艺术处理素材，凸显思维形成过程

李丽和

[摘  要] 以浙教版“因式分解”（第1课时）为例，艺术处理教材与作业本中的素材.通过案例提出关于课堂教学的两个观点：一要深刻理解教材，揭示知识的形成过程;二要合理改编素材，激活学生的数学思维.

[关键词] 素材;思维过程;因式分解

在平时的课堂教学中，有些教师在备课时把大量功夫花在寻找各种类型的素材上，找到素材后又直接拿来应用，忽视了学生思维的形成过程，导致一节课后出现的问题超多，这样的课堂必然会使学生对数学的理解停留在知识的表层. 本文章借助于校教研组的一次磨课活动，以浙教版“因式分解”（第1课时）的三个教学片段为例，谈谈笔者对处理素材的一些实践与思考.

案例片段

片段1  概念的建构.

在浙教版“因式分解”（第1课时）的教学中，笔者发现有些教师上课时直接给出了教材中的表格（如表1所示），并按照教材中的提示语——“请观察下列两种代数式变形的例子，它们之间有什么联系？”——引导学生归纳因式分解的概念. 这样的课堂，表面上看因式分解的概念是学生归纳出来的;实质上看，学生的思维是被教师“牵着鼻子走的”，缺乏概念建构的必要性的教学. 作为教师，应该思考：为什么教材要设计这样的表格？表格中的式子为什么是“三横”？为什么要比较表格中两竖式子的关系？

鉴于以上思考，笔者设计了以下的教学过程：

问题1：整式乘法有哪些类型？请各举一个例子.

设计意图  通过课堂研讨得出表2. 对比表1与表2，不难发现，虽然都列出了关于整式乘法的三个式子，但是类型不同：表1只包含了“单项式乘多项式”“多项式乘多项式”，表2还包含了“单项式乘单项式”. 虽然当等式的右边是“单项式乘单项式”的形式时并非因式分解，但从学习的必要性来说，回避是不可取的，所以笔者选择先将其提出，归纳出因式分解的概念后，再请学生判断如6a2b=2a·3ab的形式不属于因式分解.

问题2：整式除法有哪些类型？

设计意图  通过问题2引导学生回顾已经学过的整式除法的两种类型：“单项式除以单项式”“多项式除以单项式”.

问题3：若继续学习，整式除法还会有哪些类型？

设计意图  在问题2的基础上，学生不难得出整式除法的第三种类型为“多项式除以多项式”.

问题4：现在老师举一个多项式除以多项式的式子，如（a2-4）÷（a-2），你能化简吗？

设计意图  在问题4的解决过程中，学生能感受到化简（a2-4）÷（a-2）需要把a2-4变形成（a+2）（a-2），此时笔者追问：“a2-4=（a+2）（a-2）还是整式的乘法吗？”“显然不是，它与整式的乘法是互逆变形的关系. ”学生探究后答道. 通过此环节，学生能深刻感受到学习因式分解的必要性.

問题5：刚刚同学们举例的整式乘法的式子左右两边可以交换吗？

设计意图  《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数学教学不是把现成的结论教给学生. 数学教学是数学活动的教学，要引导学生自己寻求知识产生的起因，探索它与其他事物的联系，在探索过程中形成概念、寻求规律、获得结论. ”通过以上环节自然就生成了表1，有效体现了以上的理念.

片段2  概念的辨析与巩固.

为使学生对概念有透彻清晰的理解，在概念形成后，还需要深入剖析概念的实质，帮助学生弄清概念的内涵与外延. 将教材中的以下两道题改编后可以作为概念的辨析与巩固.

题1：下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解？

题2：把左右两边相等的代数式用线连起来.

在课堂教学中，以上两道题不能直接拿来使用. 题1改编的理由是包含的类型不齐全，还需要加上诸如6a2b=2a·3ab的式子，这个式子在片段1中已经得出，它的右边是“单项式乘单项式”的类型，不属于因式分解，此处需要给予解释. 另外，还需要加上诸如-4=+2·-2的式子，以此说明判定因式分解的前提是式子两边均要是整式. 题2 改编的理由是它考查的是整式的乘法，即使不学因式分解的概念也能完成，且左边与右边的代数式都能一对一连线，这样的题目缺乏探究的味道.

鉴于以上思考，笔者将这两道题改编如下：

题1（改编）：下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解？

题2（改编）：从A组和B组中各选一个代数式组成等式，使得等式从左到右的变形是因式分解，并把它写出来.

改编后的题2与原题2比较有三大不同：一是原题2中的多项式都在左、整式积都在右，改编后的题2中左边与右边均含有多项式与整式积的形式，这样改编的优势在于能体现思维不断优化的过程，要想把所有的因式分解找出来，先找乘积式比较方便，从而深化对因式分解概念的理解. 二是原题2是连线题，改编后的题2则要求学生写出从左到右的变形是因式分解的等式，这样的改编再次巩固了因式分解的形式.  三是原题2左右两边的代数式能一一对应，四组等式都是因式分解，改编后的题2则左右两边有一组等式不成立，只有三组等式是因式分解，这样设计的目的是引导学生注意判断等式是否是因式分解还应考虑等号两边是否真的相等，从而培养学生发现问题、解决问题的能力.

