两阶段服务博弈模型的复杂动力学行为分析

刘雪薇， 周 伟

(兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070)

近年来，国内外许多学者通过分岔与混沌等非线性动力学的知识来研究经济学模型的动态复杂特性，对企业的经营管理给出了一些启示.文献[1-3]讨论了市场中的竞价问题，利用数值模拟对其产生的动力学现象进行了分析.文献[4]构建了具有消费者剩余的动态双寡头经济学模型，对系统的局部和全局稳定性展开研究.文献[5]对一个投入研发的两阶段动力学模型进行了讨论，借助Matlab数值模拟研究了该模型所产生的复杂动力学行为.文献[6]对合作竞争供应链中的动态古诺博弈进行了分析.文献[7]讨论了2家零售商在发售产品给消费者时，二者之间所引起的竞争问题,通过数值仿真对创建的模型进行了研究，得到了最优决策.文献[8]分析了与回收价格有关的经济学模型，利用非线性动力学知识研究发现，过快的调整速度将会使系统陷入混沌，导致市场混乱.文献[9]建立了一个具有有限理性的古诺双寡头动态模型，利用数值模拟刻画了系统的复杂动态行为变化状况.文献[10]对广告博弈竞争进行了数值仿真研究.文献[11]构建了一条闭环供应链，对其中的产品回收情况进行了建模，借助非线性动力学知识对模型展开研究.文献[12-13]对模型的全局性质、所产生的混沌同步以及间歇性等复杂动力学现象进行了分析.

当代社会能否获得最优质的服务成为消费者购买某一产品的一个重要影响因素，企业为吸引更多顾客也在逐渐加大对服务的投入力度.本文中，笔者参考上述文献，对双寡头市场中的2家企业进行服务努力水平动态博弈竞争做出考虑.在生产同质产品的前提下，建立了一个具有有限理性的两阶段双寡头经济学模型，利用分岔与混沌等非线性动力学知识对该模型的局部及全局稳定性展开讨论分析.

1 模型的建立

考虑双寡头市场中，2家企业i(i=1,2)生产销售同质产品，企业1,2在生产销售过程中分别对产品进行服务投入，由于其投入程度不同，二者将设定各自的出售价格pi.此外，本研究对2家企业产品的生产成本不予考虑.

根据文献[14-15]的研究结果，以及加入服务努力水平的影响，假设企业i的逆需求函数为

pi=a-b(qi+qj)+si,i,j=1,2，i≠j.

(1)

由2家企业的利润函数分别对其销量求一阶偏导数，可以得到企业i关于产量qi的边际利润函数

(2)

(3)

为了更好地分析服务对企业之间竞争行为的影响，将(3)代入(1)，可以得到企业1,2关于服务努力水平的利润函数

(4)

通过(4)对各自的服务努力水平求一阶偏导数，得到2家企业分别关于其服务努力水平的边际利润函数

(5)

实际上，2家企业并不可能完全掌握市场信息进而做出完美预测.因此，假设企业1,2都是有限理性的.于是，引入梯度调整机制[17]，具体来说，即t+1时刻的服务努力水平由t时刻的边际利润决定.当∂πi/∂si⟩0时，企业在t+1时刻提高其服务努力水平；当∂πi/∂si=0时，企业在t+1时刻使其服务努力水平保持稳定不变；而当∂πi/∂si⟨0时，企业在t+1时刻降低其服务努力水平.由此，便可得到如下形式的动态调整系统：

(6)

其中αi⟩0为企业i的调整速度.将(5)代入(6)，便可得到该动态调整系统的具体表达形式

(7)

2 平衡点的稳定性分析

通过令s1(t+1)=s1(t)，s2(t+1)=s2(t)，可得到系统(7)的4个平衡点，即

可以发现，系统有3个边界均衡点E0，E1，E2和唯一的内部Nash均衡点E*.此外，这4个均衡点还代表了2家企业所采取的不同策略.为了保证系统的经济学意义，系统(7)的所有平衡点应该是非负的，结合上述讨论可得，系统的参数要满足条件

S={(a,b,η)|a⟩0,b⟩0,η⟩0,9bη-8⟩0,9bη-4⟩0}，

也就是

由于平衡点的稳定性可以通过该点Jacobian矩阵的特征值大小来分析，于是首先求出系统(7)的Jacobian矩阵

并且可以得到以下命题.

命题1边界均衡点E0是不稳定的结点.

证系统(7)在E0处的Jacobian矩阵为

由上文可知，αi⟩0，a⟩0，b⟩0，所以，λi⟩1，|λi|⟩1.因此，边界均衡点E0是不稳定结点.

