Caate-Bergliaffa黑洞时空的整体结构研究

马 宸，张 钰

(昆明理工大学 理学院，云南 昆明 650500)

0 引 言

阿尔伯特·爱因斯坦发表广义相对论几个月后，卡尔·史瓦西便首次推导出广义相对论的一个静态球对称稳定黑洞解[1].人们对r=2m处，即史瓦西视界处的奇异性做了许多研究，并确定其为坐标奇点而非时空奇点[2-3].直到1960年，克鲁斯卡才提出史瓦西流形的最大延拓，即克鲁斯卡坐标系[4].另外，人们对extended scalar-tensor-Gauss-Bonnet(ESTGB)理论的各个方面进行了详细研究.在文献[5]中，该理论可以描述当前处于加速膨胀阶段的宇宙，并可以导出一个物质主导的时代会过渡到后期的加速膨胀阶段[6].文献[7]考虑了给定标度因子的耦合和势函数的可能重构，而在文献[8]也考虑了膨胀宇宙中ESTGB理论的结果.本文所研究的黑洞是Caate和Bergliaffa提出的3+1维ESTGB理论与一种特殊形式的非线性电动力学(NLED)耦合场方程的第一个精确黑洞解[9]，其度规为：

ds2=-f(r)dt2+f(r)-1dr2+r2(dθ2+sin2θdφ2)

(1)

其中：

(2)

对于这种结构，文献[9]给出了分析，实标量场构成了一根第二类合法的毛，因为它的电荷与黑洞的磁荷成正比，在弱场近似下，NLED可以回到线性电动力学.通过要求有效能动张量和NLED张量都满足弱能量条件，表明此黑洞解只允许m>0，q<0的值.本文的分析也仅仅约束在这种情况下.此时，黑洞解类似于RN黑洞增加了标量毛：它可以有两个、一个或没有视界，在零磁荷的极限下，恢复为史瓦西解.

1 光子的有效势和径向测地线

首先考虑黑洞时空(1)式中光子的测地线.在弯曲时空中，光子的测地线方程为：

(3)

其中λ为仿射参数.由于此黑洞时空具有时间平移对称性和空间旋转对称性，即存在Killing矢量场∂t和∂φ，它们分别对应能量守恒和角动量守恒.能量和角动量分别定义为：

(4)

由于角动量守恒，其方向不会改变，意味着光子的运动总在一个平面内.不失一般性，可以选择θ=π/2平面.因此在后文的讨论中，只讨论θ=π/2平面上的运动.此时，守恒量变为：

(5)

对于光子，考虑到零曲线条件，有：

(6)

对于黑洞(1)式，此关系给出：

(7)

将(5)式代入(7)式，可得到：

(8)

其中Veff(r)为有效势，定义为：

(9)

对于径向运动的光子，有L=0，此时有效势为Veff(r)=0.若取仿射参数为时间t，光子的径向运动方程为：

(10)

其解析解为：

(11)

其中κ是量纲为[L]-1的常数，且：

(12)

作出了这簇解在m=1，q=-1的图像，如图1所示.

图1 m = 1, q =-1时，光子在时空图中的世界线构成的Caate-Bergliaffa黑洞时空光锥

由图1可以看出，当m=1，q=-1时，黑洞有两个视界，时空区域被两个黑洞视界分为3部分.在最外层部分或最内层部分，即r>r+或rr+或r

然而这个黑洞时空在上述坐标系看来，似乎在r=r+和r=r-处有奇异性，光子从外界运动到视界处似乎需要无穷多的时间.

原则上可以直接用第1节求出的解析解来作坐标变换，但由于解析解的复杂性，直接代进去后的结果太混乱了，没有启发性.为了使结果显示得更为简洁，对于非极端黑洞，可以将(2)式改写为如下形式：

(13)

引入乌龟坐标变换：

(14)

即：

(15)

其中：

(16)

引入两个类光坐标分别为u=t+r*和v=t-r*，分别在r=r+和r=r-附近构造克鲁斯卡坐标.

在r=r+附近，克鲁斯卡坐标为：

U+=eκ+u,V+=∓e-κ+v

(17)

当r>r+时，即外视界之外处，V+取负号；当r

(18)

其中r2dΩ2表示球对称项，而r由U+V+隐式表出：

(19)

由此可见，r>r+时，等r线类时；r-

图2 在Caate-Bergliaffa黑洞外视界r=r+附近的克鲁斯卡坐标系

在r=r-附近，克鲁斯卡坐标为：

U-=-eκ-u,V+=∓e-κ-v

(20)

当r>r-时，即内视界之外处，V-取负号；当r

(21)

其中r由U-V-隐式表出：

(22)

由此可见，r

图3 在Caate-Bergliaffa黑洞内视界r=r-附近的克鲁斯卡坐标系

3 结 论