一类具有非单调发生率的时滞SIRS传染病模型的周期解

张子振，张伟诗

(安徽财经大学 管理科学与工程学院，安徽 蚌埠 233030)

多年来，在人类和传染病之间的持续斗争中，人类曾经在每次疫情爆发时都会感到恐慌和无能为力.据估计，在1918-1920年H1N1流感大流行期间，全世界有400～500万人死亡，死亡率远远高于持续52个月的第一次世界大战期间的850万人死亡[1].近20年来，诸如SARS、EVD、MERS、COVID-19等新出现的传染病频繁在全球肆虐.数学模型已经成为检验传染病传播和控制的重要工具，并且国内外研究学者已经提出了不同的传染病模型，研究传染病的传播规律，为传染病的传播预测和控制做出了巨大的贡献.例如，SI模型[2-3]、SIS模型[4-5]、SIR模型[6-9]、SEIR模型[10-12]等.最近，Lu等[13]研究了一类具有非单调发生率的SIRS传染病模型：

(1)

(2)

其中，τ为恢复者群体的临时免疫期时滞.

1 Hopf分岔的存在性

(3)

显然，如果R0>1，那么(d+μ)(d(d+μ)-bk)<0.因为，方程(3)存在唯一正根.即当R0>1时，模型(2)存在唯一有疾病平衡点E(S*,I*,R*).模型(2)在有疾病平衡点E(S*,I*,R*)处相应的特征方程为

λ3+S2λ2+S1λ+S0+(P2λ2+P1λ+P0)e-λτ=0.

(4)

当τ=0时，方程(4)为

λ3+S02λ2+S01λ+S00=0.

(5)

其中，S00=S0+P0，S01=S1+P1，S02=S2+P2.

显然，如果S02>0且S02S01>S00>0，那么方程(5)所有根均具有负实部.即模型(2)是局部渐近稳定的.

当τ>0时，假设λ=iω(ω>0)为方程(4)的根，那么:

(6)

于是，

ω6+P12ω4+P11ω2+P10=0.

(7)

令ω2=ξ，则方程(7)变为

ξ3+P12ξ2+P11ξ+P10=0.

(8)

根据文献[14]中关于方程(8)根的分布讨论，有下面引理.

(9)

接下来，根据方程(4)有

(10)

因此，

(11)

定理1对于模型(2)，当τ∈[0,τ0)时，模型(2)局部渐近稳定；当τ>τ0时，模型(2)失去稳定性，在τ=τ0Hopf分岔，并在有疾病平衡点E(S*,I*,R*)处产生分岔周期解.

2 分岔周期解的性质

令τ=τ0+ζ，ζ∈.t→(t/τ)并定义连续实数空间C=C([-1,0],3).令X1(t)=S(t)-S*，X2(t)=I(t)-I*，X3(t)=R(t)-R*.则模型(2)可以转化为

(12)

其中，X(t)=(X1(t),X2(t),X3(t))T∈C([-1,0],3)，并且:

Lζ(φ)=(τ0+ζ)(Q1φ(0)+Q2φ(-1))，

(13)

F(ζ,φ)=(τ0+ζ)(F1,F2,0)，

(14)

因此，存在η(θ,ξ)，对于θ∈[-1,0]，有

(15)

对φ∈C，可以选取:

η(θ,ζ)=(τ0+ζ)(Q1δ(θ)+Q2δ(θ+1)).

(16)

对φ∈C([-1,0],R3)，定义:

(17)

且:

(18)

则系统(12)可以转化为

(19)

对φ∈C1([0,1],(R3)*)，定义:

(20)

接下来定义:

(21)

其中，η(θ)=η(θ,0).

根据方程(23)，可以计算得到:

(22)

根据文献[15]中的算法以及计算过程，可以得到下列系数表达式：

其中，

(23)

(24)

(25)

(26)

最后，得到下列系数：

(27)

因此，根据文献[13]中分岔周期解性质的描述，可以得到下列结论.

定理2对于模型(2)在τ0处产生的Hopf分岔，当Υ2>0时，Hopf分岔是超临界的，反之，Hopf分岔是次临界的；当Ξ2>0时，分岔周期解是不稳定的，反之，分岔周期解是稳定的；当Ψ2>0时，分岔周期解是递增的，反之，分岔周期解是递减的.

3 仿真示例

选取b=10，d=0.698 8，k=0.18，β=-0.344，α=0.411，δ=0.8，μ=0.45.模型(2)可以变为

(28)

计算得到R0=2.242 2>1和唯一有疾病平衡点E(11.817 0,1.917 5,0.575 7).进而可以计算得到ω0=2.620 8，τ0=5.399 4.首先，选取τ=5.087 8∈(0,τ0=5.399 4)，根据定理1可知，示例模型(28)局部渐近稳定，仿真效果如图1所示.其次，选取τ=6.682 5>τ0=5.399 4，根据定理1可知，示例模型(28)失去稳定性，并产生Hopf分岔，在E(11.817 0,1.917 5,0.575 7)附近产生一簇分岔周期解，如图2所示.

另外，经过计算得知，C1(0)=-3.005 4+i0.917 7，λ′(τ0)=0.025 9-i0.445 2.根据式(27)可以得到Υ2=116.038 6>0，Ξ2=-6.010 8<0，Ψ2=3.667 9.因此，根据定理(2)可知，示例模型(28)在τ0=5.399 4处产生的Hopf分岔是超临界的，分岔周期解是稳定的且递增的.

4 结语

在文献[13]研究工作的基础上，进一步考虑恢复者群体对疾病的临时期，研究了一类具有非单调发生率的时滞SIRS传染病模型.以恢复者对疾病的临时免疫期时滞为分岔参数，通过讨论模型特征方程根的分布情况，研究了模型局部渐近稳定和产生Hopf分岔的存在性，推导出模型产生Hopf分岔的时滞关键点.进而推导出确定模型在时滞关键点产生Hopf分岔方向，以及分岔周期解稳定性和周期大小的计算公式.研究表明，当时滞的取值足够小时，模型中的易感群体、感染群体和恢复个体数量逐渐趋于平衡点，模型处于稳定状态，此时可以对疾病进行有效的预测和控制.然而，当时滞的取值超过时滞关键点时，模型失去稳定性，模型中的三类群体数量将处于周期震荡，不利于疾病的预测和控制.