浮沉子运动规律探究及对不可逆现象的解释

李 昊

（中国地质大学，北京 100083）

1 浮沉子简介

浮沉子模型最早于17世纪被笛卡尔提出，其可以视为下端有开口的小瓶在内部保持有一定量的空气后倒置放入水中，改变外部水的压力，可以实现小瓶的下沉与上浮.

2 浮沉子运动情况分析

2.1 视浮沉子（包括内部空气）质量不变

以图1中浮沉子为例，将浮沉子放置于装满水的量筒中，并用橡皮膜封口.通过对橡皮膜施加压力使得量筒内水压增大，进而压缩浮沉子内空气，使得浮力与重力差值改变，从而达到浮沉子上浮与下沉的目的.

图1 浮沉子模型

设浮沉子初始质量为m0，重力为G，浮沉子内初始空气体积为V0气，浮沉子体积为V物，水的密度为ρ，浮沉子下沉深度为Δh，浮沉子内空气初始压强为p1.

图2 浮沉子受力

未施加外力时，浮沉子悬浮于水面此时F浮＞G，但由于顶部橡皮膜使得浮沉子静止于量筒顶部.施加外力产生压强p外，则由帕斯卡原理，水的各处压强均增加p外.未施压前，浮沉子内空气压强为p1，与水的压强相等.施加外力后，浮沉子所受水压增大为

此时浮沉子内空气压强小于浮沉子所受水压，浮沉子内部空气被压缩.则由浮力定律

浮沉子（包括内部空气）排开水的体积减小，浮力减小.但浮沉子质量不变，此时浮沉子重力大于浮力，浮沉子开始下沉.

当浮沉子下沉深度Δh时撤去外力，由于深度增加水压进一步加大变为

撤去外力，水压变为

在浮沉子下沉过程中，内部空气被压缩，设在撤去外力时浮沉子内空气压强增量Δp，则此时浮沉子内空气压强变为

则当Δp＞ρgΔh时，空气压强大于外部水压，气体膨胀，浮沉子浮力增大，当浮力大于重力，浮沉子上浮.在下降Δh后，浮沉子重力不变，所受水压增大，内部空气压强增大Δp，则在此过程由理想气体状态方程

可以得出空气体积的变化量

即由于浮沉子内空气被压缩，体积减小了ΔV，则浮力减小量为

以上即为视浮沉子质量不变时的分析，其结果即为浮力减小ΔF浮从而改变了重力与浮力的差值导致浮沉子下沉.

2.2 视浮沉子浮力不变

在视浮沉子质量不变时，分析的对象是包括小瓶和瓶内气体为整体，但在视浮沉子浮力不变时，分析的对象取为浮沉子小瓶所占据的圆柱体整体（包括内部空气以及进入浮沉子内的水）.

图3 所选取分析对象

在视浮力不变的条件下，未施加外力时受力情况与之前一致.当施加外力时，由于分析对象其体积是一定的，故在整个运动过程中物体浮力不变.设其体积为V1，则其所受浮力为

施加外力，浮沉子所受外水压变大，水进入到浮沉子中，但此时所选取的分析对象为包含浮沉子内水的整体，故当水进入后，整体质量增大，重力增大，重力大于浮力时浮沉子下沉.在下沉过程中，内部空气压强变化以及所受外水压变化与之前分析相一致.下沉到一定深度时，撤去外力，此时空气压强与外水压差同之前分析相同，但此时所选分析对象体积不变，故浮力仍不变.由于水被压出浮沉子，使得浮沉子损失了这一部分水的质量，导致重力减小，重力小于浮力时浮沉子上浮.在下沉过程中浮沉子内部气体压强同之前一致

则同样用理想气体状态方程可以得出气体体积变化量仍为

此时浮沉子内空气体积减小了ΔV，则同时会有ΔV体积的水进入到浮沉子，使浮沉子重力增大，其重力增量即为流入水的重力

当视浮沉子浮力不变时，其结果为浮沉子的重力会改变ΔG，从而改变了重力与浮力的差值.

