数学概念的精致化教学
——谈高中导数教学的几点思考*
2022-03-25江海华吴琳琳
江海华 吴琳琳
(江苏省太仓市明德高级中学 215400)
导数是进一步学习数学和其他自然学科的基础，是研究现代科学技术必不可少的工具，但是建立在“无限逼近”的过程之中的导数概念，与初等数学所涉及的一系列思想方法有着本质的区别.这难免给一线教师造成很大的压力，甚至有将导数“驱逐”出高中数学课本的呼声.需要强调的是，导数和微积分的发展经历了漫长的过程，这是一门早就被论证过的科学理论.不可否认这一新理论在创世初期，清晰和严格的推理方法逐渐被“直观”和“本能”所代替，但是这种看似模糊、站不住脚的新方法带来的神奇效果却在实际应用中发挥了巨大的威力.众多的历史事实也表明，在探寻这一新方法严密的理论依据的过程中，数学经历了一段前所未有的高速发展.因此我们必须看到，对导数概念的深入学习能够促进学生全面认识数学的价值，使学生对变量数学(特别是非线性关系)的一般研究思想和方法有新的感悟，进一步发展学生的数学思维能力，感受数学产生和发展的一般规律，深刻体会导数的工具属性是人类的理性思维和方法在研究实际问题中取得的伟大胜利，这有非常重要的指导和启发意义.同时，在这一曲折的追求真理的过程中出现的一系列新思想、新方法及名人轶事都是实现“数学育人”的绝佳素材.
为进一步促进学生对导数本质及工具属性的认识，笔者将从以下几个方面，谈谈高中数学中导数教学的几点思考：
1 高中数学研究导数的必要性与必然性
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数模型可以帮助我们解决许多实际问题，而实际应用中充斥着大量最优化的相关问题，研究函数的单调性成为必然.一方面，尽管在必修一中已经学习了函数单调性的定义，但是通过定义法去判别及确定某函数的单调区间是极为困难的，这必然引导着人们去寻找更加普遍的方法.另一方面，随着物理学家研究问题的逐步深入，往往需要数学家提供更精确的模型信息，如变化率等.华罗庚先生提到：“数无形时少直觉，形无数时难入微.”这就为借助函数图象，利用代数的手段精细化地研究函数的基本性质提供了可能.在导数教学过程中，教师应时刻秉持如何精细化研究函数这一整体目标，切不可因某些细枝末节的问题弱化了学生感受导数工具属性的情感体验.“不谋全局者不足谋一域”，导数教学站位要高，导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性要在课堂教学中着重体现.如果学生在这方面的认识是苍白的，在以后独立面对具体的函数模型时必然会陷入模糊和不知所措的困境.因此，在导数教学的过程中，教师要以丰富的具体实例向学生展示研究问题的基本思路和方法，在比较与反思中强调导数在研究函数性质中不可代替的工具属性.
2 导数教学过程中几个关键概念的理解与处理建议
从某种程度上说，高中数学中的导数教学确实存在着某些不可避免的“先天不足”，要克服这种“先天不足”必然要谈到导数教学的“度”怎么把握.而这个“度”很大程度就依赖于学生对无限逼近与“量变到质变”“近似与明确”的哲学原理的理解深度与层次.若只将导数(求导)作为一种规则步骤去反复操练，则并没有突出导数的核心作用.
2.1 无穷小量与函数连续
无穷小量与函数连续是高等数学中两个非常重要且基本的概念，部分教师认为没有必要加大学生的理解负担，不需要提.笔者认为，“藏着掖着，躲猫猫变戏法”似地不讲原因就进行运算(变形)反而不利于学生利用定义推导几个基本初等函数的导数，会觉得Δx
一会是0一会又不是0.在求非线性函数的导数时几乎绕不开这两个概念，有没有提只是这层“窗户纸”有没有捅破罢了，其实没有任何纠结的必要.下面给出一个很简单但是又很典型的例子：求函数f
(x
)=x
的导数，相当于找抛物线的斜率.这是一个教我们如何计算“当Δx
→0时，趋向于何值”的最简单的例子.我们有如果直接取分母Δx
为零，那么将得到没有意义的表达式但若在取Δx
→0之前，把差商进行改写，就能消去捣乱的因子Δx
，从而避开这个困难(Δx
≠0)，得到=2x
+Δx.
