线性代数课程思政建设与教学实践

杨文霞， 何 朗， 周 俊

(武汉理工大学 理学院 数学系， 武汉430070)

1 引 言

2016年12月，习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上指出：要用好课程教学这个主渠道，使各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应[1].2020年5月，教育部印发的《高等学校课程思政建设指导纲要》指出，把思想政治教育贯穿人才培养体系，全面推进高校课程思政建设，发挥好每门课程的育人作用[2].课程思政将思想政治教育贯穿于课程教学体系，融价值塑造、知识传授和能力培养为一体，积极发挥课堂的主导作用，对于推进“三全育人”落地，真正完成“立德树人”的根本任务具有重要的意义[3].

我国高校在大学数学类课程思政建设方面进行了一些有益尝试，薛中会等[4]选取矩阵知识点为载体进行社会主义核心价值观解读，视角新颖但缺乏系统性建设方案；杨威等[5]提出了线性代数课程思政建设的五条思路，多角度挖掘课程思政元素.谢小莉等[6]提出结合数学文化和学校发展史开展高等数学课程思政.这些研究为线性代数课程思政提供了宝贵的思路，但对思政教育要素的提炼和教学融入点选择等，尚有待进一步完善.

受以上文献启发，我校教学团队于2020年初开始着手进行线性代数课程思政资源建设与教学准备，并于2020-2021学年第一学期开始，持续进行课程思政示范课堂教学与研究.下面从课程思政教学目标、思政元素挖掘、教学组织与成效等几个方面，探讨将思想政治教育融入到线性代数课堂立体化教学中的策略与实践.

2 我校线性代数学情分析与教学目标优化

线性代数作为覆盖面较广的一门公共基础课，我校多在一年级上、下学期展开.这一阶段的学生学习勤奋，对大学学习保持着好奇和期待，亟待吸收新知识；同时他们刚成年，世界观、人生观和价值观正在初步形成，厌烦枯燥的说教，期待教师用鲜活的实例讲解使他们心悦诚服[7].另一方面，线性代数课程由于学时短，知识点前后交错，概念、定理、证明多而抽象，教师着重传授课程的基本理论和方法，学生学习困难较大，甚至产生厌学等不良情绪.因此，教师作为课堂教学的组织者和引导者，在线性代数课程中开展思政教育既具有一定优势，又具有迫切的必要性.

通过以上学情分析，教学团队首先进行课程教学目标优化.具体分为如下三点：

(i) 知识传授与技能点目标：掌握线性代数的基本理论、基本方法及它们的内在联系，掌握线性代数的计算方法，掌握运用矩阵理论去描述和求解实际问题；

(ii)能力培养目标：培养学生的数学语言表达能力；培养严密的逻辑思维能力、空间想象能力；培养学生的自学与自律、协作科研能力；

(iii)价值观塑造目标：通过课程教学，引导学生体会到数学之美，培养学生文化自信，培养学生高尚的人格和情操，树立起为祖国奋斗的远大理想.

3 线性代数课程思政元素挖掘

围绕教学目标，教学团队深入挖掘线性代数课程的思政元素，提炼出个人修养、团队合作、文化自信、家国情怀和勇于创新这五个要素作为思政教学融入点，精心设计教学内容，从线性代数相关数学家、线性代数课程知识点及教学拓展案例三方面，编写思政教学案例，以便课程思政教学的顺利展开.

3.1 线性代数课程相关历史人物及思政元素挖掘

教学团队精心选取14个和线性代数课程相关的数学家，在学习以这些数学家命名的定义、定理、法则、表达式时，重点挖掘他们在创新知识发现过程中所体现出来的坚持不懈、刻苦钻研等可贵品质，用他们的奋斗历程来激励学生，激发学习热情.限于篇幅，这里仅列举两个例子.

案例1中国相关数学家在线性代数发展中的事迹介绍

第一节课需要对线性代数做个简单的课程简介.由英文名Linear Algebra，引出首次将Algebra翻译成“代数学”的清代数学家李善兰，针对线性代数前四章的核心问题—线性方程组，引出我国古代提出“百钱百鸡”问题的北魏数学家张丘建，以及撰写《九章算术注》的魏晋数学家刘徽的介绍.用中国数学家的事迹，帮助学生坚定文化自信，培养家国情怀和民族自豪感，启迪学生人文修养和品格养成.这些内容的介绍篇幅控制适中，既有效消除课程枯燥感，又不喧宾夺主，影响课程理论知识讲解.相关教学资料如表1所示.

