几何直观视角下数与代数教学设计研究

邵 楠

（南京师大附中江宁分校,江苏 南京 210000）

作为小学阶段的重点科目，数学对发展学生直观想象能力、逻辑分析能力等有重要意义，通过对几何直观视角下的数与代数教学进行研究，能极大丰富数学授课内容，优化教学形式，对提升数与代数教学质量有重要意义。

一、概念

1.数与代数是小学阶段数学课程的重点之一，能有力发展学生抽象思维、分析能力，为后续更深层次数学知识学习打下坚实基础。

2.几何直观通常是指，将数学问题结合图形进行分析、研究，是一种学生必须熟练掌握的技能，也是新课标下数学核心能力的主要部分。

二、几何直观在小学数与代数教学中的意义

通过对教学内容深入研究，树立符合学生实情的教学目标，引导学生更自主、直观地学习数学知识，能够结合几何直观思想将数与代数问题实行合理转化。

（一）培养学生创造性思维

教师通过“数与代数”的知识内容，帮助学生将数与形实行有效连接、整合，让学生能结合数学概念计算几何问题，更高效、直观地理解所学知识。在教师引导之下，学生面对数学问题时要能从多层面实行分析，并利用几何直观思维处理问题，在观察、分析的基础上形成一定的几何直观能力，进而促使自身创造性思维进一步发展。

（二）帮学生正确理解数学概念、内容

几何直观思想涉及小学数学的很多层面，在数与代数的教学中，教师要结合几何直观思想帮助学生更好地理解数与形的关系，发展学生主动思考、主动理解的能力。数字与图形在数学中有很深的关系，实行教学设计时，教师要将这两个因素充分整合，利用图形对数与代数的问题实行生动描述，帮助学生理清解题思路，提升学生对数学知识、数与代数概念的理解。在本课的教学设计中，教师要以“数与代数”为基石，着力发展学生空间思维能力，利用多彩的图形帮助学生解决、思考数与代数问题，增强他们的动手解题能力，逐步掌握用几何直观能力解决、描述、分析问题，高效完成教学任务。

（三）助力学生科学思维发展

数学概念在发展时主要的形式可总结为“直观—抽象—直观”，从这里可以看出，几何直观能力在数学教学中意义重大，是学生必须要掌握的技能之一。在“数与代数”这部分内容中，学生要明确不同的数字类型，比如负数、分数、小数等，并利用几何直观的方式分析数字问题，结合图形理解教学内容，从而发展自身的科学思维。

三、结合案例，基于几何直观视角下的数与代数教学设计研究

（一）引入直观情境，深化概念理解

【案例1】

在苏教版五年级《倍数与因数》中，教材并没有给出直接关于“倍”的定义，只是简单描述了两个物体间的关系，以此让学生理解相应的倍数概念。在实际的授课中，如果教师没有引入适合的教学形式，学生对这一课知识进行认知、学习时可能会出现思维混乱的情况。鉴于此，笔者开展了如下的教学设计：