这一步运算实质是两个无穷小量的计算(比阶)，如何让学生体会到这一点是比较困难的.现在，在消去Δx
之后，让Δx
→0就没有任何障碍了，用“代入法”就可以直接得到，这是利用了差商的新形式2x
+Δx
是连续的，而连续函数在自变量无限接近的条件下，函数值就等于在该点的函数值.因为从几何直观来说，函数连续从图象上表现为“一笔画”的形态.当然，用类似的方法还可以推导出许多其他基本初等函数的导数.不可否认，在这里我们利用了大量的几何直观，缺乏一些必要的严密论证，但这种牺牲是值得的，这已经尽可能地凸显了导数(求导)的数学本质.2.2 导数(求导)概念教学的处理建议
教材中通过气温曲线图研究气温“陡增”的数学意义入手，引入了“平均变化率”这一数学概念，笔者认为铺垫还不够平稳.尽管学生了解平均变化率的计算方法，但是对于教材中为什么要研究这一概念却不知所云.不妨深究一下在课堂教学中如何引导学生发现：量化曲线“陡峭”方法的渊源，可提出如下问题串，让学生思考：
问题1
通过观察直线的图象，我们可以很清晰地知道直线的倾斜程度，一般我们用直线的哪个代数量来刻画呢？这个代数量是怎么计算的？设计意图
让学生发现直线的斜率这一代数量可以用来刻画直线的倾斜程度(变化趋势)，明确直线斜率的求法(差商的形式).问题2
给出一个一般的曲线y
=f
(x
)的图象(这时可以用教材中的气温曲线图)，它不再是直线形态，若以(x
,f
(x
))为一个基准点，你能否作出一条直线来辅助判别曲线y
=f
(x
)的图象在某点x
=x
处的变化趋势？这条直线的斜率如何计算？设计意图
在曲线上作一条直线(给出曲线的割线定义)，计算割线斜率.建立在学生已有的基础之上，并进一步明确差商的由来及计算方法.这是“以直代曲”的方法由来.问题3
你所作的这条直线总能判别该曲线y
=f
(x
)的图象在该点x
=x
处的变化规律吗？为什么？如果不能，原因是什么？该如何改进呢？设计意图
通过作不同的割线并计算其斜率，引导学生发现并不是所有的答案都和曲线y
=f
(x
)图象直观上看到的一致.这种差异性为学生发现不是所有的割线都满足条件做好了铺垫，割线到切线的提出呼之欲出，这是在解释“局部的以直代曲”的必要性.
图1 图2
问题4
从代数角度如何区别在曲线上点(x
,f
(x
))左右两端作割线？这时自变量的增量Δx
→0如何理解？设计意图
得到Δx
可正也可负的结论，当Δx
取负值时，另一个点在(x
,f
(x
))的左侧，当Δx
取正值时，另一个点在(x
,f
(x
))的右侧.而自变量的增量Δx
→0就相当于另一个点无限靠近点(x
,f
(x
))，理解这种趋向过程是包含点(x
,f
(x
))两侧的，但是又不是同一个点.进一步强调趋向于0的Δx
不是一个确定的常数，而是一个要多小有多小的变量.问题5
(如果学生回答问题4时出现问题)通过作图软件，将曲线y
=f
(x
)在某点x
=x
处的图象放大很多倍，引导学生从直观发现“局部以直代曲”的合理性(图2)，并提问：这一过程如何用代数的手段去刻画，这是在引导学生发现让自变量的增量Δx
→0的必要性.问题6
当自变量的增量Δx
→0时，差商的值如何变化？这个值的几何意义是什么？设计意图
让学生发现差商的极限其实就是曲线y
=f
(x
)在某点x
=x
处的切线斜率，但是此时学生不知道如何计算.究其原因，还是不理解自变量的增量Δx
→0意味着什么.这里教师可以通过物理中的瞬时速度加以解释.问题7
(明确导数的定义)设函数y
=f
(x
)在区间(a
,b
)上有定义，x
∈(a
,b
)，若Δx
无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A
时，则称f
(x
)在x
=x
处可导，并称该常数A
为函数f
(x
)在x
=x
处的导数，记作f
′(x
).问题8
如何理解函数y
=|x
|在x
=0处不可导？设计意图
一方面给学生讲清楚，并不是与函数图象有且只有一个交点的直线就是该函数的切线.另一方面，若函数在定义域内的某一点不可导，从几何上看有什么特征(函数图象在该点处是“尖”的，或者说不光滑)？从代数上看又该如何衡量(差商在不同的趋向下不唯一)？在上述问题串的探究过程中，从“形”与“数”两个方面逐步深入地解释了导数(求导)形式所体现的数学本质：局部“以直代曲”的合理性与可操作性.
