度量视域下指向学科核心素养的单元主题教学——以“长方体和正方体的体积”教学为例

吉林长春吉大附中力旺实验小学（130000） 孙 妍

基于度量这一重要数学思想，对教材相关内容进行整合、并构、优化，形成环环相扣的教学脉络，既是单元主题教学的初衷也是其归宿。这样的单元主题教学不仅能扎实聚焦具体模块知识的育人功能，而且能够在全局视野下统整知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观，实现课堂教学与发展数学核心素养的双向接轨。

一、把握学科核心概念实质及其思想方法

1.界定度量核心概念

数学核心概念是承载数学思想和方法的基石。史宁中教授认为度量是数学的本质，是人创造出来的数学语言，是人认识、理解和表达现实世界的工具。庞加莱认为如果没有测量空间的工具，我们便不能构造空间。度量是人们对客观事物某一方面属性的数值化表示。进一步来说，度量就是将一个待测量和一个标准量（度量单位）进行比较，待测量中所含的标准量的个数就是度量的数值化结果。度量作为刻画客观事物的方法，解决了从定性描述向定量描述过渡的问题。《义务教育数学课程标准（2011 年版）》明确了“图形与几何”的主要内容之一便是图形的度量。图形的度量一般是对图形的长度、面积、体积进行度量。

2.发展度量意识，突出“单位”思想

对任何待测对象的量化，都必须使用统一的度量单位，这体现了“单位”作为度量内核的突出地位。将某一规定长度单位沿线性方向延展或细分，会衍生出新的长度单位，并得到相邻长度单位间的进率；根据面积单位与长度单位间的关联，将面积单位向平面内两个维度延展或细分，会衍生出新的面积单位，并由此获得相邻面积单位间的进率；将体积单位向空间内三个方向延展或细分，会衍生出新的体积单位，并得到相邻体积单位间的进率。在初步借助实物或图形建立单位表征、获得感性认识后，通过不断实践，逐步形成量的抽象与思维形象的融通，使得“单位”思想不断深入、量感不断发展。在这样螺旋上升的探索中，从学习长度单位中收获的经验不断迁移至面积、体积单位的构建中，图形的度量单位逐渐切实“着陆”于学生头脑中。

二、基于核心概念的单元课程组织架构

1.确立以度量为主题的单元课程教学

数学单元教学基于特定目标与主题，以教材为载体，对内在依存性强、蕴含共性特征较多的学习内容进行整合与重组，以单元为单位实施整体框架架构，以实现少量主题深度覆盖核心内容的教学效果。“用大概念统领全局，围绕大主题，开展大单元教学”成为度量主题教学的典范模式。利用大概念组织教学，需要改变以往单元教学均衡用力的做法，用突出的、具有统领作用的鲜明主题指导教学内容的规划与设计；改变过去各教学课时的相对独立状态，通过核心概念实质串联整个单元，沟通各个教学环节。

北师大版教材将图形度量内容递进式地安排在不同的年段，从长度、面积到体积，具有螺旋上升的特点，需要教师在教学中呈现知识的连贯性及思想的延续性。在度量主题的引领下，空间维度的扩展是学生在图形度量领域里获得的实质飞跃，这种知识结构的顺应和同化，为教师组织单元主题教学提供了契机。

2.统整“长方体（二）”单元目标，深度覆盖核心内容

单元教学目标的制订，除了要深挖教材内容的实质与内核，还要充分关注目标要素之间的联系，即具体模块内容之间是怎样联结的，目标指向之间有怎样的依存关系。这样既能够厘清单元整体的编排思路，又能够映射出教材背后的思想内核。

学习过程中的形成性目标是以单元整体目标为依据，用以区分不同的认知层次和学习水平，为学生的学习活动持续提供有效反馈，帮助学生改进学习方式，最重要的是，使学生参与到评价过程中，看到自身的进步与不足，而非简单地进行结果性考试与甄别。据此，笔者确立了如下表所示的单元目标及形成性目标。