教师：前天有个小猴子到菜市场买了好多香蕉回来，现在各位同学请你们帮助小猴子将这些香蕉分成几堆，说一说大家是怎么分的呢？

生1：有青香蕉、黄香蕉，还有不能吃的黑香蕉。

教师：那么，这三种香蕉分别有多少呢？

生2：其中有青香蕉2 个，黄香蕉6 个，还有黑香蕉10 个。

教师：青香蕉的数量是2，黄香蕉的数量是6，那大家知道6 和2 之间的倍数是多少吗？

生3：6 是2 的3 倍，倍数是3。

教师：从这里我们能够明白，黄香蕉是青香蕉的3倍，大家能够明白什么叫倍数了吗？

生（众）：知道了。

教师：那么我现在问大家一个问题，你们谁能告诉我，黑香蕉是青香蕉的多少倍呢？如果2 作为因数，那它和几相乘能够得到黑香蕉的数量呢？

生4：黑香蕉是青香蕉的5 倍。如果2 是因数，那么它和5 相乘便能得到黑香蕉的数量。

通过构建这样的一个直观情境，利用三种香蕉间的数量关系开展数与代数的教学，能让学生在和教师的问答之间对倍数与因数的概念产生更深入理解。

（二）借助直观图形，理解概念本质

小学生记忆力较好，但理解能力不足。在这一特点下，很多学生常常是能在较短时间内记住概念，但在理解其本质方面存在一些困难。结合几何直观理念，教师可以利用直观图形对数与代数的概念进行分析，帮助学生认清不同概念间的区别，高效地抓住概念本质内涵。在实践中，教师可以从教材入手，通过对数与代数知识进行巧妙整合，实现数与形的有机结合，提升学生对概念本质的理解水平。

【案例2】

在教授《分数的意义和性质》时，苏教版的教材上对分数的定义给出了准确描述：通过平均分一个物体或者一个正方形、圆等，取其中的一份或几份就是分数。在教学实践中，教师要重视对几何直观思维引入，让学生除了能够利用图形表示分数，还可以结合图形对分数的概念进行阐述。通过这样的训练方式，促使学生的几何直观能力、对知识本质的理解水平得到进一步提升。在实践方面，笔者的教学设计如下：

教师：如果把一个月饼平均切成4 份，将其中的三份送给别人，留下的这一份占整个月饼的多少？

生1：占整个月饼的1/4。

教师：相信大家对于分数的概念都有了一定了解，现在大家请看黑板上的图形，你们能知道它们分别代表多少吗？（教师在黑板上画出三个图形，并将其进行分割、涂色。）

生2：这些图形分别代表1/4、2/5 和3/4。

教师：看来大家对于分数的意义、性质都有了初步了解，现在你们能尝试画出3/8 的图形吗？

生（众）：能。

借助几何直观思想，学生能对本课涉及的概念产生更深入理解。学生除了能够用不同的方式表达分数，还能逐渐明白整体与部分的关系。实际上，单位“1”表示的不仅仅是一个物体，还可以是一组物体。通过在实际教学中对学生进行引导，启发他们将数与代数知识结合图形思考，能大幅增强学生思维能力发展，使其更深入理解概念背后的深刻含义。

【案例3】

教授苏教版五年级《负数的初步认识》时，教师可以结合生活中的“气温”和“存折”等概念开展授课，以此让学生对两个相反意义的量进行认识。比如，气温升高、存款增加可以用正数表示，气温下降、存款减少可以用负数表示。另外，在实际授课中，数学教师可以结合几何直观理念，帮助学生深入理解负数的概念，让学生不再只是记忆有“-”号的就是负数，使其对负数的认识上升到一个更深的层次。

具体的教学设计如下：

教师：同学们，我们都知道带有“-”号的数表示负数，那么气温计上显示的-15℃、存折上标记的-200元，表示什么意思？

生1：气温计上的-15℃代表气温在零下15 摄氏度，存折上的-200 元，表示支出了200 元。

教师：请大家回想关于数轴的知识点，思考一下-5、0、5 分别在数轴的什么位置，不同数字表示怎样的含义？

生2：5 和-5 在数轴上表示相反的意思。

教师：为什么-5 在0 的左边呢？

生3：因为0 的右边表示的数越来越大，在相反的方向，越往左边数越小。

从这里可以看到，教师借助数轴能够更直观地将负数表示出来，帮助学生对负数产生更深入的认知。

通过对上述案例进行分析能够明确得知，几何直观理念能帮助学生对数与代数的概念产生更深入理解。教师在开展教学时，要重视引导学生对数学概念本质的探究，并利用图形辅助教学，让讲解变得更清晰、直观，在无形中降低学生对数学知识的理解、认知难度。

（三）强化直观操作，重视知识应用

在对数学中数与代数部分知识进行直观讲解后，学生能否会用便成了教学关键。小学生在理解数学知识的内涵后，如果不能正确应用，将极大影响学生对数学知识意义的理解。因此，在开展教学实践时，教师要在其中加入动手操作的部分，在锻炼学生思维的同时增强其对知识的应用水平。

