隐圆“现”形记

摘 要：《普通高中数学课程标准》（2017版）指出，学科素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力。数学学科素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。所谓深度学习，是一种不同于一般意义学习方式的理解性学习，是一种在现象教学中把已有知識迁移到新问题的解决的学习方式，它更注重学习方式方法的掌握和运用。所以，深度学习正是培养学生核心素养的一把利剑，可以提高学生解决实际问题的能力，培养他们主动建构知识的良好品质。

关键词：深度学习;核心素养;现象教学

一、问题提出

高中学生在刚接触解析几何时，对于直线与圆这一部分入门级内容的学习，都感觉力不从心。大部分同学知道直线与圆问题的关键点在于圆心与直线的距离，但在遇到一些解析几何问题时，仍然没能看出题中隐藏的直线与圆的问题，当然也就得不到解题思路，更不能解决这类问题。这很值得我们深究，为什么学生会无法发现问题的指向？从本质上说是学生没有抓住数学现象，进行深度思考与学习，导致数学核心素养中的数学抽象这一关键能力没能得到很好的培养。本文笔者以解析几何中隐圆的问题来谈谈基于数学现象的深度学习与数学学科核心素养的培养的关系。

二、案例分析

在教学中，我们发现如果给出圆的标准式或一般方程式，学生还是很容易上手的。但很多时候，题目中并没有出现圆的方程，需要学生经过分析、转化等一系列方法技巧处理，才能发现是有关圆的问题，这类隐圆问题对学生来说就属于难题了，如何来帮助学生寻找解答诸如此类的数学问题的方法呢？

其实很多数学问题的解题关键是善于透过条件现象的表面，深挖其内涵，找寻隐含条件，这样就能打开解题思路。下面我们就来观察几种现象，挖掘一下问题的关键，找到隐含圆的条件，发现那些隐圆。

问题情境1：含有动点P到两定点距离的平方和为定值的现象

由于圆的标准方程是由两点距离平方后推导而来，所以如果将两个距离平方后相加，例如：动点P（x，y）与定点A（a，b），B（c，d）的距离平方和为：

PA2+PB2=（x-a）2+（y-b）2+（x-c）2+（y-d）2=

2x2+2y2-（2a+2c）x-（2b+2d）y+（a2+b2+c2+d2）

从这个数学现象出发，深入思考后发现两个距离的平方和的“形”与圆的一般方程的“形”基本一致，因此我们就可以从方程的观点出发，让学生知道，只要能得到二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，当满足A=C且B=0时，就很有可能表示一个圆，从而就能发现隐含在题目中的圆了。

例1：D在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x-a）2+（y-a+2）2=1，点A（0，2），若圆C上存在点P，满足PA2+PO2=10，则实数a的取值范围是   。

本题解析：由PA2+PO2=10这个已知条件，可以得知此处隐含了圆，所以设P（x，y），由PA2+PO2=10，得到二元二次方程x2+（y-2）2+x2+y2=10，整理后得x2+y2-2y-3=10，可见P的轨迹是以N（0，1）为圆心，2为半径的圆。

又因为P是圆C上一点，即两圆有交点，得，即，解得实数a的取值范围是[0，3]。

情境拓展：一般的，一动点到任意有限多个点的距离平方和等于定值，都可以从代数式子上发现隐圆，乃至形如型问题，都可能是隐圆问题，其中C和λi是常数，Ai是定点。

问题情境2：含有动点P到两定点距离的比值为定值（不为1）的现象

特别的：含有λPA2-μPB2=k的现象中，当λPA2-μPB2=0时，即λPA2=μPB2，可得为常数（圆的第二定义，阿波罗尼斯圆），也是隐圆的常见现象。

例2.在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），A（0，3），圆的方程为：C：（x-a）2+（y-2a+4）2=1，若圆上总存在点P满足PA=2PO，则圆心C的横坐标a的取值范围是 。

本题解析：由已知条件PA=2PO，满足动点P到两定点距离的比值为定值的现象，所以设P（x，y），得，得到二元二次方程3x2+3y2+6y-9=0，即x2+（y+1）2=4，得到点P的轨迹是以N（0，-1）为圆心，2为半径的圆。即P是两圆的公共点，得，即解得实数a的取值范围是。

问题情境3：含有动点P与两定点所成向量的数量积为定值的现象

例3. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-t，0），B（t，0）（t>0），点P满足，且点P到直线l：3x-4y+24=0的最小距离为，则实数t的值是 。

本题解析：设P（x，y），由，得（x+t，y）·（x-t，y）=8，得到二元二次方程x2-t2+y2=8，即x2+y2=8+t2，可知动点P的轨迹是以O（0，0）为圆心，为半径的圆。又由点P到直线l：3x-4y+24=0的最小距离为，又因为O到直线l：3x-4y+24=0的距离为，所以=3，得t=1。

情境拓展：动点P与两定点所成向量和的模为定值的现象，即，也是隐圆问题。

问题情境4：含有动点P与两定点所成角为直角的现象

例4.已知圆和两点，若圆上存在点P，使得 ，则m的取值范围是 。

本题解析：设P（x，y），由，得，即，得到二元二次方程，所以点P的轨迹是以O（0，0）为圆心，m为半径的圆.即P是两圆的公共点，得，即，解得实数m的取值范围是[4，6]。

