真问题、真探究，让小学数学教学走向深入

胡本焱

圆柱体是小学生最为困扰的数学知识，除了计算复杂之外，还有题型丰富、变式多样等难点。解决相关问题，学生面临的难度较大，其主要原因是对圆柱体特征的认识和理解不到位。对此，笔者希望通过设计真问题，引导学生开展真探究，培养学生空间观念，帮助学生实现有深度的学习。

对教学活动的初步设想与反思

为实现上述教学目标，笔者开展了一次圆柱体侧面展开图的探究活动：

探究活动1：卷出侧面

请用一张长方形纸卷出各种立体图形。说说每个立体图形的侧面与长方形纸有什么关系，如何求侧面积。

探究活动2：剪出侧面

准备多个纸圆柱体侧面，沿高剪开、沿斜线剪开、沿任意曲线剪开，展开后是什么样子？有什么共同特征吗？剪完后，给它们来个大合影，并试着找找，你发现了什么？

探究活动3：创造侧面

想象一下圆柱体的侧面展开图还可能是什么图形？把它设计出来，然后动手卷一下，看看能卷成圆柱体吗？

该教学策略符合小学生空间观念的特点——注重直观、注重活动性，从操作中增强学生对图形的认识和体验，促进空间观念的形成。然而对于圆柱体的侧面展开图、二维平面与三维空间，学生往往难以理解其对应关系。这使笔者陷入了思考。目前流行培养学生空间观念的教学策略，大体有眼睛观察、头脑想象、动手操作三大法宝。但现实教学中往往出现以下误区——

过于重视形式多样，缺乏问题引领。多样的形式能帮助学生较好形成形体特征的表象，突出形体的本质属性。但如果形式的背后缺乏核心问题、真问题和深问题的引领，学习就会停留于表面。

过于依赖直观操作，缺乏思维深度。直观操作的价值在于增强对形体特征的认识和体验，是培养学生空间观念的重要教学策略之一。但正如南京大学教授郑毓信所说，如果我们的教学止于“直观操作”，没有更加深入的思考，学生始终停留在较低的发展水平，是一种“要不得的”教学。例如前文的三个探究活动，看似层层递进，但始终脱离不了直观操作，缺乏有深度的思考，因而学生的探究容易陷入盲目。

过于追求内容宽泛，缺乏相互联系。前文的探究活动突出圆柱体与已学直柱体之间的联系和转化，在探究活动的设计过程中贪多求全，看似有“联”，却丢了本质。过于关注细枝末节，却忽视了知识“主干”。

设计真问题，展开真探究

一是理清核心点，设计真问题。核心问题来源于核心知识。圆柱体特征的认识和描述是本单元的主体内容，为后续的学习提供知识基础和思维方式，具有统领作用。从课时目标来看，学生是首次从教学的角度认识曲面，与长方体等棱柱体有着本质的不同，如果我们认识不到这一点，就无法挖掘出真问题。基于以上的认识，笔者重构了“探究活动1”。

【重构】探究活动1：

我们知道一张长方形纸横着卷或者竖着卷，都可以卷成一个圆柱体。那么一张平行四边形的纸也可以吗？动手试一试，并试着说说其中的道理吧。

从知识的本质来讲，圆柱体的特征是下位的。从思维层面来讲，圆柱体的特征是上位的，具有高度的概括性。当一个形状能卷成圆柱体，那它一定能折成长方体等其他棱柱体。对于学生来说，将一个平行四边形折成长方体，是有一定困难的，但如果先卷成圆柱体，再折成长方体就简单多了。这就是圆柱体有别于其他直柱体的地方，赋予了圆柱体核心知识的地位。针对这一核心知识，笔者设计了一个真问题——平行四边形可以通过两种不同方向卷成圆柱体吗？并说说其中的道理。学生通过动手操作，反复琢磨，逐步形成空间观念。

有學生说：“我们以前在研究平行四边形面积的时候，就是把平行四边形转化成长方形的。长方形可以卷成圆柱体，平行四边形也是可以的。”学生能够回忆起与之相关的知识，并把它们联系起来。用“转化”的思路来理解知识之间的联系，这正是学生习得数学基本思想的体现，这一过程也有效提升了学生思维的深刻性。

二是围绕思维点，开展真探究。荷兰数学家弗赖登塔尔说过，学习数学的唯一正确方法就是实行“再创造”。学生通过教师的教学，除了对原有知识结构进行“再加工”，更重要的是对知识背后的思想方法进行建构。数学深度教学的一个基本要求就是一定要“讲道理”。

原来的“探究活动2”中对于能卷成圆柱体侧面的一些图形，尽管也让学生去思考这些图形的共同点，但对于学生来说难度很大，不少学生表示：“是个怪怪的图形”“不知道是一个什么图形”“除了长方形，其他的都不是我们学过的轴对称图形”。小学阶段不要求讲授中心对称图形的知识，如果教师回避这一知识，就失去了“讲道理”的机会。实际上，教师无须讲解中心对称的概念，只需给学生提供一个小小的“支架”即可。笔者将“探究活动2”重构，围绕“能卷成圆柱体侧面的这些图形的共同特征”这一思维点，给学生提供探究的路径和方法，找到这些图形共同的特质和内在联系，有效提升学生的思维发展水平。

【重构】探究活动2：剪出侧面

准备多个纸圆柱体侧面，沿高剪开、沿斜线剪开、沿任意曲线剪开，展开后会是什么样子？

把这些图形绕某个点旋转180度，看看它们有什么共同特征？

这里没有强调绕“中心点”。从实际的教学效果来看，学生都能发现“通过这样的变换之后，图形跟原来一样”。

三是聚焦联系点，促进深度学。南京大学教授郑毓信给数学教师的一个建议是：“数学基础知识的教学，不应求全，而应求联。”数学课堂要追求少而精，只有这样，师生才有更多的时间，对核心知识进行深入学习。教学重点应该突出图形之间的联系与转换，运用比较的方法，立足整体的知识结构，从而实现学生有深度的学习。圆柱体的特征是引导学生探究立体图形与立体图形之间、平面图形与立体图形之间转化的最好素材，可以有效促进学生的几何思维水平发展。据此，笔者重构“探究活动3”，其思路是从平面到立体再到平面。

【重构】探究活动3：创造侧面

准备一张长方形纸，用红笔画出一条对角线。

把这张长方形纸卷成圆柱体（红线朝外），并粘贴连接处。

用剪刀沿着红线把圆柱体剪开，你发现了什么？

重构之后的“探究活动3”既是对“探究活动1”的验证和拓展，也是对“探究活动2”的补充。该活动还可以继续下去，当学生沿着红线剪开之后，得到一个平行四边形，再用蓝线画出它的对角线，同样按照刚才的步骤把剪开的圆柱体再次粘贴好，然后沿着蓝线剪开，又得到了一个平行四边形……这样操作几次，学生对于把较短边作为圆柱体底面周长的平行四边形卷成圆柱体就不陌生了。此番操作有利于发展学生空间想象能力，形成知识网络，实现知识技能和思想方法上的提升。

深度教学与浅层次教学相对立，是为了让学生的学习真实发生。教师应该努力吃透教材、琢磨习题意图、了解学生特点，本着实践、反思和批判的精神，从实践中去寻找问题、解决问题，对教学活动进行反思和批判，从而设计核心问题，开展有意义的探究活动，为学生的深度学习铺路搭桥。