分数教学应先“量”后“率”

【关键词】小学数学;认识分数;认知序;教学序

【中图分类号】G623.5  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2022）01-0069-03

初步认识分数时，教师常会将“量”（表示数量）与“率”（表示关系）混合起来教学，导致学生在解决问题时经常出现混淆。如遇到“把3米长的绳子平均分成5段，每段长[（   ）（   ）]米，每段占全长的[（   ）（   ）]”这类问题时，学生经常出错，教师往往疲于纠错。为什么教了那么多遍，学生还是记不住呢？我们不妨先来看几个教学片段。

【案例呈现】

[案例1]“量”“率”混淆

师（板书[12]）：同学们，认识它吗？（直接教学读写）

师：你能用手中的材料表示出[12]吗？

生操作，反馈：把一个圆片平均分成两份，每份是它的二分之一，写作[12];把一张正方形纸平均分成两份，每份是它的二分之一，写作[12]……

学生对分数的认识并不是一张白纸，直接让学生借助手中的图形表示[12]，看似创设了一个开放的情境，结果却将学生引入“量”“率”不分的境地。学生表示出来的分数是有大小的，分别是[12]个圆、[12]张正方形纸……而在具体用语言表达时，又将分数表示为两个量之间的关系，如把一个圆片平均分成两份，每份是它的[12]……很明显，这样做，打乱了分数教学“量”“率”认识的顺序。那么，教师该如何来引导学生把握分数认识的进程呢？

[案例2]由“量”进入，逐步过渡到“率”

环节一：由“量”引入，感知分数可以表示物体的数量

1.谈话引入。

师（课件出示图1）：一个圆片代表一个月饼，请大家分别在相应方框中填上月饼的个数。

生：2个、1个、半个（0.5个、[12]个）、小半个、小小半个……

2.从“半个”入手，引导学生初步感知分数。

师：“半个”是怎样得到的？

生：把一个月饼分成两块，其中一块就是半个。

师（出示<f：＼教育8本书＼江苏教育2022＼小学1期＼小学1期图片＼课例评析  袁恩忠  人教版三上  分数的初步认识 （ 芮火才荐，朱老师转2020.10.10）-B3E6＼image4.pdf>）：这是半个吗？

生：不是，要平均分成两半，一样大。

师：像这样，把一个月饼平均分成两块，其中一块就是半个月饼，在数学中我们可以记录成[12]个月饼。（板书：[12]个）

小结：像这样，我们可以用一条短横表示平均分，用数字“2”表示分成的块数，用数字“1”表示拿的块数。（板演书写顺序）

师：“半个”“把一个月饼平均分成两块，拿其中的一块”“[12]个”，你喜欢哪种记录方法？

由“半个”过渡到“ [12]个”，让学生知道可以用“把一个月饼平均分成两块，拿其中的一块”和“ [12]个”两种不同的记录方式，初步感悟分数表示的简洁性，在表达上由语言表征向符号表征转换。

3.尝试应用。

师（指 <f：＼教育8本书＼江苏教育2022＼小学1期＼小学1期图片＼课例评析  袁恩忠  人教版三上  分数的初步认识 （ 芮火才荐，朱老师转2020.10.10）-B3E6＼image5.jpeg> ）：你能用一个分数表示吗？

师：想象一下，原来的那一个完整的月饼在哪里？（出示另外两块）你为什么会想到用[13]个月饼来记录？

师：把一个月饼平均分给四个人，每人分得多少月饼？你能画一画或写一写吗？

4.小结分数各部分名稱。

师：刚才，我们会用[12]个月饼、[13]个月饼、[14]个月饼来记录结果，你觉得分数和整数有什么不同点？

师：为什么要用这样上下排列的两个数字来表示分数呢？

师：短横表示“平均分”，平均分的块数用几表示，写在下面;拿的块数用几表示，写在上面。（板演书写顺序）

师：短横代表平均分，叫“分数线”;数一数分了多少块当作“分母”，再数一数拿了其中的几块当作“分子”。（板书：先分后数）

通过引导学生用“ [13]个”“ [14]个”等记录月饼的大小，梳理分数记录的规律，从而得出分数的表示方法以及分数各部分的名称。

上述看似两个环节，其实都是在一个“量”的语境下展开的，是一个完整的“序”，即分数如何记录分月饼的过程，让学生完整地经历用数学符号记录一种“非整”的物的过程。

环节二：由“量”过渡到“率”，感知分数可以表示关系

出示图2。

师：菠萝是苹果的几倍？为什么？

生1：2倍。苹果有2个，菠萝有4个，4÷2=2。

生2：2倍。将2个苹果看作一份，菠萝就有这样的2份。（如图3）

师：是以谁为标准进行比较的？

生：苹果。

师：如果以菠萝为标准，把菠萝看作一份，苹果怎么来表示？

生1： [12]。

生2：把4个菠萝看作一份的话，2个苹果就是4个菠萝的一半，所以用[12]表示。

师：同样是一幅图，为什么一下用2倍来表示，一下用[12]来表示呢？

生3：把苹果看作一份的话，菠萝就是这样的两份，用2倍来表示;把菠萝看作一份的话，苹果的个数就是菠萝的一半，用[12]来表示。

师：怎样比较两个量之间的关系？

小结：标准不同;方法不同（数量比、份数比）。

环节三：“量”“率”区分

出示：（1）把2个西瓜平均分给4个人吃，每人吃了[12]个西瓜？（2）把2个西瓜平均分给4个人吃，每人吃了总数的[14]。

师：上述两种说法对吗？可以画一画，同桌互相说一说。

…………

在“倍的认识”的基础上顺利实现了从“量”到“率”的过渡，促使学生厘清了“量”与“率”的区别，明晰了分数的概念。

【问题思考】

数有两个功能：一个是用来表示物体的数量;另一个是用来表示关系。关系总是拿来比较的，要比较就一定会有谁和谁比，这时就会出现标准量，所以会比较抽象。把一个抽象的关系表示成一个数，对小学生而言比较难。分数作为一个抽象的数，既可以表示部分与整体的关系，又可以表示除法运算的结果，还可以表示两个整数量的比率。正因如此，小学生在学习分数时出错的频率也就相对较高。

综上所述，笔者认为，在分数教学中，教师要注意处理好“认知序”和“教学序”的关系。从数的发展史来看，最早产生的数是自然数（非负整数）。自然数“1”开始表示的是物体的数量，如1个月饼、1张桌子;后来在分物或度量过程中不能得到整数个时就产生了分数。从分数产生的过程来看，分数首先是表示数量且有大小，这与学生的认知起点相吻合。教材中“把××平均分成几份，每份是它的（ ）分之一，写作[1（     ）]”这样的表述，忽视了向学生表明分数是描述大小的数，而直接引导其从“率”的角度来认识分数，这与学生的认知规律不符。笔者建议教材补充“一半大小的月饼（或蛋糕）可以表示为[12]个月饼（或蛋糕），记作[12]个”这样的表述，推动学生建立由“量”到“率”的有序认知。有了上述“率”的教学过渡之后，教师可以从两个方面进行巩固：一方面，借助图形，让学生体验和感受到表示“量”的分数的大小，理解分数与以前认识的自然数是一样的，都可以表示物体的大小;另一方面，可以延展到其他不同的分数，借助不同数量的图形表征来揭示分数的本质，使学生进一步理解分数。

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