选用合适的方法，快速求得数列的通项公式

江露维

数列是高中数学中的重要内容，常呈现的题目有求数列前 n 项的和、求数列的通项公式、求数列的最大（小）项、求数列的某一项等.其中，求数列的通项公式比较常见.此类问题的难度虽不大，但解法灵活，解题的关键在于根据递推式和已知条件，选用合适的方法.本文主要谈一谈求数列通项公式的几种方法.

一、公式法

运用公式法求数列的通项公式，主要是利用等比公式 an =a1+（n -1）d（n ∈ N*）.有时可运用其变形式，如an =dn +a1-d（n ∈ N*）、an = 求数列的通项公式时，只需根据题意和数列的性质，求得数列的首项、公比、公差、项数，即可利用等比数列或等差数列的通项公式求得问题的答案.

例1.已知数列{an}满足 an +1=2an +3×2n ，a1=2，求数列{an}的通项公式.

解：在 an +1=2an +3×2n 的两边同时乘以 ，得 = + ，则 - = ，

当 n =1时，=1，根据等差数列定义可知，数列是以1为首项、以 为公差的等差数列，

由等差数列的通项公式可得：=1+ （n -1），故数列{an}的通项公式为 an = n - ?（?）·2n .

将已知的递推式变形后，可得到 - = ，便可根据等差数列的定义判定为等差数列，其公差为 ，求得该数列的首项，便可利用公式法，根据等差数列的通项公式解题.

二、累加法

若题干给出的递推式形如 an +1=an +f（n），便可采用累加法来求该数列的通项公式.由an +1-an =f（n）（n ≥2）， 可得 a2-a1=f（1），a3-a2=f（2）， … ，an +1-an =f（n），那么（ak +1-ak）=an +1-a1= f（k）， 化简该式即可求得 an +1的表达式，进而求得数列{an}的通项公式.

例2.已知数列{an}满足 an +1=an +2×3n +1，a1=3， 求数列{an}的通项公式.

本题中数列的递推式形如 an + 1 = an + f （n） ，可采用 累加法，分别令 n=1，2，3，…，n-1，然后将这些式子累 加，即可求得数列 {an} 的通项公式.

三、累乘法

若题干中给出的递推式形如 an + 1 = f （n）an ，便可采 用累乘法來求数列的通项公式.由 an + 1 an = f （n）（an ≠ 0） ， 可 得 a2 a1 = f （1）， a3 a2 = f （2），…， an + 1 an = f （n） ，所 以 ∏k = 1 n ak + 1 ak = an + 1 a1 =∏k = 1 n f （k）. 化简该式即可求得 an + 1 的表达式，进 而求得数列 {an} 的通项公式.

例3.已知数列 {an} 满足 an + 1 = 2（n + 1）5n an，a1 = 3，求 数列 {an} 的通项公式.

本题中数列的递推式形如 an + 1 = f （n）an ，采用累乘 法，分别令n=1，2，3，…，n-1，然后将这些式子累乘，即 可求得数列 {an} 的通项公式.

相比较而言，公式法比较常用，且较为简单，适用范 围较广.累乘法和累积法的适用范围较窄，运用这两种方 法解题，需仔细观察和明确递推式的结构特征，将其进 行合理的变形，使其形如 an + 1 = an + f （n）、an + 1 = f （n）an .同 学们在解题时，要根据解题需求和递推式的结构特征， 选用合适的方法，这样才能有效地提升解题的效率.

（作者单位：江西省临川第二中学）