在比较中促进学生数学理解

袁绮蓉

一、利用数学比较，启发学生数学理解

郑毓信教授在其著作《数学教师的三项基本功》中指出的基本功之一就是“善于比较与优化”。数学学习的过程就是学生数学理解的过程，而数学理解思维的启动，也需要触发点，数学比较可以引发学生的思考，吸引学生的注意力，使他们产生强烈的求知欲，成为学生数学理解思维启动的“开关”。

（一）新旧连接处比较，促进迁移

很多新知都是在已有的知识经验基础上迁移、类比而来。所以可以从复习旧知自然引出新知，引导学生在新旧联系处进行比较，让学生在分析、比较、判断、推理中构建新知，促进知识的迁移。

例如，在教学“认识一个整体的几分之一”时，教师先出示一个桃子，让学生指出它的；再出示一盘桃，也让学生指出它的。然后引导学生比较两个有什么联系和区别。通过比较，学生打开了理解几分之一意义的大门。

（二）变与不变间比较，突显本质

例如，为了让学生头脑中形成对分数意义的理解，在教学设计时可以设计比较的过程。教师出示三幅图，提出问题：“平均分成四份的每份物体的个数并不相同，为什么都用四分之一来表示呢？”然后引导学生比较：“为什么将同样数量的8 个正方体表示为某一组图形的各自其中的一份，表示的分数却不相同？”这样经过两次比较，学生在变与不变中，领悟了分数的意义，让学生在比较中把握了知识的本质。

（三）简与繁比较，明确方法

例如，在教学“末尾有0 的两位数乘以两位数的乘法”时，教师找两位学生板演（一繁一简），引导学生比较他们的做法。

在比较中，学生发现两种方法的结果相同，但其中一种明显更简单。再通过比较两种方法的算理，对于末尾有0 的两位数相乘的方法就清晰了。对本来简单的笔算题，经过比较，学生不仅明白了“怎样做”，对“为什么这样做”也理解透了。

二、利用数学比较，激发学生数学理解

比较，简单地说就是辨别异同，同时也是确定对象之间相同和不同的逻辑数学理解方法。教师可以用比较的方法，揭示事物的本质，理清联系和区别，从而打开学生的视野和思路，找到解决问题的方法，让学生的数学理解在比较中点燃，不断发展。

（一）同中比异，追根究底

在小学数学教学中，经常有一些看似相同的题目，但实际却完全不同。学生往往忽略或弄不清，把它们当作相同的情况来处理。这个时候，最好的方法就是把这些情况放在一起比较，在比较的过程中，于相同情况下发现不同之处，从而辨清知识的根源，把握关键。例如， “一根绳子长6 米，用去米，还剩多少米？”和 “一根绳子长6 米，用去，还剩多少米？”这样有针对性地对比，帮助学生同中找异、溯本追源，清楚地看到知识的生长点。

（二）异中比同，深化理解

数学概念、结论的获取往往需要从众多表象中抽取，运用比较，能帮助学生透过各种形色各异的外表，直窥问题的核心。在比较中，问题的外层属性逐渐剥落，知识的共性逐渐显现，学生对于问题的理解也更加深入。

例如，在教学工程问题时，先出示“运120 吨水泥，甲车要运10 小时，乙车要用15 小时，两车合运要几小时？”再替换条件。在这个过程中，学生通过比较，更加直观地发现，虽然情境变了，但隐含的数量关系却相似，解题的思路更是相同。在比较中，学生在异中找到了同，对于工程问题的核心特征和解题思路、方法逐渐明晰，自主建立解决这类问题的策略。

（三）同中比优，促进优化

面对相同的问题，不同的学生会产生不同的数学理解活动，从而产生不同的解决问题的方法和策略。在这些不同的方法中，数学理解的层次也是不同的。此时让学生进行比较，不仅能再次剖析自己的方法，更能从别人的方法中得到启发，不断优化自己的方法。例如，二年级下学期教学“统计”知识点时，刚开始学生收集数据的方法很多，在比较中，学生实现了对数学理解的突破，达到了对方法的优化选择。

三、利用数学比较，放飞学生数学理解

数学理解能力是各种能力的核心，学生的数学理解能力与数学理解水平的提高，往往要借助数学理解的精确性、深刻性与灵活变通性等数学理解品质来实现。比较是一切数学理解的基础，引导学生充分地运用比较的方法去认识、分析和处理问题，有意识地培养良好的数学理解品质，是提高数学教学效果的重要途径。在比较中，学生的数学理解经历了从启动到开阔，到灵活，到深入，到提升的过程。数学理解放飞了，就有了真正翱翔的天空。

（一）混淆处比较，让数学理解精确

学生多次解决某种思想或问题，会留下深刻的印象，形成一定的模式。当再次遇见相同问题时，首先考虑的就是用这种模式解题。但其实多数时候问题已发生改变，而学生浑然不知。知识的差异性会被它的相似性和相关性所掩盖，所以学生经常发生混淆。因此，教师引导学生在知识的混淆处进行比较，不仅有利于区别各自的内涵，也有利于通过建立知识之间的联系，提高数学理解的精确性。例如，学生学习了长度单位以后，在应用这些长度单位的时候，特别是毫米、厘米和分米这几个比较接近的单位，常常出现混淆。针对这样的情况，通过不断地比较，可以让学生对这些长度单位形成准确认知并有效运用。在不同维度的比较中，学生的数学理解更加精确。

（二）探究处比较，让数学理解周密

数学实践证明，学生解决数学问题时出现困难或错误，原因往往是理解不到位，而理解的不到位就是因为学生对于知识的体验和感悟不到位。在学生探究活动的时候，让学生对照比较，能促使学生真正把握知识要点，数学理解也会在逐层的抽丝剥茧中变得周密。例如，在教学“一一列举”时，让学生感受用“列举”的策略解决问题，而不是杂乱地找，要突出“有序”，进行有条理的思考。层层的比较，有效实现了对“列举策略”的意义建构，数学理解也愈加周密了。

（三）联系处比较，让数学理解开阔

小学数学中，许多知识是相通的。当遇到问题时，教师要引导学生多角度、多方位进行思考、比较，找出它们的微妙变化，构建知识间的联系并融会贯通，扩大知识面。通过这样的比较，学生的数学理解也会不断地开阔起来。例如，数学中最常见的一题多解，就可以在不同解法的比较中培养学生数学理解的灵活性和开放性，使学生的数学理解不断开阔。

（四）争议处比较，让数学理解深刻

在教学中，学生对知识的获取是逐步深入的，甚至是在不断的争议中，愈加迫近概念的核心和本质。设计具有思考性的问题情境，让学生进行观察和比较，学生在比较中能点燃数学理解的火花，激发对知识的探究欲望，提高数学理解的层次。例如，在让学生探究三角形三边关系时，对于用小棒没有围成三角形的小组，教师指导他们从现象中找原因：“什么样的情况下三根小棒围不成三角形？”在这个探究活动的过程中学生在争议中比较。学生的数学理解从具体形象数学理解引向抽象逻辑数学理解，进而更在小组交流汇报中，通过比较发现来填补自己认知的空隙，提升数学理解的能力和品质。在整个过程中，在争议比较中，学生亲历了数学知识的探究与发现，更重要的是接受了一次严密的逻辑和数学理解的训练，数学理解走向深入。

总之，“比较”是学生数学理解的顿悟、辨别、飞跃，数学需要比较，学生需要学会运用比较，并在比较中发现异同、揭示规律、构建知识体系，促进自身数学理解能力的发展，让学生的数学理解闪耀数学素养的光芒。