知识技能过程方法 情感态度单元目标（1）通过实验活动，了解体积（容积）的实际含义（2）认识常用的体积（容积）单位，感受其大小的实际意义，掌握单位之间的进率转换（3）探索和掌握长方体、正方体的体积计算方法，能解决与其体积有关的简单实际问题（4）探索不规则物体的体积测量方法，提高动手操作能力，进一步发展空间观念（1）通过比较待测对象大小，在直接度量和间接度量中，体会待测对象的可量化属性（2）经历确定体积（容积）单位的过程，体会度量单位的实际意义，发展空间观念，形成体积量感（3）探索长方体、正方体的体积计算方法，发展推理能力主动参与探究活动，能够独立思考、合作交流，在过程中反思、质疑形成性目标了解体积（容积）是对物体大小的数值化描述①了解体积（容积）单位产生的必要性及使用途径②建立体积（容积）单位的直观表征，选择恰当的体积（容积）单位刻画待测对象的大小③掌握体积（容积）单位之间的进率转换①计数长方体包含的单位体积个数②了解抽象单位计数与长方体长、宽、高之间的关系，验证、归纳长方体的体积公式③建立底面积与（长×宽）之间的联系①根据体积守恒规律，利用实验等多种方法测量不规则物体体积②运用转化的方法解决问题了解体积的度量是对物体大小的数值化表示，是对未知量里含有的单位标准的数量的计数过程①了解体积与形状无关，而与含有单位体积的数量有关②对物体体积的大小有直观感觉，能正确估计物体的体积①探索过程中能够建立联系，进行转化②根据联系进行算法推理、归纳①积极参与学习活动、独立思考，主动与同伴合作探究、交流观点②对结论进行反思、质疑

三、基于教学目标与学生认知现状，设计有价值的学习活动

为什么“底面积×高”可以成为所有直柱体体积的通用计算方法？仅以“长×宽= 底面积”来进行形式化推理是否可行？事实上，通过机械记忆所形成的数学技能往往是片面的，无法获得理解、尚未内化的数学学习过程不利于学生健全人格的塑造。如何让学生理解体积公式的来龙去脉？学生对体积公式的把握应到什么等级？在教学中如何推动学生的思维进阶，在旧知中寻找新知的生长点？

学习长度、面积和体积，学生势必要经历概念的建立、比较方法的运用、度量工具的选择、度量单位的产生等过程。将点状知识连成线，以三个维度线索铺面，这样组建起的系统化认知更符合学生的学习规律，更有利于学生在头脑中梳理与沟通长度、面积和体积三者之间的内部联系。那么，如何在课堂中引导学生在已知中探索未知，促进学生深度理解并架构空间度量知识体系呢？笔者结合单元主题课“长方体的体积”做具体分析与阐释。

图1

学习活动1：笔者设计有数数需求的活动，并让学生在数数过程中思考：数什么、数数能得到什么、是否包含着一些规律等。利用单位度量即数数的方法应该贯穿本单元教学始终。学生用同样数量的小正方体摆成长方体，再将长方体切割，还原成小正方体（如图2），这一过程多次反复，将给定的长方体“结构化”（沿着长、宽、高平均分割，得小正方体），从而发现体积公式并积累经验。同时，学生借此过程归纳出体积守恒规律，即小正方体数量没有增减时，体积不受形状的影响。

图2

学习活动2：在长方体盒子中摆放小正方体，体会“一个一个地摆，直到摆满”十分麻烦，迫使学生思考简单的摆放方法，如只沿着长、宽、高摆一行小正方体，培养学生的空间观念，为探究体积公式再次积累“分块”的经验（如图3）。

图3

学习活动3：思考在计算小正方体个数时，“长×宽”到底是表示底面积还是表示一层的体积（小正方体的个数）？其单位是cm2还是cm3？学生在探究长方体的体积计算方法时，对体积公式的由来一般要经历猜想、观察、操作、归纳等过程。而针对“底面积×高”这一表达方式，常以“底面积”可由“长×宽”计算得来这种类似等量代换的形式一带而过。值得正视的是，长方体的体积公式中的“长×宽”与长方体的底面积不能简单地等同起来，两者在内涵上有着根本不同。

学习活动4：拓展长方体的体积公式的适用范围。当长方体的长、宽、高不是整数时，体积公式还适用吗？（如图4）对这一问题的探讨，是检验学生是否真正理解体积公式的时机，也是培养学生度量意识的主要抓手。

图4

小学数学的教学目标在于让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。在如今的教学中，无论是经验的累积、基本思想的形成，还是数学抽象、推理、建模能力的培养，都早已不是教师的单向输出，而是与学生的主动参与、独立思考和自我建构密不可分。度量作为重要的数学思想之一，承载了独特且鲜明的学科育人价值。教学中，教师应当使学生在掌握知识技能的同时建构空间度量体系，真正形成数学抽象和直观想象的数学核心素养。