E0=(0,0)表示2家企业都没有服务投入.而由于服务可以帮助企业增加利润，并使企业在市场上更具竞争力，所以企业有必要进行服务投入.故接下来，讨论E1和E2的稳定性.

命题2对于边界均衡点E1，有以下3种情况：

证系统(7)在E1处的Jacobian矩阵为

求得其特征值

为了讨论边界均衡点E1的稳定性，需要对参数的范围进行分类讨论，详细结果如下.

综上所述，均衡点E1的稳定性即为命题2中所列的3种情况.

命题3边界均衡点E2的稳定性与命题2中均衡点E1的稳定性情况相似.

证系统(7)在E2处的Jacobian矩阵为

求得其特征值

由于边界均衡点E1，E2关于坐标轴对称，因此，对均衡点E2稳定性的讨论与命题2中对均衡点E1稳定性的讨论结果极其相似，故不再多作证明.

在边界均衡点上，至少有一家企业的服务努力水平为0，这可能给企业造成损失，长期亏损甚至可能使企业破产退出市场.因此，边界均衡点是波动的，不能为实际经营提供参考.鉴于此，不考虑边界均衡点，而是进一步分析内部均衡点的稳定性，即Nash均衡点.

由于Nash均衡点E*的特征值较为复杂，利用其特征值大小不好判断出它的稳定性，因此需要借助Jury判据来分析其局部稳定性情况.

命题4系统在满足以下条件时，Nash均衡点E*具有局部稳定性.

证系统在E*处的Jacobian矩阵为

由此可得该矩阵的迹和行列式

(8)

(9)

根据Jury判据

(10)

将(8)与(9)代入(10)并化简，可得

从而命题4得证.

Nash均衡点E*表示2家企业都进行了服务投入.显然，这一点代表着更重要的经济意义.

3 数值模拟

主要借助1-D分岔图及其相应的最大Lyapunov指数谱和2-D分岔图来研究系统通向混沌的路径.通过数值模拟刻画吸引盆与吸引子的演化状态，对系统进行全局动力学分析.

选取初值s1=0.595 7，s2=0.947 2，固定参数α2=0.997 8，a=17.632 1，b=4.027 8，η=0.487 0.图1给出了2家企业与企业1的调整速度α1相关的1-D分岔图及其对应的最大Lyapunov指数谱.图1a中，s1蓝色分岔曲线表示企业1的服务努力水平，s2红色分岔曲线表示企业2的服务努力水平.经分析观察可得，系统(7)在该组参数下发生了较为简单的flip分岔.当α1⟨1.056时，系统保持稳定；当α1≈1.414时，发生第1次flip分岔，随后进入稳定的2周期循环；α1≈1.490时，发生第2次flip分岔，并进入4周期循环；α1≈1.511时，发生第3次flip分岔，进入8周期循环，之后陷入混沌.图1b是图1a相应的最大Lyapunov指数图.当最大Lyapunov指数小于0时，系统处于稳定状态；最大Lyapunov指数等于0表示系统刚好处于分岔节点；而最大Lyapunov指数大于0意味着系统进入混沌.可以观察到，图1b中，8周期循环后，最大Lyapunov指数在小范围内来回振荡，说明系统在稳定与混沌间来回切换，但只是小范围情况.对比分析图1a，b可观察到，2幅图的分岔点十分吻合.

图1 α2=0.997 8时,系统(7)关于α1的1-D分岔图及其相应的最大Lyapunov指数谱

图2给出了系统(7)在固定参数下的2-D分岔图、局部放大图及其产生的吸引子.可见其吸引子产生共存现象.选取初值s1=0.309 1，s2=0.263 8，固定参数a=1.367 4，b=1.761 1，η=1.241 7，得到如图2a所示的双参数分岔图，其中不同颜色代表不同的周期，且由1周期开始.经研究发现，系统从稳定走向混沌的路径主要是通过flip分岔.具体来说，随着α1,α2的增大，参数(α1,α2)首先穿越棕色区域到达绿色区域，使得系统发生2周期分岔；接下来，由绿色区域穿越到黄色区域，发生4周期分岔；最终，从黄色区域进入黑色区域，陷入混沌.还能看到，图2a中间部分呈现出类似“皇冠”的形状.将“皇冠”部分局部放大，则得到图2b.仔细观察可以清楚地看到，“皇冠”内部含有些许杂点，而这些杂点是由于吸引子的共存所产生的.在杂点区域选取α1=α2=7.876 8，其他参数固定不变，数值模拟出系统在该组参数下的吸引子及其吸引盆，结果如图2c所示.可以发现，图2c中确实有2组吸引子共存，一组是关于对角线对称的红色4周期点，另一组是位于对角线上的1片黑色弱吸引子.由此即可说明吸引子共存现象的产生是杂点存在的理由.