2.3 原函数f(x)与导函数f′(x)的关系与联系
通过原函数f
(x
)，可以求出曲线y
=f
(x
)在x
处的高度.我们还可以通过研究曲线在动点P
(x
,f
(x
))处的斜率，因为这也是一个确定的常数，于是可将其视作是x
的一个新函数，记作f
′(x
).这就和由变量x
的任何值得到f
(x
)的情形一样：f
(x
)是曲线y
=f
(x
)在点x
的高度，f
′(x
)是曲线y
=f
(x
)在点x
的斜率.当x
的值发生改变时，可以通过f
′(x
)的值来描述曲线y
=f
(x
)的变化规律.若一个点有正的导数，即f
′(x
)>0，就表示该点曲线上升(y
增加)，反之亦然.特别地，若f
′(x
)=0，就表示曲线在x
处是水平方向.特别需要指出的是，将y
=f
(x
)上下平移得到一个新函数，并不会让新函数在x
处的变化规律发生改变.换句话说，f
′(x
)只是刻画函数变化规律的代数量，它的大小与函数值f
(x
)的大小并没有直接的关系，而这一点是学生理解极大值与极小值没有必要联系(不能判断极大值、极小值谁大谁小)的基础.教师在教学过程中，要通过大量的函数图象实例向学生展示这一基本事实，在一系列正反例辨析中达到对该概念的深入理解.2.4 函数极值概念的处理建议
按照教材编排的顺序看，先研究的是函数的极大极小值，再研究函数的最大最小值.这种设计符合研究函数的自然流程，但是从知识发生发展的角度来说，我们应该先提出如何寻找函数最大最小值的问题，而极大极小值只是一个“过渡性、阶梯性”的概念，讲清楚极值在求函数最值中扮演的“辅助”属性，是我们研究极值的逻辑起点.在实际教学过程中，我们可以设计如下的问题串.
问题1
假设函数f
(x
)是定义在闭区间[a
,b
]上的连续函数(通俗地说，该函数图象可以一笔画)，你们不妨亲自动手画一画，然后根据你所画的图象，判断：函数f
(x
)在闭区间[a
,b
]上是否必有最大最小值？问题2
这堂课主要是利用导数工具来研究函数的性质，请根据导数的定义判断你画的函数的图象是否符合f
(x
)是定义在闭区间[a
,b
]上的可导函数？如果不是，请你再另举一个满足条件的例子.问题3
标出函数图象中的最低点和最高点，谈谈你的发现.问题4
(引导学生总结出两种情形：最值点不在两端点处取到，最值点在两端点处取到)若最值点不在两端点处取到，函数图象在该点处有何特征？(总结出此时f
′(x
)=0)此时函数f
(x
)在x
=x
处两侧具有怎么的变化规律？问题5
若f
′(x
)=0，则函数f
(x
)一定在x
=x
处取到最大值或最小值吗？若不是，请举一个反例加以说明.特别给出以下两个例子来说明满足f
′(x
)=0的点(x
,f
(x
))不一定是函数的最值点，然后给出函数极值点的定义.