案例2和矩阵及行列式理论相关的国外数学家介绍

线性代数中最重要的术语有线性方程组、矩阵、行列式和向量等，讲解相关概念时，简单介绍一些相关的数学家，使望而生畏的名词和定义顿时变得鲜活；通过介绍这些耳熟能详的先贤们在知识发现过程中所体现出来的百折不挠的品质，激励学生从眼前的一点一滴做起，奋勇拼搏.相关教学资料见表2所示.

表2 和矩阵及行列式理论相关的国外数学家介绍及思政教育

3.2 线性代数课程知识点随堂教育思政元素挖掘

课堂最重要的仍然是知识传授.对于一些抽象的知识点，教学团队将其与同学们的实际知识经验结合起来讲解，帮助学生更进一步理解概念和方法的同时，进行德育和美育教育.例如，在学习矩阵运算时，往往是先指明运算规则，再给出一些计算实例.很多同学在学习时，不理解矩阵加法和乘法为何要如此定义.教学团队以一个销售明细和销售利润表为例，根据实际计算需要，推导出矩阵的加法、数乘及矩阵乘法公式，培养学生用矩阵语言去描述离散数据和解决实际问题的习惯.又如，向量组的线性相关性由于概念比较抽象，定义繁多，学习难度大，学生不理解学习这些内容的意义所在.教学团队以调料的配置为例，将最大无关组、线性表示、线性无关等概念具体化，在消除课程枯燥感的同时，加深学生对理论知识的理解.

案例1便利店销售额与利润

授课安排时间结点讲述完“矩阵的定义与运算”之后.

问题设置设一个便利店销售5种产品，一天中的四个时段的商品销售表可用一个4×5矩阵A表示，每种商品的销售价及成本价用一个5×2的矩阵B表示.

试解决如下问题：

(i) 分别假设便利店每天的销售明细相同和不同的情况下，统计30天的总销售额明细.

知识点矩阵的定义、矩阵的加法、数乘运算；

(ii) 计算一天中各时段的销售金额及利润.

知识点矩阵乘法.

课堂思政教育要点：

(i) 矩阵概念不是抽象的，它是表示现实世界数据的一个重要工具.对实际问题的计算需求，引出矩阵加法和矩阵乘法的标准定义，这一过程提醒同学们在学习和工作中，要思维清晰，注意形成章法，制定合理规则；

(ii) 工欲善其事，必先利其器.矩阵和矩阵乘法的引入能使计算清晰，结果方便易懂.同学们做事之前要先想清楚方式和方法，做好规划；

(iii) 矩阵和其元素的关系，就如同集体与个人的关系.矩阵和矩阵运算提高了单个数解决问题的能力，正如团结力量大.矩阵乘法运算中一个元素变了，得到的结果差别很大，正如集体中每个人要各司其职完成本职工作，才能团结一心，顺利做好每件事情.

案例2调料配置问题

授课安排时间结点讲述完“向量组的线性关系、向量组的最大无关组”之后.

问题设置某调料公司用7种单一成分通过不同比例来制造多种风味的混合调料.表3列出了6种调料，用αi(i=1，2，…，6)每份所需各成分的量(克).

表3 每包调料所需成份的量

试解决如下问题：

(i) 小王为了避免购买全部6种调料，他可选择只购买其中一部分，并用它们配制出其余几种.小王必须至少购买哪几种调料？

知识点这是向量组的最大线性无关组的典型应用.将每种调料作为一个7维向量，它的每个分量就是每种单一成分的数量.本题即求这6个向量(调料)的一个最大无关组.利用课堂所学知识及MATLAB软件求解，不难得出最大无关组为α1，α2，α4，α5(不唯一)；

(ii) 小王买了最少的调料品种回家后，家人需要两种新口味调料，分别表示为

β1=(18，18，9，9，4.8，4.5，3.25)T，β2=(9，12，6，6，3，3，1.5)T.

能配置出来吗？

知识点这是判断一个向量是否能由这个最大无关组线性表示.所谓配置，即线性组合的系数.β1不能由α1，α2，α4，α5线性表示，因此不能配置出来；β2=2α1+2α2，因此可以配置出来.