3 两种分析方法的一致性

可以看出两种方法在未施加外力时浮沉子的状态都是一致的.在施加外力后，浮沉子开始下降，在下沉过程中浮沉子内空气压强的增量在两种方法中也是一致的，压强均为

则在同外力，同下沉深度下2种方法的Δp也一致.故在2种方法下浮沉子在起始与下沉过程中内部空气的状态都是一致的，从而浮沉子的运动状态也是一致的.

撤去外力后，2种方法下浮沉子受力改变分别为浮力减小ΔF浮和重力增大ΔG，由式（9）和式（13）可得，两者的变化量相同均为

综上，2种不同的分析方法所得结果在浮沉子运动的各个阶段都是相同的，只不过一个是视物体浮力不变，重力增大；另一个是重力不变，浮力减小.而两者变化力的变化量都是相同的，最终使得在撤去外力后浮沉子的重力与浮力的差值均一致，即2种不同分析方法所得结果都是一致的.

4 浮沉子的不可逆现象

浮沉子不可逆的现象即是在撤去外力后浮沉子依旧保持下沉而无法上浮的现象.

根据之前的分析，当浮沉子下沉到一定深度撤去外力时，浮沉子内空气压强变为

浮沉子所受外水压变为

浮沉子下沉一定深度Δh后，撤去外力，浮沉子上浮原因在于此时浮沉子内部空气压强大于浮沉子所受水的压强，则若外部水压大于浮沉子内部气压，则浮沉子内空气不会膨胀，从而使得浮沉子保持下沉的状态.即浮沉子不可逆需满足

即

考虑临界情况，即当上式等号成立时.

根据理想气体状态方程可以得出当上式等号成立时，浮沉子内空气体积改变量为

将该式写为

可见浮沉子内空气最终撤去外力后体积变化与浮沉子下沉深度有关，随Δh增大，空气被压缩越多，最终达到临界值，浮沉子内空气无法膨胀.

但浮沉子不可逆的条件除了下沉一定深度后浮沉子无法通过空气膨胀改变重力与浮力的差值外，还有一点就是在空气无法膨胀的深度时浮沉子的浮力小于重力.只有这2个条件同时满足浮沉子才会出现不可逆的现象.再考虑临界，即当浮沉子下沉深度到达空气无法膨胀的深度时，此时浮沉子的浮力刚好等于重力.（此处我们视浮沉子重力不变）

将此时的ΔV代入得出浮沉子下沉深度为

则当撤去外力时浮沉子下沉深度大于Δh临界时，浮沉子内部空气无法再次膨胀，且此时浮沉子重力大于浮力，浮沉子保持下沉，即出现了浮沉子撤去外力也无法上浮的不可逆现象.

可以看出浮沉子不可逆临界深度与以下因素有关：浮沉子初始质量m0，浮沉子初始空气体积V0气，浮沉子小瓶体积V物.由式（23）可得出，m0越大则Δh临界越小，m0越大则浮沉子重力越大，能实现重力大于浮力的深度也就越浅；当V物增大时Δh临界也随之增大，V物越大则浮沉子体积越大，在水中的浮力也就越大，达到不可逆状态所需的临界深度也就越深.

综上，浮沉子出现不可逆现象的原因为其下沉到一定深度后，外部水压导致内部空气无法膨胀，并且此时由于空气被压缩，浮沉子重力大于浮力，从而使浮沉子保持下沉的状态.浮沉子出现不可逆的临界深度与浮沉子初始质量、初始空气体积、浮沉子小瓶体积等因素有关.

5 实验及结果

依据式（23），浮沉子下沉出现不可逆现象的临界深度与浮沉子内初始空气体积、浮沉子（不含空气）质量与体积、等因素有关.据此对于不同影响因素进行实验探究.实验所用浮沉子为圆柱形小瓶，外容器选用容积为1000mL的量筒，顶部有橡皮膜密封.

