注重技巧 快速求解

刘顿

分式的化简求值是中考常考题型. 为了帮助同学们快速、准确地作答，现介绍四种常用的方法技巧.

一、特殊值法

例1 （2021·江苏·苏州）已知两个不等于0的实数a，b满足a + b = 0，则[ba] + [ab]等于（ ）.

A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2

解析：由两个不等于0的實数a，b满足a + b = 0，可知a，b互为相反数.

取特殊值，令a = 1，b = - 1，则[ba] + [ab] = [-11] + [1-1] = - 2.

故选A.

学法指导：巧取条件成立情况下的特殊值，代入求值式计算，快速、简洁、明了，这种方法为求解此类填空题和选择题的首选方法.

二、整体法

例2 （2021·黑龙江·绥化）当x = [2021] + 3时，代数式[x+3x2-3x-x-1x2-6x+9] ÷ [x-9x]的值是 .

解析：根据题意，可先化简求值式，

[x+3x2-3x-x-1x2-6x+9] ÷ [x-9x] = [x+3xx-3-x-1x-32]·[xx-9]

= [x2-9xx-32-x2-xxx-32]·[xx-9] = [x-9xx-32]·[xx-9] = [1x-32].

再将x = [2021] + 3变形为x - 3 = [2021]，两边平方得（ x - 3）2 = 2021，

则[x+3x2-3x-x-1x2-6x+9] ÷ [x-9x] =  [12021].

故应填[12021].

学法指导：本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、灵活运用整体思维是解本题的关键.

三、乘法公式法

例3 （2021·广东）若 x + [1x] = [136]，且0  < x <  1，则x2 - [1x2] =_____.

解析：由x + [1x] = [136]，利用完全平方公式可得[x-1x2] =  [x+1x2] - 4x·[1x] = [2536]，

∵0  < x <  1，∴x < [1x]，∴x - [1x] = - [56]，

∴x2 - [1x2] = [x+1x] [x-1x] = [136] × [-56] = - [6536].

故填 - [6536].

学法指导：灵活、准确地运用完全平方公式及平方差公式是解本题的关键，同时还要注意x的取值范围，避免出现错误.

四、归一法

例4 （2021·山东·菏泽）先化简，再求值：1 + [m-nm-2n] ÷ [n2-m2m2-4mn+4n2]，其中m，n满足[m3] = - [n2].

解析：运用分式的混合运算法则化简，

1 + [m-nm-2n] ÷ [n2-m2m2-4mn+4n2] = 1 + [m-nm-2n]·[m-2n2-m+nm-n]

= 1 - [m-2nm+n] = [m+n-m+2nm+n] = [3nm+n]，

∵m，n满足[m3] = - [n2]，∴令[m3] = - [n2] = k ≠ 0，

∴m = 3k，n = - 2k，

∴1 + [m-nm-2n] ÷ [n2-m2m2-4mn+4n2] = [3×-2k3k-2k] = [-6kk] = - 6.

学法指导：在运用分式的混合运算法则化简后，为了求解的方便，将m，n化为一个字母来表示，进而代入并约分求值.