复数学习中应关注的要点梳理

2022-03-14侯祥伟

高中数理化 2022年3期

侯祥伟

(山东省邹城市第二中学)

复数是历年各省市高考命题的必考点,但题目难度不大,属于学生不能失分的点,其命题视角主要涉及复数的基本概念、基本运算、复数的有关性质及复数的简单应用等.学生在学习中要准确把握复数的相关概念,熟练应用相应的运算法则、运算技巧等,小题不大做.下面总结几个要点,供读者参考.

1 掌握复数的基本概念

复数z＝a＋bi(a,b∈R,i为虚数单位,i2＝－1),其中a为实部,b为虚部,复数是既有“大小”又有方向的量,其“大小”又称为复数的“模”,表示为|z|＝;实部相等,虚部互为相反数的两个复数是共轭复数;当实部为0,虚部不为0时,z为纯虚数,当虚部为0时,z为实数.这些都是复数最基本的概念,以这些概念为视角的试题是高考常考题型.解题中要注意对概念进行辨析.

例1“a＝0”是“复数z＝a＋bi(a,b∈R)为纯虚数”的( ).

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

学生在解答本题时,常错选C.原因是忽视了复数z＝a＋bi为纯虚数的条件是a＝0,且b≠0,故正确选项为B.

例2若复数z满足z＋i＝3－i,那么z的虚部是( ).

A.2 B.－2 C.2i D.－2i

学生在解答本题时,由于对复数有关概念的掌握不扎实,常错选A 或D.注意虚部是指i的系数,与其前面的符号是一个整体.故正确选项为B.

2 理解复数的几何意义

复数z＝a＋bi(a,b∈R)与复平面(实部为横轴,虚部为纵轴)内的点Z(a,b)一一对应.当z为实数时,该点落在横轴上,当z为纯虚数时,该点落在纵轴上(除原点).复数也可以与向量建立对应关系,即z＝a＋bi与向量对应,其中O为坐标原点.因此某些复数问题可借助向量运算来求解.

例3在复平面内,“点A在虚轴上”是“点A所对应的复数为纯虚数”的( ).

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

学生在解答本题时易错选C,原因是忽视了特殊点,即坐标原点,它所对应的是实数0.故“点A在虚轴上”是“点A所对应的复数为纯虚数”的必要不充分条件.故正确选项为B.

例4已知复数z1,z2满足|z1|＝1,|z2|＝1,若z1＋z2＝1＋,则|z1－z2|＝_________.

3 熟练复数的运算

复数的运算包括加、减、乘、除以及相等.两个复数相加(减),将实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).复数的乘法利用乘法分配律计算.复数的除法,利用两个共轭复数之积为实数的原理,将分母实数化来实现.两个复数相等,即实部与实部相等,虚部与虚部相等.其他相应的运算与实数的运算方法相同.注意in具有周期性,其最小正周期为4,即i4n＝1,i4n＋1＝i,i4n＋2＝－1,i4n＋3＝－i;若ω＝－,则ω0＝1,ω2＝,ω3＝1;1＋ω＋ω2＝0.另外要注意两个复数不能比较大小,但其模可以比较大小.

例5 若z＝则|z|＝( ).

本题考查了复数的除法运算及复数模的求解,属于基础题,只要准确计算即可.因为,所以z＝,所以,故正确选项为B.

例6下列各选项中运算结果为纯虚数的是( ).

A.i(1＋i) B.i2(1－i)

C.i(1＋i)2D.(1＋i)2

纯虚数,即实部为0,虚部不为0,只要利用复数的运算法则,逐一将各选项中的复数关系式进行计算化简即可.

选项A,i(1＋i)＝－1＋i,不是纯虚数.

选项B,i2(1－i)＝－1＋i不是纯虚数.

选项C,i(1＋i)2＝－2不是纯虚数.

选项D,(1＋i)2＝2i为纯虚数.

综上,正确选项为D.

4 准确利用复数性质

共轭复数的性质:令z＝a＋bi(a,b∈R),其共轭复数为＝a－bi,则z与在复平面内对应的点关于实轴对称.

实数的共轭复数为其本身.

复数模的运算性质:‖z1|－|z2‖≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|(复数模的三角不等式),|z1·z2|＝|z1|·,|zn|＝|z|n等,熟练利用这些性质,往往可以快速解题.

例7若复数z满足(1＋i)z＝2i,则|z|＝( ).

根据题目所给关系式,可知z＝,再结合复数模的性质,即,得

故正确选项为C.

例8现给出如下所述四个命题.p1:如果复数z满足∈R,那么z∈R;

p2:如果复数z满足z2∈R,那么z∈R;

p3:如果复数z1,z2满足z1z2∈R,那么z1＝

p4:如果复数z∈R,那么∈R.

其中的真命题为( ).

A.p1,p3B.p1,p4

C.p2,p3D.p2,p4

假设z＝a＋bi(a,b∈R,且z≠0),那么R,据此可知b＝0,故z∈R,即p1是真命题.

若z＝i,而z2＝i2＝－1∈R,但z＝i∉R,所以p2是假命题.

若z1＝z2＝i,则z1z2＝－1∈R,而z1≠z2,所以p3是假命题.

实数的共轭复数即为其本身,亦为实数,所以p4是真命题.

综上,正确选项为B.

5 渗透复数数学文化

教育部考试中心在“关于普通高考考试大纲修订内容”中要求“增加中华优秀传统文化的考核内容,积极培育和践行社会主义核心价值观,充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用”.比如,在数学中增加数学文化的内容.将数学文化与数学知识相结合,加强引导学生对中华优秀传统文化的了解.因此近几年高考题、模拟题或竞赛题中出现大量以复数为载体的数学文化试题,有效地起到这一引导功能.

例9欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(e是自然对数的底数,i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,当θ＝π时,就有eiπ＋1＝0,根据上述知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于( ).

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

欧拉公式将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,欧拉公式在复变函数里占有非常重要的地位.

例10在复平面内,复数z＝a＋bi(a,b∈R)与向量(O为坐标原点)对应,设＝r.以射线Ox为始边,OZ为终边旋转的角为θ,则z＝r(cosθ＋isinθ).法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:z1＝r1(cosθ1＋isinθ1),z2＝r2(cosθ2＋isinθ2),则z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)],由此可导出复数乘方公式:[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ).已知z＝＋i)4,则|z|＝( ).

棣莫弗定理与例9中的欧拉公式有紧密的联系,如将复数改写为指数形式,即z1＝r1eiθ1,z2＝r2eiθ2,则z1z2＝r1r2ei(θ1＋θ2).