课堂思政教育要点：

(i) 理论联系实际，学以致用：通过以上例子，同学们应该能更深入的理解了向量的各分量的含义、向量组的最大无关组、线性表示等知识点；

(ii) 扩展思考与创新：实际上一个向量组的最大无关组并不是唯一的，大家实际选购时，还可以加上价格约束，以使购买的调味料(最大无关组)的总价最低；

(iii) 透过现象看本质：向量组和它的最大无关组是等价的.恰如只需要购买4种调料就能调配出其他两种调料.这是符合实情的：大家买一些调料之后回家按自己喜好配置，而不是将市面上所有的成品调料全部买回家；

(iv) 个人应力争在集体中承担重任，就像最大无关组的向量一样勇于担当.专业学习中应抓住最擅长的方向，朝一个方向努力精进，避免“样样通，样样松”.

3.3 线性代数教学拓展案例及思政元素挖掘

除了介绍基本理论和方法外，课程强调将抽象的概念和运算，转换为对实际问题的建模与求解.教学团队运用拓展案例教学法，将理论知识用于解决和解释实际问题.这一过程能激发学生的钻研热情，养成探究问题后面蕴含的理论知识的思维习惯，是思政教育的较好切入点.拓展案例一般具有较强的综合性，教学团队通常在课前预习环节布置问题，课上理论知识点讲解完成之后，再运用所学理论解决问题.下面列举一个共享单车的运营问题案例及思政教育例子.

教学拓展思政案例共享单车的运营问题

授课安排时间结点预习“特征值和特征向量”时布置，贯穿到“实对称矩阵的相似对角化”.

问题设置校园内共享单车的规范使用，能极大地方便同学们的学习和生活.假设我校南湖校区的共享单车按规定只能停在特定的三个集中片区：宿舍，食堂和教学楼，在一个片区的单车可以在任意一个片区归还.每天从宿舍开启的自行车，在三个片区归还的比例分别为0.6， 0.3， 0.1，从食堂开启的在三个片区归还的比例分别为0.2， 0.7， 0.1， 从教学楼开启的在三个片区归还的比例分别为0.1， 0.3， 0.6.假设一个学期的初始投放量固定为600辆，请建立运营中单车数量在3个片区之间的转移的模型，并讨论时间充分长以后的变化趋势.

模型分析与求解这是一个经典的状态转移问题.共享单车异地存放可行吗？随着时间的推移，这些单车的分布会发生怎样的变化，能稳定运行下去吗？设x1(k)，x2(k)，x3(k)为第k天在三个片区的单车数量，则可建立模型

x1(k+1)=0.6x1(k)+0.2x2(k)+0.1x3(k)，

x2(k+1)=0.3x1(k)+0.7x2(k)+0.3x3(k)，

x3(k+1)=0.1x1(k)+0.1x2(k)+0.6x3(k).

令

则有

x(k+1)=Ax(k)，k=0，1，2，….

由于矩阵A的每列之和等于1，则AT必有特征值1，因此A也必有特征值1，于是存在稳定解x，有x=Ax.按课堂所学特征值与特征向量的知识，可求出属于特征值1的特征向量为

x=(x1，x2，x3)T=c(3，5，2)T，c≠0，

且x1+x2+x3=600.从而解得x1=180，x2=300，x3=120.

追求新知如果直接计算，有

x(k+1)=Ax(k)=A·Ax(k-1)=A2x(k-1)=…=Anx0，

这里涉及到计算An， 直接计算难度较大.给同学们布置思考题：有没有更简单的方法计算An？请同学们带着这个问题，课后开始第三节——相似矩阵的预习.

与数学建模结合的深度思考将时间变为连续变量，且单车存放点不止三个区，此时模型会怎样变化，如何与高等数学所学知识结合，进行数学建模？请班级同学5人形成一个小组查阅资料并进行讨论学习.