例如，在学生理解《分数的意义和性质》后，教师可以安排一个“折一折”的课堂活动。学生可以将正方形纸片折成1/3、1/4、1/6 等。在这个过程中，学生可能会逐渐发现，不同的折法都能表示同样的分数，这些都可以看作是对分数知识的再认识。

同理，教师还可以安排“画一画”活动，学生在活动中能对一个圆形纸片进行涂色，以此表现出1/4、3/4、5/4 等。在这个过程中，思维能力、空间能力得到有效培养，无形中让学生对分数知识更深入认知。

本文通过引入二极管—电感并联网络[15-16],构建了一个新型的改进型文氏桥混沌振荡器,简化了电路的复杂度[12]。

再如，学习了“倍数与因数”的知识之后，教师可以安排“摆一摆”活动。学生结合教师的要求，将小木棍和圆片摆成两堆，要求小木棍是圆片的5 倍或者圆片是小木棍的3 倍。通过“摆一摆”活动，学生对于倍数、因数的理解将更深入，在摆的过程中学生也会对结果进行思考。

通过此类活动，教师能将静态的知识动态化，以此引发学生思维发展，促使其思维能力水平得到进一步提升。

（四）结合几何信息，读懂数量关系

理解数量关系是进行数与代数教学的第一步，学生在进行数与代数的计算时，首先要对数量关系建立清晰认知，明白数量关系表示的意思。只有在脑海中明确数量间的关系，学生才能更精准地实施计算。为此，教师可以在教学中引入几何图形，引导学生通过读图的方式读懂数量关系，以此促使学生的几何直观意识得到进一步发展。

【案例4】

教授《分数加法和减法》时，教师可以画一个圆形图展示不同类型生活垃圾所占的份额，学生在计算前要理解不同类型垃圾占整体份额的多少，这样方可实施准确计算。

具体的教学设计如下：

教师：从图中你能算出废纸和废铜在生活垃圾中有多少占比吗？（利用媒体设备，展示饼状图。）

生1：废纸占所有垃圾的3/10，废铜占所有垃圾的1/4。

教师：如果想知道这两种垃圾在所有垃圾中的占比，可以直接将两个数值相加吗？如果可以，结果是多少？如果不可以，请说出原因。

生2：不能将两个数值直接相加，因为这两个分数的分母不一样。

教师：如何才能将两个数相加呢？

生3：可以将两个分母都转化成20，这样便可相加了。3/10+1/4=6/20+5/20=11/20。

通过在教学中引入几何图形，能帮助学生对数量关系知识更深入理解，学生对知识的应用、迁移能力也会得到大幅提升。

四、基于几何直观对“数与代数”教学设计总结及反思

通过将几何直观思维引入到数与代数的教学中，教师能帮助学生更深入地理解相应的数学概念、明确数学计算原理，帮助他们在解决问题时找到更加可行的策略。当然，在利用几何直观思维教学时教师要把握好一个“度”，并不是所有问题都要强行利用几何直观思维解决。一般来说，在遇到复杂、难理解的问题时，可以通过几何直观教学帮助学生将问题简单化、直观化，提升教学效率。

通过本次教学活动，能帮助学生逐渐形成几何直观意识，从而在无形中促使学生的数学思维、数学技能、数学素养得到进一步发展。

在开始本研究前，笔者为了突出新颖性和前沿性，将研究内容锁定在了《课程标准（2011 年版）》的核心概念“几何直观”方面，并尝试运用理论构建几何直观的水平划分，以实证作为支撑，遇到的困难是需要编制的几何直观水平测试题难度大，需要深入不同学校做大样本测试，仅凭个人力量无力完成。然后，笔者转向研究几何直观的认知，教师大都在用直观图形教学，从根底上剖析几何直观为什么会对学生数学学习产生正面效果，也就是学理分析。由于笔者研究水平有限，理论分析不深，研究得很肤浅，设计的案例难免有不合理的地方，选取的大量案例和例证难免带有个人经验主义色彩，仅对几何直观教学设计的要求、方法和途径、设计部分案例作了粗浅的研究，只能起到抛砖引玉的作用。