以学生为中心的偏微分方程课程设计

陈 辉

（浙江科技学院，浙江 杭州 310023）

0 引言

偏微分方程是现代数学的一个重要分支，在微分几何，连续介质力学和量子力学等学科中有着重要的应用。例如，最优输运问题相关的Monge-Amp re方程，流体力学中的Navier-Stokes方程组和Euler方程组，刻画电磁场变化的Maxwell方程，描述物理系统的量子态随时间演化的Schr dinger方程，广义相对论中确定引力场的Einstein方程等等。

偏微分方程的起源最早可以追溯到18世纪，当时欧拉，伯努利和达朗贝尔等围绕着乐器中的弦振动问题展开了大讨论。特别是在1746年，达朗贝尔引入了偏导数的概念作为对弦振动的数学描述，这促成了偏微分方程的诞生。从19世纪开始，随着对不断涌现的数学物理问题的深入研究，偏微分方程这门学科也有了蓬勃发展。现如今，偏微分方程的应用范围已经远远超出了传统的自然科学领域。在经济与金融，环境污染与治理，材料工程等社会科学和工程技术中有大量应用偏微分方程来解决所遇到问题的实例。

本科生的偏微分方程是理工科专业重要的基础课程，主要讲述传输方程和三个经典的二阶方程：波动方程，热传导方程和调和方程的物理背景、定解条件和求解的方法。通过教学，使学生掌握偏微分方程的基本概念，理解有关数学物理方程建模的基本思想和逻辑推理过程，掌握常用偏微分方程定解问题求解方法，为学生日后从事解决较复杂的数学物理问题研究以及应用型科研工作奠定基础。

但是偏微分方程课程的教学往往有诸多困难。以本校为例，我在理学院开设的偏微分方程课程的选修课，常常是数学专业的学生能坚持到最后的不多，而且留下来的学生成绩也不好。从学生反馈的情况来分析，在教学过程中存在着诸多突出的问题：课程理论基础多，应用实例少；课时与课程内容不匹配；学生基础参差不齐，这些都给教师的教和学生的学带来了一定的困难。

1 现状和教学改革措施

推动本科高校向应用型转变是教育领域人才供给侧结构性改革的重要内容。《国民经济和社会发展第十三个五年规划纲要》明确提出推动具备条件的普通本科高校向应用型转变；《国家职业教育改革实施方案》进一步提出“一大批普通本科高等学校向应用型转变”的发展目标。2019年，浙江省提出在鼓励试点的基础上，争取用5年时间，推动更多本科院校加强应用型建设，培养产业转型升级和公共服务发展急需的高素质应用型人才。本校是浙江省应用型建设试点示范学校，也在积极开展应用性科学研究和科技创新，努力把应用学科优势和科学研究与技术创新成果及时转化为人才培养优势。

但是我们也看到，因为一些客观原因，我们的生源质量不如双一流高校，学科建设也存在一些缺陷。而且当代中国社会内卷严重，毕业生就业困难。因此我们的学生更加青睐于注重课程的实用性。我们在应建工学院要求而开设的面向高年级学生的偏微分方程课程的教学过程中尤其感受到了这一点。这对偏微分方程课程的教学是巨大的挑战，但也为课程的建设和改革指明了方向。

1.1 教材和教学内容的改革

偏微分方程是一个逻辑严密的系统学科。但是国内流行的教材往往会过于注重理论体系的建立，内容编写深奥晦涩，对背景知识和偏微分方程的应用很少在教材中体现，教材所附习题也是基础的数学运算题，强调的是数学技巧而基本不涉及实际问题。这对我们学校工科专业的学生，学习成本较高，难以真正地将偏微分方程工具融入实际学科领域。由此，我们在教学过程中尝试一些调整，秉承以学生为中心的思想重新整理了教学方案，取得了一定的教学效果。

（1）对于传输方程，我们讲线性和拟线性方程的特征线方法和爆破点判定。

（2）对于波动方程，我们讲一维波动方程的达朗贝尔方法和初边值问题的分离变量方法。对分离变量法的物理意义，比如驻波和共振的内容，要做充分的展开。由于高维波动方程解的推导非常细致和烦琐，学生不一定能在课堂上消化。所以，我们舍去这部分内容，在课外制作视频讲解高维方程解，让同学们自习。

