基于儿童视角 把握数学本质——“角的认识”教学实践与思考

江苏南京市游府西街小学（210002） 成 默

“角的认识”是数学的“空间与图形”领域中一部分非常重要的基础性内容。这部分内容对学生后续深入学习几何图形的知识起着铺垫作用。从教材的编排方面看，“角的认识”是学生对几何平面图形由感性到理性的一种认识飞跃。因此，“角的认识”这部分内容的学习至关重要。

小学阶段，“角的认识”的内容主要分为角的初步认识、角的认识和度量。笔者比较人教版、北师大版和苏教版三个版本的教材（见图1）后发现，它们都采用了分散编排的形式，将“角的初步认识”编排在二年级教材中，而“角的认识和度量”则编排在四年级教材中。教材这样设置的原因是考虑到低年级和中年级学生的学习能力和身心特点的不同。

图1 人教版、北师大版、苏教版教材“角的认识”

三个版本的教材不仅都是分段编排，且每个版本的呈现顺序和编写内容都有其相同之处。如在二年级之前，各版本教材已经安排了长方形、正方形、三角形和圆的直观认识，都是在学生从实物抽象出长方形、正方形、三角形和圆等活动经验的基础上，进一步拓展学生对角的初步认识；都是从学生熟悉的生活物品或情境出发，从具体物体中抽象出角，初步建立角的表象。学生通过观察和对比，了解角有一个顶点和两条边，它是有大有小的，在此基础上再初步了解直角、锐角和钝角。而到四年级，是在认识射线的基础上深入展开对角的认识。两个时期的教学在内容和目标上有明显的层次性，不同学段的教学指向不同年龄段学生的思维水平，抽象程度逐步加强。

基于对教材的研读，笔者产生了以下思考：

1.教材中基于知识逻辑给出了认识角的一般路径，对于小学二年级的学生而言，他们在课前对角已经有了哪些认识呢？认知困难又在哪里？

2.如何基于儿童视角来推进学生对角的概念的构建？

带着这些问题，笔者分析了学生的学情：

首先，儿童视角中的“角”是一种触觉感受——尖尖的、刺刺的，学生常常会将物体顶点的位置错误地理解为数学意义上的角。正如点没有大小、线没有粗细、面没有厚薄一样，作为数学概念的“角”是无法触摸和感知的。

其次，儿童视角中的“角”是一个模糊的整体感受，学生能描出一个心目中的角，但是对1 个顶点和2 条边的组成部分还没有形成清晰、准确的认识。

因此，怎样从儿童的视角出发，设计合理的活动，助推学生对角的概念形成表象和深入理解成为本节课的教学目标。笔者带着思考，以苏教版教材二年级下册“认识角”一课为例进行了教学尝试。

一、从儿童视角出发，顺学而导，建立角的表象

［教学片段一］

师：今天这节课就让我们一起来认识角。

师（出示纸工袋、剪刀、钟面的图片）：生活中的这些物品上有角吗？请指一指。

（学生指角，初步感知角的特质）

1.纠正错误认知——角不是点

师（拿出三角尺）：这是我们的好朋友，它是谁呀？你的好朋友呢？举起来给老师看一看。三角尺上有角吗？角在哪里？

师（指三角尺的一个角）：看一看你的三角尺，这里是一个……

师：我们刚才指的是一个点。

2.完善角的特征——找到边

师：那三角尺上的角在哪里呢？请指出来。

师：他不仅摸了刚刚的这个点，还摸了……

生：边。

师（示范摸角）：看清楚了吗？

师：拿出你的三角尺看一看，摸一摸角在哪里。

师：请像老师这样指一指、说一说。

（学生边指边说）

师：三角尺上还有不同的角吗？和同桌指一指、说一说。

（同桌合作，完成操作活动）

师：刚才我们通过摸一摸在三角尺上找到了不同的角。（课件出示三个角）

师：我们再回过头来看一看刚刚展示的生活物品，角在哪里？能不能像刚才那样规范地指一指？

（学生再次操作）

【教学反思：这个片段中有三次指角的活动。第一次是在生活中的物品上指角——能看到学生原生态的样子。第二次是在三角尺上指角——从直观认识点和角的区别，再到规范地指角，帮助学生在自我否定的基础上主动进行修正，指出了角的两条边。第三次是基于认知经验再次回归生活，指出物体原型中的角。基于学生的已有经验，站在儿童的视角顺学而导，有助于学生通过尝试、修正，逐步明确相关数学概念与生活概念的联系和区别，进而形成关于角的正确表象，并积累概念学习的经验。】

