泰勒公式应用的实例探讨

2022-03-17王仲梅孟献青何国满

王仲梅 ,孟献青，何国满

（1.湖南工商大学数学与统计学院，湖南长沙 410205；2.山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037009）

定理1（带有皮亚若型余项的泰勒公式）若函数在f(x)点x0存在直至n阶导数，则

定理2（泰勒定理）若函数f(x)在[a,b]上存在直至n阶的连续导数，在（a,b）内存在（n+1）阶的导数，则对于任意给定的x，x0∈[a,b]，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得

这里ξ是x0与x之间的某个值，该公式称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。

（1）当n=0 时，带有拉格朗日型余项的泰勒公式即为拉格朗日中值公式f(x) -f(x0)=f´(ξ)(x-x0);

（2）在x0=0 展开的泰勒公式，也称为麦克劳林公式；

（3）定理1的条件要求低，仅用于x0邻域，例如讨论x→x0时的极限，确定无穷小的阶，考察局部极值问题等；定理2 的条件要求相对高些，这个公式为整体泰勒公式，可用于讨论区间[a,b]上函数的整体性质，证明函数或者导数存在某特点等[1-3]。

1 利用泰勒公式求极限

比较（1）错误解法（等价无穷小量代换），

例2设x→0 时，ex-(ax2+bx+1)是比x2高阶的无穷小，求a,b的值。

例3设f(x) 在[0,1] 上二阶可导，且f(0)=f(1)=0，f(x)在[0,1]上的最小值等于-1，试证：至少存在一点ξ∈(0,1)，使f″(ξ)≥8。

证明由题设存在a∈(0,1)，使得f(a)=-1，f´(a)=0,利用泰勒公式

用泰勒公式时，x0的选取是关键，若证明结果中不含一阶导数时，x0可考虑选取为题设条件已知一阶导数的点或隐含为一阶导数的点。

例4设f(x)在x0的某一邻域内存在连续的三阶导数，且f´(x0)=f″(x0)=0，而f‴(x0)≠0，试证：(x0,f(x0))是曲线的拐点，而x0不是f(x)的极值点。

证明由f‴(x0)≠0，不妨设f‴(x0)＞0，

所以根据保号性存在x0的某邻域，使得＞0，即x＞x0时，f″(x) ＞0，x＜x0时f″(x) ＜0，从而(x0,f(x0))是曲线的拐点。而

而f(n)(x0)≠0，则（1）当n为偶数，若f(n)(x0)＞0 时，f(x0)为极小值；若f(n)(x0)＜0 时，f(x0)为极大值（2）当n为奇数时，f(x0)不是极值。

例5设y=x3sinx，求y(6)(0)。