巧妙构造函数模型，快速解答不等式问题

李慧

构造函数法是解答不等式问题的常用方法，而如何巧妙构造合适的函数模型，是解题的关键.在运用构造函数法解答不等式问题时，往往要将不等式进行适当的变形，然后结合不等式的结构特点，构造函数模型，可构造一个函数，也可构造两个函数.下面结合实例来谈一谈如何巧妙构造函数模型，求解不等式问题.

一、构造f（x）？g（x）型的函数

对于一些含有积式的不等式问题，我们通常可根据导数的运算法則[f（x）g（x）]′=f′（x）g（x）+f（x）g′（x），来构造出函数F（x）=f（x）g（x），然后通过研究导函数的性质，判断出函数的单调性，求得函数的最值，进而证明不等式成立.

例1.（1）已知f（x），g（x）均是定义在R上的函数，且f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），当x<0时，f′（x）g（x）+f（x）？ g′（x）>0，且g（-1）=0，则不等式f（x）g（x）<0的解集是_______.

（2）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（-1）=0，当x<0时，xf′（x）+f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是______.

解：（1）由f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），可知f（x），g（x）分别为奇函数、偶函数.

由此可见，在解不等式问题时，想要构造出合适的函数模型，需从不等式和已知关系式出发，认真分析，寻找相关“蛛丝马迹”，根据导数的运算法则将代数式进行变形、配凑，以便为求得不等式的解集或参数的取值范围搭建“桥梁”.运用构造函数法解答不等式的目的是，利用函数单调性的定义、导函数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，求得函数的最值，从而建立使不等式成立的新不等式.

（作者单位：江苏省昆山陆家高级中学）