巧用构造法证明线面平行

王鑫

证明线面平行问题经常出现在立体几何试题中，此类问题主要考查线面平行的性质定理和判定定理 的应用.而证明线面平行，关键在于作出合适的辅助 线，构造出一组平行线或平行平面.下面重点谈一谈如 何合理添加辅助线，巧妙构造几何图形，轻松破解证 明线面平行问题.

一、构造三角形的中位线

证明线面平行，通常需运用线面平行的判定定 理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行.那么在证明线面平行时，需找 到一组平行线，使得其中一条直线在平面外，另一条 直线在平面内.若已知一条线段的中点，且平面内或外的一条直线为三角形的底边，则可过三角形的中点作三角形的中位线，那么就可以根据三角形中位线的性质：中位线平行且等于底边的一半，来证明线面平行.

例1.如图 1，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， D，E 分 别是 AB，BB1 的中点，AA1 = AC = CB = 2 2 AB.证明：BC1 ∥ 平面A1CD .

观察该图形，可猜测 BC1 ∥ DF ，而 D 是 AB 的中 点，于是连接 AC1 、DF ，那么 DF 为△ABC 的中位线， 这样便构造出三角形的中位线，利用三角形中位线的性 质和线面平行的判定定理即可证明 BC1 ∥ 平面 A1CD .

二、构造平行四边形

我们知道，平行四边形的对边平行且相等.在证明 线面平行时，可根據图形的特点，找到一组对边平行 且相等的线段，分别将这四点连接，便可构造出平行 四边形，使另一组对边分别为平面内外的一条直线， 即可根据平行四边形的性质和线面平行的判定定理 证明线面平行.

例 2. 如 图 2，在 三 棱 柱 ABC - A1B1C1 中 ，侧 面 BCC1B1 为正方形，平面BCC1B1 ⊥ 平面ABB1A1 ，AB = BC = 2， M，N 分别为 A1B1，AC 的中点.求证：MN ∥ 平面 BCC1B1 .

取 BC 的中点 H ，连接 NH，B1H ，便可根据平行四 边形的性质证明四边形 NHB1M 为平行四边形，这样 就能通过构造出平行四边形，得到平面 BCC1B1 内的 一组平行线 MN、B1H，即可根据线面平行的判定定理 证明结论.

三、构造平行平面

当构造三角形和平行四边形困难时，可以考虑构 造平行平面.若要证明 l ∥ 平面α ，只需构造一个平面 β ∥ 平面α ，且 l ∈ β ，那么根据平行平面的性质，即可 证明 l ∥ 平面α .在构造平行平面 β 时，可在平面 β 内 作一条直线 n ，使其平行于 l .也可直接根据正方体、 长方体、直棱柱的性质构造平行平面.

仍以例2为例.

解答本题，需根据三棱柱 ABC - A1B1C1 的性质，添 加辅助线，构造平面 NMK，使其平行于平面 BCC1B1 ， 就能根据平面平行的性质：若两个平面平行，则在一 个平面内的任一条直线平行于另一个平面.结合线面 平行的判定定理即可证明结论.

由此可见，证明线面平行，需从几何图形中寻找 线线平行、线面平行、面面平行的关系；然后根据三角 形的中位线、平行四边形的性质、面面平行的性质、线 面平行的判定定理来证明.

（作者单位：河北省邢台市第三中学）