张弛皆有度 动静总相宜
——圆锥曲线中的调和平均问题初探
2022-03-25冯广军郭琳芳
中学数学 2022年3期
冯广军 郭琳芳
(广东省深圳科学高中 518129)
圆锥曲线中蕴藏着丰富的规律，如定点与定值问题等.这些规律大多都反映了圆锥曲线中的一种动态而和谐的平衡，正是“张弛皆有度，动静总相宜”，比如低调而绝妙的调和平均问题.
1 研教材，启示多从教材来
(人教A版教材2019版第45页)如图1，AB
是圆的直径，点C
是AB
上一点，AC
=a
，BC
=b.
过点C
作垂直于AB
的弦DE
，连结AD
，BD.
你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
图1
这里给了我们一个提示，即基本不等式的几何解释.实际上，对于两个正数a
，b
，不等关系都可以在圆中找到其几何解释：如图2，在以BC
为直径的圆O
中，设AC
=a
，AB
=b
，AD
与圆O
相切于点D
，DE
⊥BC
于点E
，OF
⊥BC
，交圆O
于点F
，连结OD
，AF.
易知结合图形可知，AE
<AD
<AO
<AF
，当且仅当圆的半径为0，即a
=b
时取等号.
图2 图3
事实上，如果作出圆的另一条切线AM
，易知点E
即为过圆心的割线AC
与切点弦DM
的交点，一个自然的想法是：如果割线AC
不过圆心，AE
是否仍然是a
，b
的调和平均？结论是肯定的.例1
如图4，点P
为圆x
+y
=r
外一点，PA
，PB
为圆的两条切线，切点分别为A
，B
，割线PD
交圆于C
，D
两点，交AB
于点Q
，求证：
图4
证明
设P
(x
,y
)，如图4，不妨设x
<-r.
设直线PQ
的方程为y
=k
(x
-x
)+y
，C
(x
,y
)，D
(x
,y
)，Q
(x
,y
)，则只需证由得(1+k
)x
+故从而又因为直线AB
的方程为x
x
+y
y
=r
，由得所以当点P
位于y
轴上时，易证(略).所以证毕.结论1 过圆O
外一点P
作圆O
的两条切线PA
，PB
，切点分别为A
，B
，过点P
任作圆O
的一条割线，交圆O
于C
，D
两点，交切点弦AB
于点Q
，则PQ
为PD
，PC
的调和平均.2 善变通，味道尽在类比中
例2
如图5，点P
为椭圆外一点，PA
，PB
为椭圆的两条切线，切点分别为A
，B
，割线PQ
交椭圆E
于C
，D
两点，交线段AB
于点Q
，求证：
图5
证明
设P
(x
,y
)，如图5，不妨设x
<-a.
设直线PQ
的方程为y
=k
(x
-x
)+y
，C
(x
,y
)，D
(x
,y
)，Q
(x
,y
)，则只需证因为直线AB
的方程为由得x
=故又由得故从而当点P
位于y
轴上时，不妨设P
(0,m
)(m
<-b
)，因为直线AB
的方程为所以从而又PC
=b
-m
，PD
=-b
-m
，所以综上，证毕.
该结论在双曲线和抛物线中仍然成立，证明略.
结论2 过圆锥曲线E
外一点P
作E
的两条切线PA
，PB
，切点分别为A
，B
，过点P
任作E
的一条割线，交E
于C
，D
两点，交切点弦AB
于点Q
，则PQ
为PD
，PC
的调和平均.3 再寻觅，沿途处处有惊喜
例3
如图6，直线l
过椭圆的左焦点F
，且与椭圆E
交于A
，B
两点，则(其中e
是椭圆E
的离心率，p
是焦点到相应准线的距离，ep
即为半通径)
图6
证明
如图6，设∠BF
F
=θ
，BF
=r
，AF
=r
，由椭圆的第二定义有：因此证毕.对于双曲线(交于同一支时的情形)和抛物线，可通过类似的证明过程得到这一结论，不再一一给出.
结论3 圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径的调和平均是其通经的一半.(双曲线中的焦点弦是指过焦点的直线与双曲线交于同一支的情形)
例4
如图7，过椭圆的左焦点F
且相互垂直的两直线与椭圆E
分别交于点A
，B
和C
，D
，求证：
图7
证明
设∠BF
F
=θ
，BF
=r
，AF
=r
，由椭圆的第二定义有：r
=因此因为AB
与CD
垂直，所以只需要将中的θ
换成即可得到所以当圆锥曲线为双曲线时，综合可知结论4 圆锥曲线过同一焦点的互相垂直的两条弦长的调和平均为定值.
调和平均原本是统计学中的术语，是一种某一特定条件下的平均量，我们能在圆锥曲线中不断发现它的存在，这为我们从多个角度去理解调和平均又打开了一扇门.或许数学的魅力也正在于此，而更多的美正等着我们去发现！