5.1 不同初始空气体积下沉所需压力大小

将浮沉子内水位高度从2.6cm增加至3.6cm（以0.2cm为梯度），分别测量不同空气体积下浮沉子下沉所需最小压力（压力变化梯度为100g）.（图4）浮沉子内初始空气体积越大，浮沉子下沉所需压力越大.（以施加重物的形式来达到控制外力的目的）

图4 不同初始空气体积所需最小压力

5.2 不同空气体积下不可逆临界下沉深度

随着浮沉子内水位由2.6cm增至3.6cm，浮沉子下沉所需临界深度由11.3cm减小至7.6cm.（图5）即浮沉子内空气体积越大，所需下沉临界深度越深.

图5 不同初始空气体积下临界深度

5.3 浮沉子不同质量对下沉临界深度影响

随着浮沉子质量由8.00g增至10.10g（以0.3g为梯度），浮沉子下沉临界深度由8.7cm降至5.2cm.（图6）即浮沉子质量越大，浮沉子下沉临界深度越小.（通过对同一浮沉子缠绕细铜丝改变质量）

图6 不同初始质量下临界深度

5.4 不同浮沉子体积对临界深度的影响

浮沉子体积分别为10.49cm3、9.72cm3、8.83cm3、6.81cm3，相同空气体积下测得临界深度分别为7.8cm、7.4cm、6.9cm、6.7cm.（图7）即浮沉子体积（不含空气）越大，下沉临界深度越深.（缠绕细铜丝达到质量保持相同的目的.）

图7 不同浮沉子体积下临界深度

5.5 不同压力下浮沉子下沉速度情况

对浮沉子施加的外力从2.5kg增加至3.2kg，浮沉子平均速度从5.5cm/s增加至8.7cm/s.（图8）施加外力越大，浮沉子下沉平均速度越大.

图8 外力大小对下沉速率的影响

实验结果对比式（23）我们可以看出各参量对于浮沉子临界深度的影响情况理论与实验相一致，如图9－12.

图9 不同初始空气体积结果对比图

图10 不同浮沉子质量结果对比图

图11 不同浮沉子体积结果对比图

图12 修正结果（以浮沉子质量为例）

图中显示理论值与实验值其结果趋势一致，但在误差范围外仍有一定误差.且实验值都较理论值高，探究其原因为在理论分析时忽略了浮沉子因惯性而产生的运动（撤去外力后因惯性会继续向下移动微小位移），考虑到此因素，将（23）式加入修正因子：

取k＝1.045此时理论与实验值附合较好.

6 结论

根据理论分析及实验探究，对于浮沉子运动规律可以得出以下结论：（1）浮沉子下沉与上浮是通过改变自身重力与浮力差值来实现的，在浮沉子受外力作用并到达一定深度时，产生的压强差使其重力大于浮力，撤去外力后浮沉子不会上浮，从而造成了浮沉子不可逆转的现象.（2）其他条件不变，浮沉子内空气体积越大下沉所需外力越大.（3）其他条件不变，浮沉子内空气体积越大不可逆现象所需临界深度越深.（4）其他条件不变，浮沉子质量越大，浮沉子不可逆现象所需临界深度越小.（5）其他条件不变，浮沉子初始体积越大，浮沉子不可逆所需临界深度越大.

浮沉子模型在浮力的教学以及模拟情况中都有较好的应该用，此外它也可以视作潜水艇的简化模型.本实验通过理论分析浮沉子运动状态将目前两种主要分析方法指出了其一致性，解释了浮沉子不可逆现象的出现原因及所需条件，实验探究了浮沉子质量、体积、初始空气体积等因素对浮沉子不可逆现象的影响.为对于浮力、潜水艇原理的物理教学、科普推广的工作提供了理论基础及实验依据.