探求附条件多元连续函数的极值点

揭 勋

(广东文理职业学院，广东 廉江 524400)

“多元连续函数的条件极值”是高等数学的教学重点和教学难点，该问题的解决在实际应用上具有重大意义.现行高职院校数学教材在介绍的拉格朗日乘数法时[1-2]，仅通过建立拉格朗日函数，求出其驻点，认为其驻点就是附条件多元连续函数的可能极值点，而对于拉格朗日函数的建立理由、其驻点为何是可能极值点、如何判断这些可能极值点是否为必然的极值点、除了这些驻点外是否还存在其他可能极值点(比如拉格朗日函数的不可微点)等问题，并没有作系统性的介绍，这容易影响学生对该类问题的全面掌握.

本文在充分参考拉格朗日乘数法求多元连续函数条件极值[3-4]的基础上，探索利用有效的方法，把所有可能的极值点探求出来，并从中判断出必然的极值点，从而全面地解决附条件多元连续函数的极值求解问题.

1 探求附条件多元连续函数极值点的思路导入

设f(x1,x2,…,xn)是在所附条件为φk(x1,x2,…,xn)=0 (k=1,2,…,m；其中m

一般地，当n=2时，在空间直角坐标系下，二元连续函数u=f(x1,x2)在所附条件φ(x1,x2)=0下的图像是某一连续的曲线；当n≥3时，在n+1维空间中，附条件n元连续函数u=f(x1,x2,…,xn)的图像已经没有直观的几何意义了，但根据多元函数的定义以及多元连续函数极值点的定义，对应于函数值的那一维度(或者坐标轴)向上翘突起来的点或者向下陷落的点，便分别是附条件多元连续函数的极大值点和极小值点.

附条件n元连续函数的极值点必是该附条件n元连续函数的驻点或者不可微点，附条件n元连续函数的驻点或者不可微点不一定是该附条件n元连续函数的极值点[5].

2 关于附条件多元连续函数的驻点

利用前述n+1维向量空间中向量之间的关系，从几何的角度入手，探求并得出拉格朗日乘数法中由拉格朗日函数的各个偏导数组成的方程组[7]，从而求出附条件多元连续函数的其中一类可能极值点(驻点).这个方法比拉格朗日乘数法的证明过程较为形象易懂，教学上易为学生所理解.

3 关于附条件多元连续函数的尖点

利用n元连续函数f(x1,x2,…,xn)及φk(x1,x2,…,xn)的偏导数，可以求出n元连续函数u=f(x1,x2,…,xn)的不可微点中，满足所附条件φk(x1,x2,…,xn)=0(k=1,2,…,m；其中m

4 判断附条件多元连续函数的驻点和尖点是否极值点

求出附条件n元连续函数u=f(x1,x2,…,xn)的每个可能极值点后(包括驻点和尖点)，再利用附条件n元连续函数极值点处的函数图像特征，可以判断每个可能极值点是极大值点还是极小值点，并求出每个极值，方法如下：

例1求二元函数z=f(x，,y)=6x2-xy+19y2在所附条件为φ(x,y)=x+y-56=0下的极值.

解先求该二元连续函数在所附条件为φ(x,y)=x+y-56=0下的驻点.

其中，两个累次极限分别为：

=|12x-y+λ|

=|-x+38y+λ|

故，点(42,14)是该二元连续函数在所附条件下的一个驻点，也是一个可能极值点(注：这个驻点也可以采用拉格朗日乘数法求得，求出的结果是相同的).

下面分析(42,14)这个驻点是不是该二元连续函数在所附条件下的必然的极值点：

故，驻点(42,14)是该二元连续函数在所附条件下的一个极小值点，其极小值为13 720.

在点(0,0,…,0,9)处,由于

5 结语

在高等数学微积分学知识板块中，多元连续函数的极值问题与经济应用、社会应用中的最优化策划问题关联密切[9]，是实际应用最广泛的课题之一.本文利用n维向量空间中，向量之间的相互关系，通过构建可能极值点处的相关数学模型，经过有效的分析论证，运用重极限和累次极限的计算等途径，全面系统地探索附条件多元连续函数的全部可能极值点，并对求解出来的每个可能极值点是否必然的极值点，提出了行之有效的判断方法，为全面解决附条件多元连续函数的极值问题提出一种可行的思路.