思政教育要素融入总结通过对该问题的分析与求解，学生除加深了对特征值和特征向量的性质的理解，并可获得如下感悟：

(i)个人修养学习了共享单车稳定运行背后的数学原理后，反思自己在使用共享单车过程中的文明规范举止.三个片区最终单车分配将趋于稳定.但模型适用的前提是：大家都能在规定地点归还，不乱停乱放，同时要爱惜车辆，避免损坏，如此才能不用考虑单车的归还地点，真正方便大家；

(ii)勇于创新做学问要勤学多思，学以致用.同学们学会将实际问题用矩阵语言和矩阵运算去表示与求解.对于我校车辆、自动化、通信、计算机等工科专业的学生，希望同学们用MATLAB去进行计算，观察在k为多少时，系统趋于稳定；

(iii)团队合作从提交的预习报告和课堂发言可见，同学们集体讨论能活跃思维，体会到交流与合作的乐趣，养成团队合作的习惯；

(iv)文化自信共享单车作为我国“新四大发明”，我们应增强文化自信和民族自豪感，锐意进取；

(v)家国情怀共享单车的设计初衷是为方便人民的短途出行，体现出科技为人民服务的初心.同学们更应树立为人民服务的理念，为中华之崛起而读书.

4 线性代数课程思政教学组织与成效

4.1 教学团队建设

教师是教学过程实施的主体.课程思政教育要靠教师去落实，教学团队采取的措施包括：

(i) 理论认知层面：学习相关建设纲要指导文件，认识到课程思政的重大意义，自觉提高政治理论水平及道德修养，统一思想认识；

(ii) 方法层面：邀请全国优秀教师吴传生教授传授课堂授课的教学艺术，学习如何增强教育教学吸引力和感染力；邀请湖北“师德先进个人”廖红教授传授自己将思想政治教育贯穿教学全过程的经验；团队教师参与课程思政培训会议，坚持集体学习，实现教学素材共研共享，并定期组织教学团队的成员进行讲课观摩，开展同行互评互帮，不断提高课程思政教育水平和教态教风.

4.2 构建网络“课程思政”教育模式，持续开展“线上+线下”混合式教学模式改革

教学团队利用建成的国家首批线上一流本科课程《经济数学-线性代数》，持续开展混合式教学改革[8].教师精心制作思政教育资料，引导学生分辨并获取网上的各种有益资源，及时推送给学生，使思政教育更具针对性和实效性.混合式教学以师生互动为基础，以学生为中心，通过学生提交预习报告梳理听课要点，提高了课堂效率，避免因为加入课程思政内容而学时紧张.同时利用各种平台，和学生随时互动交流，根据学生的反馈，及时调整教学策略和进度，塑造成长性思维，不断促进知识传授与价值引领的有机融合.

4.3 课程考核方式改革

此前，我校线性代数课程的考核方式主要是闭卷考试+平时作业与考勤.在课程思政背景下，为体现出对学生综合能力和全面发展的要求，教学团队将思政元素融入课程过程性考核环节， 通过对课前预习报告和线上阶段学习的考核，强调对学生在学习过程中所体现出的“认真、勤奋、慎思、诚实”等品行进行评价，旨在培养学生优秀学习态度和品格，真正实现全方位育人.

4.4 课程思政教育成效

在本学期线性代数示范课程结束之后，学生以书面形式反馈混合式教学与课程思政学习心得，教学团队将心得文本进行词云统计，得到词云图如图1所示.

图1 课程思政示范课堂学生反馈词云图

反馈结果表明，同学们对课程的理解和重视程度加强，对课程教师的付出和努力也看在眼里，从教师身上获取到精神的示范力量，激发了自己努力向上的决心.课程结束时，学生自发与教师合影，赠送教师班级相册以示感谢，并希望在后续课程学习和各类科技活动，如数学竞赛和数学建模竞赛中，能继续和老师保持联系，持续进步.在本学期期末考试中，2个思政示范课堂卷面平均分为83.15和82.13，为所有班级的第2、3名.这些正面反馈也给课程思政示范课教师以莫大的鼓舞，激励教师更加完善自我，持续进行课程教学改革研究与实践，不断增强立德树人的责任感和使命感，最终实现多方受益.

5 结 论

本文介绍了我校线性代数课程思政资源建设与课堂组织及建设成效.线性代数课程作为一门受众面广、起点要求低的公共数学基础课程，其中蕴含着丰富的思政元素和哲学思维，值得我们不断探索.团队借助国家一流在线课程资源，利用好课堂教学的主渠道，积极响应国家号召，将思政教育以大学生喜闻乐见的方式融入课程教学，将“立德树人”的教育目标落实在每一次课堂教学中，启智求实，真正走进学生的心灵，促使学生发展成为一个道德高尚、政治修养高的高素质专业人才.在今后的课程建设中，课程组将致力于研究如何使线性代数课程随着时代发展，表现出课程思政丰富的思想性与和教学改革的创新性.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.