K-g-框架的等价刻画和K-框架交织的擦除

2022-03-22肖祥春林泽平

厦门理工学院学报 2022年1期

肖祥春,林泽平

(厦门理工学院数学与统计学院，福建厦门 361024)

1952年，Duffin等[1]提出了Hilbert空间H中的框架概念，当时并没有引起学者们的太多关注。直到1986年，由于Daubechies等[2]的突出性研究,框架理论[3-5]才被学者们广泛研究和关注。目前，框架理论已经被广泛应用于信号采样[6]、量子力学[7]、图像处理[8]、编码与信号传输[9]等领域。

K-框架是Gavruta等[10]为研究原子分解而提出的一种与Hilbert空间有界线性算子K有关的框架。由于K-框架含有有界线性算子K[11-12]，Hilbert空间中的K-框架与经典的框架有很多的不同，如：对于经典框架而言，Hilbert空间中的元素序列{fi}i∈I构成经典框架等价于其合成算子是满的，而{fi}i∈I构成K-框架当且仅当其合成算子T是有界的，且满足R(K)⊂R(T)。随后K-框架在文献[13]又被进一步推广到K-g-框架[14-15]。

设{Λj:j∈J}为H关于{Vj:j∈J}的g-Bessel序列， {(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj关于权重{vjk}k∈Kj的fusion框架。文献[16]用给定序列{Λj:j∈J}的导出序列{ujk}j∈J,k∈Kj来等价刻画{Λj:j∈J}成为一个g-框架。受此启发，本文给出{Λj:j∈J}的另一种不同于文献[16]的新的导出序列{vjkπWjkΛj:j∈J,k∈Kj}，并用它来等价刻画{Λj:j∈J}构成H的更一般的K-g-框架。特殊地，若K=IH，即可用{vjkπWjkΛj:j∈J,k∈Kj}来等价刻画{Λj:j∈J}构成H的g-框架。文献[17]讨论了Hilbert空间K-框架的交织的扰动和构造，而对K-框架交织的擦除却未涉及。本文在文献[17]的基础上进一步讨论K-框架交织的擦除性，得到一个含有2个独立参数的充分条件，使得在一对可K-交织的K-框架的基础上擦除若干元素后剩下的元素仍然可K-交织。虽然文献[18]也有讨论框架交织的擦除，但本文的擦除结论里条件更一般，含有2个独立参数。特殊地，若K=IH，即可得到文献[18]对应框架交织的擦除结论。

1 记号和预备知识

本文都采用如下的记号：H为一个可分Hilbert空间；若X、Y为Banach空间,记L(X,Y)表示从X到Y的有界线性算子的集合, 若X=Y, 则记为L(X)，即L(X,X)=L(X)；K:H→H是H上的有界线性算子,即K∈L(H)；R(K)表示算子K的值域；J表示整数集的子集。

首先给出K-框架、K-g-框架、fusion框架和框架交织的定义和若干性质。

定义1[10]139设K∈L(H)。序列{fi}i∈I⊂H称为H的K-框架,如果存在常数A、B>0，使得

(1)

成立。称满足式(1)的A、B为K-框架的下界和上界。如果只有式(1)右边的不等式成立,则称{fi}i∈I为H的Bessel序列。

定义3[13]675设K∈L(H)。序列{Λj∈B(H,Vj):j∈J}称为H关于{Vj:j∈J}的K-g-框架，如果存在常数A、B>0，使得

(2)

注1若有界线性算子K=IH,则K-框架和K-g-框架即为经典框架和g-框架。

下面回顾框架和K-框架的交织定义。

2 K-g-框架的等价刻画

首先用导出序列{vjkπWjkΛj}j∈J,k∈Kj来等价刻画{Λj:j∈J}为H中的K-g-框架，其中{(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj关于权重{vjk}k∈Kj的fusion框架。

证明因为对任意的j∈J, {(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj关于权重{vjk}k∈Kj的界为Cj和Dj的fusion框架，有

(3)

2)⟹1)。设{vjkπWjkΛj:j∈J,k∈Kj}为H关于{WjK:j∈J,k∈Kj}的K-g-框架，即有

(4)

对任意gj∈Vj，根据式(3)可知

(5)

在定理1中，如果K=IH，则由定理1很容易得到文献[22]的推论2.3。

在定理1中，如果对任意的j∈J，{(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj关于权重{vjk}k∈Kj的Parseval fusion框架，则由定理1可进一步得到推论2。

推论2设{Λj:j∈J}为H关于{Vj:j∈J}的g-Bessel 序列，对任意j∈J，{(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj关于权重{vjk}k∈Kj的界为C的紧fusion框架。则下面的表述等价：1){Λj:j∈J}为H关于{Vj:j∈J}的界为A的紧K-g-框架；2){vjkπWjkΛj:j∈J,k∈Kj}为H关于{WjK:j∈J,k∈Kj}的界为AC的紧K-g-框架。

证明因为对任意的j∈J，{(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj关于权重{vjk}k∈Kj的界为A的紧fusion框架，所以有

(6)

又因为对任意的j∈J,f∈H,有Λjf∈Vj,结合式(6)可得

(7)

结论得证。

在推论2中，若对任意的j∈J，{(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj关于权重{vjk}k∈Kj的Parseval fusion框架，则进一步可得推论3。

推论3设{Λj:j∈J}为H关于{Vj:j∈J}的g-Bessel 序列，{(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj关于权重{vjk}k∈Kj的Parseval fusion框架。则下面的表述等价：1){Λj:j∈J}为H关于{Vj:j∈J}的界为A的紧K-g-框架； 2){vjkπWjkΛj:j∈J,k∈Kj}为H关于{WjK:j∈J,k∈Kj}的界为A的紧K-g-框架。

若对任意的j∈J， {(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj关于权重{vjk}k∈Kj的界为C的紧fusion框架，则可得{Λj:j∈J}和{(WjkΛj,vjk)}j∈J,k∈Kj的框架算子的关系。

命题1设{Λj:j∈J}为H关于{Vj:j∈J}的g-Bessel 序列，对任意j∈J，{(Wjk,vjk)}k∈Kj是Vj关于权重{vjk}k∈Kj的界为C的紧fusion框架，则有SWΛ=CSΛ,其中SWΛ为{vjkπWjkΛj:j∈J,k∈Kj}的框架算子。

证明根据式(7)可知，〈SWΛf,f〉=〈CSΛf,f〉, ∀f∈H, 即有〈(SWΛ-CSΛ)f,f〉=0。又因为f∈H是任意的，所以有SWΛ=CSΛ。