片段3  概念的应用.

因式分解在初中数学中应用很广泛，它是代数式的一种恒等变形，是后续学习分式、二次根式、一元二次方程、二次函数等知识的基础. 本节课是章首课，因式分解的许多应用需要等整章知识学完后才会涉及，所以笔者准备从以下两道题的改编来体现因式分解的应用，其中题1来自于教材，题2来自于配套的作业本.

题1：用简便方法计算下列各题，并说明你的算法.

这个问题来源于教材后的作业题，体现了因式分解在简便计算中的作用，笔者把这个问题改编为：

题1（改编）：根据所给的a，b的值，求代数式a2-b2的值.

改编后的题1不仅体现了因式分解在简便计算中的作用，还能体现在代数式求值中的作用. 另外，对于初一的学生而言，之前学习代数式求值的方法主要有两种，一是直接代入求值，二是先化简再求值，通过本题的学习，增加了代数式求值的第三种方法——先变形再求值. 这样使得学生对代数式求值问题的解决方法有了系统体验.

题2：用一张如图甲的正方形纸片、三张如图乙的长方形纸片、两张如图丙的正方形纸片拼成一个长方形（如图丁所示）.

（1）用一个多项式表示图丁的面积;

（2）用两个整式的积表示图丁的面积;

（3）根据（1）（2）所得的结果，写一个表示因式分解的等式.

这个问题来源于配套教材的作业本，其实这样的问题在许多教辅资料中均可见. 笔者认为这样的问题设计缺乏探究味，不能体现学生对知识的主动建构过程，即使对因式分解概念模糊的学生也能完成，所以笔者把这个问题改编为：

题2（改编）：有六张如图甲的正方形、五张如图乙的长方形和一张如图丙的正方形拼成了一个长方形，请画出这个长方形.

改编后的题2与原题2最大的不同是：原题2是把学生的思维牵着走的，利用等积法建构等式是第（1）问和第（2）问设计好了的，只有第（3）问才体现了因式分解概念的浅层次应用;改编后的题2首先需要学生计算出拼成的长方形的面积是6x2+5xy+y2，再挖掘题目隐含的等量关系（拼接前后图形面积不变），接下来思考代数式6x2+5xy+y2要分解成哪两个因式的积，最后根据分解的代数式的特征画出图形. 这样的问题设计才能真正体现学生对知识的主动建构过程，实现从形到数再从数到形的过程，体现数形结合思想.

教学反思

数学课堂应该是“简约而不简单，丰满而不芜杂”，简约的是课堂的结构形式，丰满的是课堂的思维内涵.

1. 深刻理解教材，揭示知识的形成过程

教材凝聚了众多专家的智慧，是教师教学的工具，是联系师生教与学的载体. 深刻理解教材是有效教学的前提. 而深刻理解教材的第一要义是理解数学，即了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程、价值观资源等;此外，还应仔细分析教材的编写意图，包括教材的结构体系、内容顺序、例题设计、习题安排等，以便立足学情，有的放矢地进行教学设计.

在浙教版教材“因式分解”（第1课时）中，编者利用表1归纳出因式分解概念;在课堂教学中，有些教师便直接拿出表1来归纳概念，这种做法不可取. 教材是供阅读使用的，有时只能以“结果”的形式呈现出来，作为教师要理解这种“结果”背后的缘由，站在整个教材的编写体系中去设计问题. 以本课时为例，按照浙教版教材的编排顺序，学生先是学习整式的加、减、乘、除（仅限于单项式除以单项式、多项式除以单项式），之后学习特殊形式的整式的乘法，接下来学习因式分解，这样的编排可为特殊形式的整式的除法做准备，为后面学习分式化简打下基础. 鉴于以上考虑，笔者在整式乘法的基础上提出了整式的除法，让学生明白建立起因式分解与整式除法的联系是合理的. 这样做不仅符合学生的认知，更是把因式分解融入到了代数运算的体系中.

2. 合理改编素材，激活学生的数学思维

数学教学是数学活动的教学，这里的活动主要指数学思维活动，数学思维的深浅度是衡量数学教学有效性的试金石. 关键是要把握住思维的方向性和思维的层次性. 片段3的题2（改编后的），学生要根据题意自主建构代数式，经历从形到数、从数到形的过程，就是一个思维方向性问题，也是一个思维层次性较强的问题.

布鲁諾指出：“课堂教学是一种持续不断提出问题和解决问题的过程，思维永远从问题开始. ”可以说，问题才是数学的心脏. 课堂教学中选择典型的例习题，并合理设置问题，着力引导学生多角度、全方位分析问题，充分挖掘问题的本质，能有效锻炼学生的数学思维，促进深度学习，落实核心素养. 片段2和片段3中的四个问题有三个来源于教材，一个来源于配套作业本，改编后的问题显然更能促进教学目标的达成，激活学生的数学思维.

在课堂教学中，数学知识的学习只是手段，通过学习培养学生的数学思维、数学方法和思维能力，才是数学课堂教学的意义所在.

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