图2 系统(7)在(α1,α2)平面的双参数分岔图、局部放大结果及其产生的吸引子

令2家企业的调整速度相等，即α1=α2=α.图3给出了系统(7)的吸引子与其吸引盆的演化过程以及全局分岔的发生过程.选取初值s1=0.780 2，s2=0.081 1，固定参数a=3.303 2，b=1.105 5，η=1.876 9.图3a中，α=2.059 96时，2组吸引子共存，即位于黄色区域的红色12周期点和位于对角线上浅蓝区域的Milnor吸引子,其中黄色与浅蓝区域分别为其对应的吸引域.另外，图3a中的深蓝区域表示逃逸域.随着α增加至2.066 85，红色12周期点演化为12周期不变环，关于对角线对称分布在4部分黄色吸引域内，且每一部分都含有3个不变环，如图3b所示.而当α=2.071 6时，各个部分的不变环相互融合在一起，形成4片无规律的混沌吸引子，如图3c所示.仔细观察图3c可以发现，4片红色混沌吸引子与其黄色的吸引域边界发生接触.这种吸引子与其吸引盆边界相接触的情况，是全局分岔的一种类型，也称之为“边界危机”.当α增大到2.072 2，如图3d所示，混沌吸引子及其吸引盆在经过全局分岔后发生破裂，共存消失，只留下对角线上的Milnor吸引子.能够观察到，虽然吸引子和吸引盆被摧毁，但仍能看到它们的残留部分，破裂后的混沌吸引子形成“魂魄”依存于原来的吸引域，图3d并不是完全纯净的浅蓝吸引域.

a.α=2.059 96； b.α=2.066 85； c.α=2.071 6； d.α=2.072 2.

选取初值s1=0.396 5，s2=0.061 6，固定参数α2=2.344 1，a=5.183 6，b=2.077 6，η=1.67，图4数值模拟了系统(7)在不同调整速度下吸引子的演化状态.当α1=1.856 8时，如图4a所示，存在4周期点.而随着α1增大至2.012 8，图4a中的4周期点演化为图4b中的8周期点，系统(7)发生了倍周期分岔.此时，图4a，b都表示系统处于稳定状态.当α1=2.131 8时，系统开始处于不稳定状态，8周期点演化为8片内部结构看起来较为简单的混沌吸引子，见图4c.随着α1进一步增加至2.216 8，8片混沌吸引子两两融合，变为4片结构较为复杂的混沌吸引子，如图4d所示.当α1=2.266 8时，混沌吸引子的内部结构不再清晰，变得更为复杂，其面积也随着α1的增大而增大，如图4e所示.当α1=2.326 8时，见图4f，4片混沌吸引子两两相互融合，演化为2片更大的混沌吸引子，此时，内部结构同样复杂且不清晰.分析图4可以发现，随着α1的增大，系统(7)由刚开始的稳定状态转向混沌状态，暗示着市场由稳定陷入无序混乱的情形.这表明，企业需要适当控制调整速度，适时调整策略，避免自身陷入混乱.

a.α1=1.856 8； b.α1=2.012 8； c.α1=2.131 8； d.α1=2.216 8； e.α1=2.266 8； f.α1=2.326 8.

4 结 论

构建了一个具有有限理性的两阶段动态服务双寡头经济学模型.首先得到系统参数的取值范围，并对它的4个平衡点进行稳定性分析，利用边界均衡点Jacobian矩阵的特征值来判断3个边界均衡点的类型及稳定性，利用Jury判据得到系统唯一Nash均衡点的局部稳定性条件.随后，通过数值模拟讨论分析系统出现的动态复杂行为.利用1-D分岔图和最大Lyapunov指数研究调整速度的变化对系统产生的影响，结果发现，随着调整速度的增大，系统会由稳定状态陷入混沌.此外，利用双参数分岔图研究系统通向混沌的路径时发现，系统通过flip分岔的方式陷入混沌.由数值模拟验证了吸引子共存现象的产生是2-D分岔图中杂点存在的理由.最后，借助吸引盆和吸引子的演化状态，对系统进行全局动力学分析发现，随着调整速度的增大，吸引子与其吸引盆接触发生全局分岔.上述研究结果可以说明，参数的微小改变可以引起市场的巨大波动，甚至导致市场陷入无序混乱的状态.由此可以给企业提供一定的经营和管理启示，企业应当适时调整策略，避免自身陷入混乱.