（3）对于热传导方程，我们把利用Fourier变换求解柯西问题和利用分离变量法求解初边值问题作为重点来讲解。对于Sturm-Liouville特征问题，我们可以做一个简化精练的介绍，并且制作视频，让感兴趣的同学们自习研究。

（4）对于调和方程，我们讲泊松公式，并简单介绍下格林函数，把调和函数的性质这一小部分内容舍去。

（5）对于一般二阶线性偏微分方程，我们简单讲下利用特征理论，对二阶线性方程的分类。

1.2 增加知识的应用案例，降低学生的学习成本

我们在上课时要避免枯燥乏味的复述课本的内容，否则容易引起学生的反感；要培养学生的学习兴趣和求知欲，鼓励学生在学习过程中提出问题，提高学生学习的积极性和主动性。将传统的以教师为中心的课堂教学模式转变为以学生为主体的教学模式，这样既可以活跃课堂气氛又能充分提高学生的学习效率。

具体的，在推导一阶/二阶方程的定解问题时，我们可以以身边常见物理现象的简化模型为例，从而引起学生的兴趣，增加课程的亲和力。在课程期间，可以布置一个小组作业。比如引入贝塞尔函数、勒让德函数等工程应用上常用的特殊函数，然后请学生完成对这些特殊函数性质的描述和刻画；或者偏微分方程模型在物理、力学等学科中的具体实例，比如交通拥堵，新冠病毒传播和控制等问题。如果学生参与度高，后续可以去申请大学生科技创新项目，提升实践能力和创新能力，比如浙江省大学生新苗人才计划等。

1.3 增强过程管理，考核评价方式多元化

由于教学学时非常有限，除了精心设计我们的课堂教学，也要留给学生看书和琢磨的余地，以提高学生独立思考和自主学习的能力。所以，我们会在课后留一些作业，使得学生能够熟练掌握相应模块的知识。与高等数学，线性代数那种基础大课相比，偏微分方程课程选修的学生数量一般不多，我们有充足的时间批改作业和答疑。从2020年突发公共卫生事件后，我们普遍采用和适应新的作业提交方式：学生完成作业后，在QQ课程群上在线提交和修订。上交的作业一般在一天内就能批改完，并且自动返还学生。作业有问题的也可以及时双向沟通。与传统纸质作业相比，这大大缩短了学生提交作业到收到反馈的时间。另外，平时我们也通过微信、QQ跟学生互动和答疑，帮助学生培养合理的学习习惯和学习方法。

在考核方面，除以基本要求为主的期末考试外，我们鼓励学生总结学习成果，积极参加课堂讨论和小组作业。平时成绩根据学生平时表现和答疑情况等给出，和期末成绩折合的方式计入总评成绩。这也是督促学生重视平时学习积累的一个有效的措施。

1.4 建立课程的在线学习资源

为了帮助学生课后学习，我们用视频录制/剪辑软件Cam tasia录制了一些短视频，主要是课程的重要章节或者课程的补充内容。我们把视频资料放在受当代大学生欢迎的主流的流媒体网站，比如哔哩哔哩（B站）上，让学生充分利用碎片化的时间来学习。这里我们利用 Cam tasia录制的网课视频，主要是基于三点考虑。一是觉得这样更能拉近与学生的距离，创建良好互动沟通氛围；二是方便我们根据实际教学情况，及时修改和调整内容；三是为了节省课程建设人力和物力成本。等课程建设更加成熟和完善时，我们将适时推动下一步的课程在线资源建设。

2 结语

00后这一代大学生的认知风格和思维方式发生了重大的变化。我们的教学要适应时代的变化和发展，积极实践教学改革和创新，这样才能有效地提升教学质量，促进学生知识水平以及综合能力的提高，才能满足时代对人才的需求。偏微分方程课程的教学除了培养学生的基本数学概念和计算方法外，更重要的是培养他们运用数学思维解决实际问题的能力。特别是在应用型大学建设新形势下，偏微分方程改革应该秉承以学生为中心的理念，探索符合学校定位和学科发展的实际情况。我们在这里提出了一些教学改革思考，也会在后续的教学工作中不断改进完善，使得偏微分方程这门课程的教学可以取得更好的效果，让学生学有所得，学有所成。