情境拓展：动点P与两定点A、B所成角为定角的现象，即（θ为定值且θ≠90°），则动点P的轨迹是两段圆弧。

三、深度学习导向下，以隐形圆为例培养数学学科核心素养

（一）通过深度学习来培养数学核心素养的方式

“深度学习”，由瑞典学者费伦斯·马顿和罗杰·萨尔乔1979年在《学习的本质区别：结果与过程》一书中首次提出，它是指“学习者以高级思维的发展和实际问题的解决为目标”的一种学习方式，而这种方式恰恰适应了我们新课标中数学核心素养培养的需求。新课标将直线与圆调整到选择性必修的平面解析几何中，让直线、圆、椭圆、抛物线等连贯到一起，集中学习，学生在学习解析几何时循序渐进、逐步深入，紧扣“四基”，提升“四能”，培养“核心素养”。我们要鼓励学生从已有的旧知圆的基本形象出发，从直观几何到抽象代数，积极主动地学习新知，批判性地接受新知，从而把新知纳入已有知识体系，进而达到纵向迁移的最终目的，让数学不仅仅是数学，让万物皆数的思想延伸并实际化，从而为提高学生数学学科核心素养发挥作用。

（二）立足概念本质的深度学习，引导直观想象，发展数学抽象

古代埃及人认为：圆，是神赐给人的神圣图形。这个神圣的图形，在自然界和我们的日常生活中普遍存在，它是一个看似简单却又奇妙的图形。早在两千多年前，墨子就给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个中心（即圆心），圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等。这个定义一直沿用到现在，而且我们对圆的研究也从未停歇。这些概念学生已烂熟于心，但我们无法确信他们是浅层次的记忆，还是通过积极主动的思考、勇敢努力的尝试形成的，但获得概念的方式必将影响进一步的深层学习。

由圆的定义，我们可以通过两点的距离公式来推导圆的标准方程：（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0），其中（a，b）为圆心坐标，r为半径。

基于圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2这个代数式的直观现象，我们很容易推导出圆的一般方程的形式，即x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0），其中圆心坐标为，半径。

在圆的方程的学习中，我们要让学生亲身尝试发现，要从数学定义出发，再到形的辨识和理解，才是学生深度学习的整个过程，当对这类概念的本质进行深度学习后，学生很容易产生直观想象，以后凡看到二元二次的形式，便会抽象出数学中圆方程的形象，所以这个概念的学习完全可以由学生通过自我深度学习完成。

（三）立足性质探究的深度学习，提升逻辑推理，优化数学运算

在有了概念的深入理解后，我们就应该通过对于性质的探究性深度学习去提高学生的逻辑推理能力。比如：在学习圆方程式，思维不应只局限在一个直观而形象的圆上，而应拓宽学生的思维，用探究的方式引发他们的积极思考，多提问，大胆设想，让学生去验证。在此过程中，当学生奔着某一目标大胆追寻时，数学运算的能力也就在潜移默化中得到优化，直至熟练掌握运算技巧，以期发展他们的数学核心素养。

在问题1中，变式思考：若条件改为2PA2+PO2=10，P的轨迹是否依然是圆？学生不断尝试、探索，通过简单的推理运算，就可以发现P的轨迹是圆。

引导学生对此性质进行推广，从而自主得到含有λPA2+μPB2=k的现象和含有λPA2-μPB2=k的现象可以本质性地划归为一类问题。由此问题2中的性质就水到渠成了。

（四）立足多角度分析问题的深度学习，学会数学建模、数据分析

问题3中涉及向量数量积的这一概念时，我们要引领学生多角度地分析问题，不能仅仅停留在向量数量积的表面，而应让学生多角度分析问题，结合上面隐形圆的经验，就不难发现动点P（x，y）与定点A（a，b），B（c，d）的向量数量积为：=（x-a）（x-c）+（y-b）（y-d）=x2+y2-（a-c）x-（b+d）x+ac+bd，显然展开后的“形”与圆的一般方程的“形”又是基本一致，因此我们就可以发现这种现象也是隐含了圆。

问题4表面上是一道解三角形的数学问题，但题中关键信息是APB=90°，出现定角，也是隐圆现象。

变式：在三角形ABC中，AB=2，ACB=60°，则三角形面积的最大值是 。

如图：以AB边为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，由圆周角的特性及，可以发现点C在定圆的圆周上运动，不难发现，当三角形是等腰三角形时，面积最大。

根据数学题目展示的条件现象，寻找解题的方法，比寻找题目的答案更重要。在核心素养之下，解法也不是最重要的，让学生会用数学的眼光观察问题，观察世界，根据问题所给出的现象，从中发现数学问题，解决数学问题，会用数学思维思考世界，用数学语言表达世界，形成数学的眼光和思维，才是我们数学的真正核心所在。

结束语

数学学习不可仅局限于有限的学校学习，它应该是一种终身学习。学校学习中我们应尽可能地培养数学的核心素养，为以后人们所遇到的问题可能是数学问题，也可能不是明显的和直接的数学问题做好准备。而只有具备数学素养的人才能从数学的角度看待问题，用数学的思维方法思考问题，用数学的方法解决问题，这才是我们数学教育的最终目标，我们所需要培养的数学核心素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心思考的市民的需要而具备的认识、理解数学在自然、社会生活中的地位的能力，做出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。而所有的这些能力，只有在深度学习中才有可能被习得，被迁移。所以，通过深度学习，让学生能从现象中提出问题并转化为数学问题，在分析和解决问题的过程中提高数学逻辑推理、数学建模的能力，通过熟练的数学运算和数据分析技能，把生活中所需要的问题抽象成数学问题，直观想象，進而解决实际问题，让数学源于生活而高于生活。

参考文献

[1]孙四周.现象教学[M].吉林教育出版社，2018.6.

[2]汪淳朴.高中生数学深度学习的有效性探究[J].中学教学参考，2016（32）.

[3]刘瑞富.引导高中生数学深度学习的基本策略[J].数学教学通讯，2018（21）.

作者简介：陈国仙（1982—），男，汉族，江苏苏州人，苏州市吴江高级中学，中学一级教师，学士学位，研究方向：基于学生为主体的理念，进行教学实践与解题策略研究。

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