二、基于儿童视角，层层递进，构建角的概念

［教学片段二］

师：刚刚我们在不同物体上找到了角，现在请闭上眼睛，想一想，角在你心中是什么样子的呢？请用深色的水彩笔在1号纸上画下来。

（学生操作，教师巡视）

师（展示学生画的3个正确的角，如图2）：这是你们心目中的角。说说是怎么画的？

图2 学生画的三个正确的角

（学生介绍）

师（示范画角）：仔细观察，看看老师画的角和你们画的有什么不一样。

师：我是怎么画的？先画什么？再画什么？

（学生描述教师画角的过程）

师：你们观察得真仔细！我先画的这个点是角的“顶点”，再画的两条直直的线是角的两条“边”，这是一条边，这也是一条边，最后画一个小弧线标记这是一个角，都看明白了吗？像老师这样规范地画一个角，画完后写一写角各部分的名称。

（学生画角，并标注各部分名称）

师：同桌之间互相看一看、指一指、说一说，哪里是顶点、哪里是边？

师：大家回看自己第一次画的心目中的角，能指出它们的顶点和边在哪里吗？

师：举起来互相看一看，大家画的角各不相同，有没有相同的地方呢？

生：不管角的开口朝向哪里，它们都有一个顶点和两条直直的边。

【教学反思：在学生初步建立了角的正确表象之后，通过画一画、指一指等数学操作活动，凸显角的构成要素。这个活动过程是角的概念的动态表征过程。基于儿童视角，笔者将数学活动层层推进，在画角的过程中分为几个层次展开教学。第一个层次，让学生先闭上眼睛想一想角在心目中是什么样子的，然后再将自己心目中的角画出来。这个时候大部分学生利用描三角尺上的角来表征自己心目中的角。而从学生表征的结果看得出，他们认为的角已经不是最初的一个“点”了，因此可以看得到学生对角的概念的认识在向前推进。第二个层次，引导学生将他们心目中的角进行比较，初步发现角的共性，即无论是以怎样的方式描下的角都有同样的特点：有一个顶点和两条直直的边。第三个层次，在学生对角有了大概的认识的基础上，教师示范画角的步骤，引导学生画出丰富多样的角，再通过指一指、比一比、说一说，让学生在动手中思维、在观察中分析，把外在可见的和内在不可见的角“印”在大脑里，进一步丰富学生对角的特征的感知，把握角的本质。通过三个层次的学习，学生完成了对角的图形表象的形成以及角的特征的抽象，这不是源于教师的直接告知，而是来自学生的动手操作及自我反思。这样不仅提升了学生对角的整体识别能力，也有助于他们在头脑中主动构建角的表象，积累认识图形的经验，发展初步的空间观念。】

三、基于儿童活动经验，动手做角，丰富角的认识

［教学片段三］

师：我们认识了角，想不想自己做一个角？做角需要什么材料呢？

师：你能用这些材料（如图3）做一个角吗？

图3 教学中做角用的材料

出示活动要求：在材料筐里选材料做一个角。做好后四人一组说一说你们是怎么做的，指一指角的顶点和边。

师：大家选择的材料不一样，为什么都能做出角呢？

生：只要有1 个顶点和2 条直直的边就能组成一个角（如图4）。

图4 不同材料做出的角

【教学反思：如果前两个教学环节是对角的概念的构建，那么做角的教学环节，既是学生对角的概念的巩固与丰富，也是对前两个环节角的认识的评价和反馈。考虑到班级学生的认知水平存在差异，所以给学生提供了不同层次的操作材料。小棒和吸管对应的是角的两条直直的边，比较具象，学生有抓手，易操作。长方形和正方形的纸对于学生来说层次有所提升，学生需要通过折一折等活动制作出直直的边。在动手做的基础上，引导并启发学生思考选择的做角材料与做出的角之间的联系，有助于学生进一步认识角的内涵和外延，促使学生逐步加深和丰富对角的认识，建立更清晰的角的表象。】

在“角的认识”一课中，笔者本着基于儿童视角顺学而导的理念进行教学实践与思考，抓住儿童的前概念与数学概念之间的矛盾设计数学活动，层层递进，不断帮助学生构建角的概念、把握概念本质，促进学生对概念的深入理解。在一次次操作、思考、体验、描述、分析等体验过程中，学生对角的概念的认识在不断进阶，学生的思维在慢慢地拔节生长。