数学深度学习能力培养例谈

梁宏晖（福建省莆田第五中学）

高三数学复习课最重要的环节就是提倡深度学习，让学生达到“温故知新”的目的。尤其是高三数学第二轮复习课，不能把解题、析题当作课堂的唯一目标，应该教会学生从“解题”到“解决问题”。通过精选例题的评析，让学生能够举一反三，掌握科学的解题方法。以高三“恒成立不等式中参数范围的确定”为例，在本节课上课之前，笔者通过微课中的典型例题的解决，帮助学生一起回顾总结恒成立不等式中含参数类型例题解决，恒成立不等式中参数范围确定的通法，引发学生深度学习，积极探究。

一、案例概述

（一）教材分析

含参数的不等式恒成立问题将函数、导数、不等式有机地串联，涉及到函数、图象、性质，渗透着函数与方程、化归与转化、数形结合、分类讨论等思想方法，综合应用性强，属于难度题。

（二）学情分析

本节课内容学生在高一时已经有不同层面的接触学习，学生对于内容有所了解，但对含参不等式恒成立的系统知识的掌握还处于零散状态，因此，有必要提高学生对该节课知识更深层次的认识。

（三）设计思想

本节课的设计思想是通过设置数学学习情景，在知识形成与发展过程中逐步培养学生数学地思考问题，有创造性去感悟问题本源，捕获事件的内在联系，从而提升综合应用能力。教学内容由浅入深，层层递进完成教学目标。

（四）教学目标

1.理解恒成立问题的本质，探究含参变量的不等式在某范围内恒成立问题，会将问题的形式进行转化。

2.熟悉掌握常见的含参数的不等式恒成立问题的求解方法。

二、教学过程

（一）观看微课视频，激发学习兴趣

例：已知函数f(x)=x3+ax2+x+1，x∈R，设函数在区间内是减函数，求a的取值范围。

设计意图：微课视频展示了四种解法，意在让学生掌握利用导数判断函数单调性的基础上，拓宽思路，在一题多解中引导学生在研究的状态下深度学习，掌握含参不等式问题处理的通性、通法，构建知识的网络系统，将数学思想渗透到对问题的理解与解决中去，培养学生的逻辑推理、直观想象和数学运算能力。

（二）学生畅谈体会，促进深度思考

设计意图：叶澜教授提出，只有把“人”的发展置于课堂中心的提问，才会为学生的成长提供空间。本节课让学生畅谈观看微课视频自主复习后的体会，让学生明白，只有深度思考，才能清晰表达自己。

生1：导函数是二次函数，利用二次函数图象数形结合，容易发现只要两个端点值小于等于零，即可求出解。但在处理此类问题时，两个端点的值能否取到零比较容易产生错误。

生2：这几种解法各有千秋，但都要用到结论：

若y=f(x)在(a，b)上是减函数，则f’(x)≥0这个性质，求变量取值范围f’(x)≥0中“＝”不可少，填空题中要是少“＝”就整题不得分了。

生3：对恒成立不等式中参数范围确定，分常数是通法。把变量分到不等两边，构造函数，然后求出该函数的最值，解法简洁易懂，但会遇到一些函数求最值较难，可能要用到二阶求导。

生4：解法3比较不容易想到，平常解题时遇到解一元二次不等式，若没办法因式分解，一般不去考虑用求根公式解。用集合包含法解很直观，对运算能力有一定要求，求解时要关注“△＞0”这个隐含条件。

生5：用数形结合处理这个解法很巧妙，变量有范围限制，可以在临界位置考虑两个图象的关系，再转移到考虑其他范围，得出结果。

师：同学们发表了很好见解，说明在自主复习时充分开展了深度学习与思考。该题的四种解法都很有代表性，可以帮助我们提高解题能力，巩固高考高频知识点的应用。同学们要加强知识与方法之间的类比，不断提升用数学的能力。

（三）抓住关键讲解，规范解题模式

例1：当x∈-∞( ,]1时，不等式（a－a2）4x+2x+1＞0恒成立，求实数a的取值范围。

设计意图：例题先由学生简单阐明思路后由教师完整讲解。分离常数法是常用的一种数学方法，教师讲解不仅关注例题本身解答，而且注重引导学生关注数学思想方法的渗透，总结出分离常数解题的一般步骤，提升学生综合应用的能力。

生6：原题中4x是2x的平方，可以用换元法，令2x＝t（0＜t≤2）构造函数g（t）=（a－a2）t2+t+1（0＜t≤2）

问题转化为讨论g（x）＞0在（0，2]上恒成立，对t2的系数a－a2分三种情况进行讨论，根据二次函数的特征，推导得出结论。

师：该同学用到函数与方程的思想，利用换元法，构造二次函数，由“三个二次”转化，由二次函数图象在（0，2]上的特点，可以得出最后结论。但这种方法要分类讨论，不仅要对二次函数的开口方向进行讨论，还要关注对称轴变化，解题过程相对繁杂。同学们继续发表见解，探究其他方法。

