APP下载

张弛皆有度 动静总相宜
——圆锥曲线中的调和平均问题初探

2022-03-25冯广军郭琳芳

中学数学 2022年3期
关键词:切点调和切线

冯广军 郭琳芳

(广东省深圳科学高中 518129)

圆锥曲线中蕴藏着丰富的规律,如定点与定值问题等.这些规律大多都反映了圆锥曲线中的一种动态而和谐的平衡,正是“张弛皆有度,动静总相宜”,比如低调而绝妙的调和平均问题.

1 研教材,启示多从教材来

(人教A版教材2019版第45页)如图1,

AB

是圆的直径,点

C

AB

上一点,

AC

=

a

BC

=

b.

过点

C

作垂直于

AB

的弦

DE

,连结

AD

BD.

你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗?

图1

这里给了我们一个提示,即基本不等式的几何解释.实际上,对于两个正数

a

b

,不等关系都可以在圆中找到其几何解释:如图2,在以

BC

为直径的圆

O

中,设

AC

=

a

AB

=

b

AD

与圆

O

相切于点

D

DE

BC

于点

E

OF

BC

,交圆

O

于点

F

,连结

OD

AF.

易知结合图形可知,

AE

<

AD

<

AO

<

AF

,当且仅当圆的半径为0,即

a

=

b

时取等号.

图2 图3

事实上,如果作出圆的另一条切线

AM

,易知点

E

即为过圆心的割线

AC

与切点弦

DM

的交点,一个自然的想法是:如果割线

AC

不过圆心,

AE

是否仍然是

a

b

的调和平均?结论是肯定的.

例1

如图4,点

P

为圆

x

+

y

=

r

外一点,

PA

PB

为圆的两条切线,切点分别为

A

B

,割线

PD

交圆于

C

D

两点,交

AB

于点

Q

,求证:

图4

证明

P

(

x

,

y

),如图4,不妨设

x

<-

r.

设直线

PQ

的方程为

y

=

k

(

x

-

x

)+

y

C

(

x

,

y

),

D

(

x

,

y

),

Q

(

x

,

y

),则只需证由得(1+

k

)

x

+故从而又因为直线

AB

的方程为

x

x

+

y

y

=

r

,由得所以当点

P

位于

y

轴上时,易证(略).所以证毕.结论1 过圆

O

外一点

P

作圆

O

的两条切线

PA

PB

,切点分别为

A

B

,过点

P

任作圆

O

的一条割线,交圆

O

C

D

两点,交切点弦

AB

于点

Q

,则

PQ

PD

PC

的调和平均.

2 善变通,味道尽在类比中

例2

如图5,点

P

为椭圆外一点,

PA

PB

为椭圆的两条切线,切点分别为

A

B

,割线

PQ

交椭圆

E

C

D

两点,交线段

AB

于点

Q

,求证:

图5

证明

P

(

x

,

y

),如图5,不妨设

x

<-

a.

设直线

PQ

的方程为

y

=

k

(

x

-

x

)+

y

C

(

x

,

y

),

D

(

x

,

y

),

Q

(

x

,

y

),则只需证因为直线

AB

的方程为由得

x

=故又由得故从而当点

P

位于

y

轴上时,不妨设

P

(0,

m

)(

m

<-

b

),因为直线

AB

的方程为所以从而又

PC

=

b

-

m

PD

=-

b

-

m

,所以

综上,证毕.

该结论在双曲线和抛物线中仍然成立,证明略.

结论2 过圆锥曲线

E

外一点

P

E

的两条切线

PA

PB

,切点分别为

A

B

,过点

P

任作

E

的一条割线,交

E

C

D

两点,交切点弦

AB

于点

Q

,则

PQ

PD

PC

的调和平均.

3 再寻觅,沿途处处有惊喜

例3

如图6,直线

l

过椭圆的左焦点

F

,且与椭圆

E

交于

A

B

两点,则(其中

e

是椭圆

E

的离心率,

p

是焦点到相应准线的距离,

ep

即为半通径)

图6

证明

如图6,设∠

BF

F

=

θ

BF

=

r

AF

=

r

,由椭圆的第二定义有:因此证毕.

对于双曲线(交于同一支时的情形)和抛物线,可通过类似的证明过程得到这一结论,不再一一给出.

结论3 圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径的调和平均是其通经的一半.(双曲线中的焦点弦是指过焦点的直线与双曲线交于同一支的情形)

例4

如图7,过椭圆的左焦点

F

且相互垂直的两直线与椭圆

E

分别交于点

A

B

C

D

,求证:

图7

证明

设∠

BF

F

=

θ

BF

=

r

AF

=

r

,由椭圆的第二定义有:

r

=因此因为

AB

CD

垂直,所以只需要将中的

θ

换成即可得到所以当圆锥曲线为双曲线时,综合可知

结论4 圆锥曲线过同一焦点的互相垂直的两条弦长的调和平均为定值.

调和平均原本是统计学中的术语,是一种某一特定条件下的平均量,我们能在圆锥曲线中不断发现它的存在,这为我们从多个角度去理解调和平均又打开了一扇门.或许数学的魅力也正在于此,而更多的美正等着我们去发现!

猜你喜欢

切点调和切线
调和
《大调和·亚细亚文化研究号》十月号封面
《再看切线长》教学设计
利用隐函数导数求解圆锥曲线的切线及切点弦方程
过圆锥曲线上一点作切线的新方法
二次曲线的两条互垂切线的若干性质
椭圆的三类切点弦的包络
漫画
例谈调和平均数的简单应用
圆锥曲线的切点弦定理及其应用