核权平滑波动率估计的几乎处处收敛性 *

许学艳

（广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 541004）

0 引言

假设Xt服从以下复合poisson跳跃-扩散模型过程

Wt是标准brown运动，μt和σt分别称为方程的漂移项和扩散项，其中扩散项亦为价格过程的瞬时波动率。是一个强度为λ的poisson过程，表示[0，T]上发生跳跃的次数，τi表示第i次发生跳跃的时间，Cτi表示在τi处跳跃的大小。

在有限区间[0，T]上获得n+1个Xt的离散等距观察值Xt0，Xt1，…，Xtn-1，Xtn，其中0=t0

而Kristensen（2010）［1］给出了核权积分波动率的估计

这里Kh(x)=K(x/h)/h，K(x)是核函数，h为窗宽。当h→0时，有

Lu（2010）［2］利用鞍点逼近方法对Black-Scholes模型的积分波动率的二阶变差估计量的估计误差进行分析，得到了相对于中心极限定理更为精细的结果。而对跳跃-扩散模型，为了估计核权平滑波动率，利用二次幂变差方法定义一种核权平滑波动率估计（Kernel-weighted-Smoothing-Volatility-Estimation）

Ying（2019）［3］证明了核权平滑波动率估计的弱相合性和渐近正态性，并得到了弱相和性的收敛速度，且核权平滑波动率估计的弱相合性的收敛速度快于核权瞬时波动率估计的弱相合性的收敛速度。本文继续在Ying（2019）［3］提出的条件下，对核权平滑波动率估计的强相合性进行研究，利用矩不等式的方法证明了此估计量的强相合性。

1 主要结果与证明

为了给出本文的结论，我们有如下基本假设条件：

假设A.1 {μt，σt}与{Wt，Jt}相互独立，且{Wt}与{Jt}独立。

假设A.2 μt和σt在[0，T]上有界且可积，{σt}有非零下界，且满足 E|σs2-σt2|≤C|s-t|r，其中r>0。

假设A.3 核函数K(u)满足∫K(u)du=1，∫|K(u)|du<∞，且 |K(u)-K(υ)|≤L|u-υ|，u，υ∈R，其中L>0是常数。

定理 假设（A.1）~（A.3）成立，若σt2在τ连续，则有

在证明定理之前，我们先引进一些记号和引理。记

引 理1（矩 不 等 式）［4］假 设{Xj：j≥1}是 独 立 随 机 变 量 序 列，且E(Xj)=0，E|Xj|r<∞(∀ j≥1)，其 中>0。则存在一个与n无关的常数，使得

引理2［3］假设（A.1）~（A.3）成立，则对h→0有

引理3［3］假设（A.1）~（A.3）成立，则对h → 0有

定理的证明：显然

由引理3知，为了证明（1）式，我们只需要证明

而

对A(x)，由中值定理，存在

对B(x)，我们有

利用核函数的条件

因为{Ui，i≥1}是独立同分布和U1~N(0，1)，我们有所以，对任意实数r≥2，我们有

因为nh2→∞，因此我们有h-1≤n12，所以当n充分大时，可得

对给定的ε>0，r>2，由Markov不等式和矩不等式有

取r>4，知

从而完成了定理的证明。