指标的测试值对证据的可信度做了进一步修正，加快了向正确结果的收敛速度，也进一步论证了本文改进算法的正确性。

如果修改表3中的P1本次测试值为0.69，即超出阈值范围，使测试信息中存在一定程度的冲突。经计算，最终归一化值为:λ=[0.6417，0.4139，0.4033，0.3822，0.3295]，根据归一化值进一步求得各个参数权重：W2=[0.2965，0.1907，0.1858，0.1761，0.1518]，根据岭形隶属度函数可以求得各个证据对应的BPA如表6所示。

表6 基本概率分配(有冲突)

由表6可知，证据1(m1)提供的信息与其他4个证据提供的信息存在严重冲突。根据Jousselme距离可以求出这5个证据指标的可信度为：R1=0.0297,R2=0.2522,R3=0.2505,R4=0.2525,R5=0.2151。根据权重W1和W2对可信度进行修正，可以得到5个指标的最终权重分别为：ω1=0.1507,ω2=0.2214,ω3=0.2245,ω4=0.2216,ω5=0.1755。

D-S经典理论算法中，由于上述信息中证据1与其他证据产生明显冲突，冲突因子K=1，此时经典的证据理论合成规则不再适用。对比冲突证据1的权重，Murphy算法中的权重为0.2，默认与其他证据权重相同；文献[4]算法中的权重为0.0297，认为其作为冲突证据，可提供信息较少，所占权重也最小；本文改进算法在文献[4]的基础上，对冲突证据的权重做了进一步修正，最终权重为0.1570。下面比较Murphy改进算法、文献[4]算法以及本文算法在解决合成信息存在冲突时的合成结果，如表7所示。

表7 算法融合结果对比(有冲突)

由表7可知，3种方法的最终融合结果均表示该导弹处于良好状态，说明该方法同样适用于处理存在冲突信息的情况。由于原始信息中存在冲突证据，参数1的实际测量值即将超出标准阈值范围，虽然导弹整体健康状态趋于良好，但是如果某个测试指标存在异常，在进行合成时，应尽量保留该信息，确保合成结果的真实有效，则文献[4]的合成结果与实际情况存在一定偏差。Murphy方法和本文改进方法的合成结果均保存了该信息，由于Murphy方法默认各个证据的权重相等，虽然计算简单，但是却忽略了证据自身的有效性和证据体之间的联系；本文的改进方法不仅保留了证据自身的信息，且结合了证据之间的关系确定了最终权重，聚焦速度比Murphy改进算法更快，与此同时又保留了处于较好状态的小概率，用户可以根据评估结果合理安排维修保养任务，及时排除安全隐患[13]，确保整个设备系统正常运行。

综上所述，当融合信息中存在一定程度的冲突时，不能盲目全盘否定冲突信息，即冲突证据也可以提供一部分有效信息，且该证据所占的权重与其他证据相比较大，目的是凸显状态较差的参数，使最终融合结果既不会产生明显的偏移，同时又保留冲突证据所提供的信息。

4 结束语

导弹的健康状态评估是制定维护与管理任务的先决条件，本文改进的算法可以对各个测试指标进行综合评估，给出相对客观的权重，由于各种因素的干扰，获取的信息源中有时会有冲突证据存在，在利用D-S证据理论进行融合时，不能全部否定冲突信息，要从证据自身出发，结合各个证据自身的有效性和可靠性对证据的可信度做进一步修正。经论证，提出的改进算法的融合结果与实际情况相符，且向正确结果收敛的速度要优于Murphy改进算法和文献[4]中的改进算法，对于导弹健康状态的评估更加细化，对D-S证据理论在导弹以及其他飞行器中健康评估的应用具有一定的参考价值。