生7：是否可以把2x与a这两个变量，分到不等式两边要研讨？

师：分析题干发现4x与2x之间的关联，因为4x＞0，所以不等式两边可以同时除以4x，得到，欲求a的取值范围，分离参数得到，问题转化为求的最大值。

本题首先要学会观察问题，发现变量之间可以相互转化，巧妙地将问题转化为求函数的最大值问题，考查了函数单调性定义、幂的指数运算、一元二次不等式求解等知识点，渗透了函数与方程思想，转化与化归思想。

解题的主要方法是分离参数法，是一道较为典型的例题。

（四）展示学习成果，引发深度研讨

例2（2008年江苏高考）：设函数f（x）=ax3－3x+1，x∈R，若对于任意x∈[－1，1]，都有f（x） ≥0成立，求实数a的值。

设计意图：抽取两名学生将自己练习成果展示在投影台上，并充当“小老师”讲解，用高考真题来检测学生“学以致用”的成果。对于分类讨论问题如何把控，区别“不重复，不遗漏”，对于分类依据要清楚，让学生学会更全面分析问题和解决问题。

生8：由已知，只要求出f（x）在[－1，1]上最小值，且最小值大于等于零即可，由f’（x）=3ax2－3易知可以分为“a≤0与a＞0两种情况。当a＞0时，因为x有范围限制，比较极值点与端点值大小，又将a＞0分为a≥1与0＜a＜1两种情况进行讨论，分别求出最小值，即可得a的取值范围。

生9：从观看微课视频中典型例题解法知道，用分离常数法，处理较为直观。分三种情况：

①当x=0时，f（x）=1≥0成立，故a∈R。

②当0＜x≤1时，由f（x）=ax3－3x+1≥0可得构造函数问题转化为求g（x）在x∈（0，1]上的最大值。

③当－1≤x＜0时，同理可求得g（x）的最大值。

师：本题为2008年江苏高考题，侧重考查利用导数判断函数单调性的结论。要求熟练掌握函数求导法则。若a≥f（x），（x∈[a，b]）恒成立则a≥[f（x）]max （x∈[a，b]）该题要求能熟练运用分类讨论，转化与化归的数学思想，构造函数是函数、导数与不等式的一个难点，如何巧妙恰到好处地引入新函数，是一个难点，要求同学们能充分挖掘题目内在的联系，在宏观上把控好正确解题方向，对巩固复习该专题有很大帮助。

三、教学反思

（一）坚持课标为本，注重方向引领

新修订《高中数学课程标准》提出的高中数学课程基本理念和课程目标，规定了高中数学教学内容与要求，是高中数学教学与评价的重要依据。高三教师每一节的数学复习课，都要依据新课标，制定贴近学生“最近发展区域”的主题。课堂教学要围绕主题目标，开展有趣的数学探究活动。

（二）坚持微课导学，激发学习兴趣

教育家陶行知认为“人生应该读几本垫底的书”。数学学习不仅仅是在题海中遨游，更要引导学生学会阅读，包括对数学教材、与数学有关的科普知识、数学文化及相关的专业书籍的阅读。有些内容可以通过微课让学生领会掌握，学生自己深入学习后，完成导学案进行检测，是非常好的一种途径。学生用微课学到方法，在应用中遇到问题，带着问题进课堂，在问题解决中又会产生新的问题，不断反思、探究，从而将学习推向深入。

（三）坚持以学生为本，注重学习指导

高三数学复习要充分考虑学生的认知规律，课堂教学目标设计要以学生为主体。问题设计要精准突破学生学习中的难点，提升学习效率。同时，精心预设高中数学课堂问题，通过情景设置引导学生思考。

（四）坚持双向反馈，共同促进提升

在高三课堂上，教师往往将大量关注点聚焦在“对现有问题的解决”，却没有注重“对数学问题的产生、表达和提出的过程”给予直接的关注，于是出现了学生“上课一听就懂，一考又不会”的现象，这就是没有深入学习、没有大胆质疑造成的结果。学生上课仅满足“听懂”“没有问题了”，这是错误的数学学习方式。数学课堂是师生双方共同成长的平台，教师应当适时让学生表达自己对数学问题的理解、看法与疑惑。

（五）坚持发展思维，注重深度学习

要实现深度学习，学生要自主参与各项探究活动，充分展示自己的理解，要敢于暴露自己的思维方式。学生参与不仅体现在基础知识建构环节，在问题解决的过程中更要激励学生敢于去激活问题。问题是数学的心脏。高三复习要在发展核心素养的视角下进行问题设计，在解决问题中去产生新的问题。建构主义学习观认为“学习要放在活动中进行建构，只有在活动过程中不断进行反省、概括和抽象，重构自己的理解，才能真正理解知识的本质”。

综上所述，教师在教学中应该循循善诱，引导学生去“数学地”思考、主动质疑，关注课堂中教学问题的“根源”，即教学的“生长点”， 在探究中建构知识体系，在纵向、横向的联系中提升思维品质，培养有自我认知、有活力的数学思维。