图3 图4
问题6
通过上述分析，请你给出求一个可导函数在某闭区间上的最值的方法.最值是函数的一个非常重要的特征(前提得有)，大量的生活实例中都需要寻找某函数模型的最优解(很大一部分就属于最值问题).通过上述一系列的探究活动，学生可以清晰地看到：连续的可导函数f
(x
)在闭区间[a
,b
]上必存在最大、最小值，最值要么在端点处取到，要么不在两端点处取到.若最值点不在两端点处取到，函数图象在该点处呈水平状态，即f
′(x
)=0.反之，若f
′(x
)=0，则函数f
(x
)不一定在x
=x
处取到最大值或最小值.在大量的正反实例辨析中，笔者相信，学生可以真正明白：一般地，研究函数的最值要先研究函数的极值，极值在求函数最值中扮演着“辅助”角色.2.5 函数的二阶导数
虽然导数f
′(x
)能够刻画曲线y
=f
(x
)的“陡峭程度”，但是却无法分辨曲线的弯曲程度.那我们追求的所谓精细化研究函数的形态又该如何体现呢？如图5.
图5
从图象上看，尽管函数图象在原点两侧均是呈上升状态，但是能明显发现，这两种上升状态(曲线的弯曲形态)是不同的，那又该用什么代数量来刻画这个不同点呢(这是研究二阶导数的原因之一)？二阶导数在数学分析中是一个非常重要的概念，因为f
″(x
)表示f
′(x
)的变化率，给出了曲线弯曲程度的代数表示方法.引导学生探究：先在曲线y
=f
(x
)的图象上任取一点x
，作出在x
处的切线，随着自变量x
逐渐变大，切线的倾斜程度越来越大，这一发现如何用代数量来表示？(f
′(x
)表示在x
处的切线斜率，即f
′(x
)越来越大)如果继续用导数的观点看，等价于导函数f
′(x
)的导数大于0，反之亦然.导函数f
′(x
)的导数在数学中称为函数f
(x
)的二阶导数，记为f
″(x
).如果f
″(x
)在一个区间是正的，那么f
′(x
)的变化率是正的.一个函数的变化率是正的是指函数值随x
的增加而增加.因此，f
″(x
)>0是指当x
增加时斜率f
′(x
)增加，于是在f
′(x
)是正的地方函数变陡峭，而在f
′(x
)是负的地方函数变平缓，此时就说曲线是下凸的，如图6.同理，如果f
″(x
)<0，那么曲线y
=f
(x
)是向上凹的，如图7.要得到这一结论，不可操之过急，建议多用几个常见的函数模型图象来加以说明和辨析，强化几何直观和代数刻画的联系.
图6 图7
虽然在高中阶段函数f
(x
)的二阶导数不是必学的知识点，但从精致化研究函数性质的角度来看，这是一个绕不过去的概念，从某种程度真正反映了学生的思维层次和理解深度，必然成为考查的重点.3 导数概念教学反思
导数问题一直是各省份高考数学中的难题，从近几年全国卷导数大题的命题思路来看，往往是选择我们非常熟悉的初等函数作为题干基础，并没有在刻意制造一个形式复杂的函数模型；尽管起点往往很低，但还是让大部分考生感到十分吃力，各种求导、分类讨论、运算技巧蜂拥而上，洋洋洒洒之后学生思路基本已经湮没在细枝末节的汪洋大海，对于题目的要求早已抛诸脑后.作为一线的教师，我们要深刻思考出现这种问题的本质原因在哪里，是题目做得太少吗？笔者认为，恰恰是在日常的数学教学中我们花费了过多的时间在所谓的数学技巧之上，在解决众多“结构良好”的问题中，几乎迷失了教学方向，让学生错误地相信研究数学其实是有一套固定程序的.如果意识不到这一点，数学教学永远是僵化低效的.我们要从高考命题的角度去洞察数学新课改的方向.学生在实战中的溃不成军要引起我们足够的重视，改进学生的学习方式一直是数学教育改革的核心，而改进学生的学习方式在很大程度上依赖于教师的教学方式.在讲授数学某些核心概念的过程中，要避免粗放的引导和“快餐式”的启发.正如章建跃先生所说：在知识形成过程的“关键点”上要精致，在运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”上要精致，在数学知识之间联系的“联结点”上要精致.我们有理由相信，数学概念的精致化教学是引导学生走向有深度、有广度的数学课堂的一项有效手段.
