粗糙核算子在修正Morrey空间中的有界性

张 霖

(湖北师范大学数学与统计学院，湖北 黄石 435002)

当x∈Rn及t>0时,令B(x,t)为中心在x、半径为t的一开球。

令b是Rn中一局部可积函数，交换子[b,TΩ]定义为[b,TΩ]f(x)=b(x)TΩf(x)-TΩ(bf)(x)。高维的Marcinkiewicz积分算子μΩ定义为

1938年，Morrey为研究椭圆型偏微分方程解的存在性和可微性，引入Morrey空间Lp,λ(Rn)[1]。后来，Morrey空间被应用于研究N-S方程[2-3]、薛定谔方程[4]和带有不连续系数椭圆方程[5]。鉴于Morrey空间的重要性,人们开始研究广义Morrey空间[6]。2011年，文献[7]提出了修正的Morrey空间，并研究了分数次极大算子和带有Riesz势算子在修正的Morrey空间有界性。这里修正的Morrey空间是包含于Morrey空间与勒贝格空间之交。

1 记号和预备知识

2 主要结论

证明当q′

现在考察当p=q′ 时的情形。取一球B=B(x,t)⊆Rn及作f=f1+f2(f1=fχB)分解， 得到

利用定理2，有

(1)

由此得到，

(2)

由式(1)和式(2)，定理4得证。

为了得到J2的估计，运用Hölder’s不等式，得到

(3)

当p=q′时，分为2种情况。

综上，只要t>0，就有

(4)

当p>q′时，有

(5)

利用Hölder’s不等式， 有

证明取一球B=B(x,t)⊆Rn及作如下分解f=f1+f2(f1=fχB)，有

由定理3，得到

(6)

为了估计K2，由不等式(3)和式(6)， 有

因此，当1

(7)

结合不等式(6)～(7)，得到定理7。