求不等式恒成立问题中参数的取值范围的三个“妙招”

刘国良

求不等式恒成立问题中参数的取值范围问题一般较为复杂，这类问题往往与函数、数列、三角函数、解析几何等知识相结合.通常情况下，含参不等式较为复杂，如含有多个基本函数、绝对值、根式、分式等，因此求不等式恒成立问题中参数的取值范围，需合理变形不等式，运用转化思想，将其转化为函数问题、方程问题、更为简单的不等式问题来求解.那么如何将问题合理转化，求得参数的取值范围呢？有如下三个“妙招”.

一、通过作差构造新函数

对于形如f（x）≤g（x）、f（x）≥g（x）的不等式恒成立问题，通常需将不等式左右的式子作差，并移项；然后构造函数G（x）=f（x）-g（x），将问题转化为使G（x）≥0或G（x）≤0恒成立；再根据函数单调性的定义、导函数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，并求得函数的最值，只需使G（x）max≤0或G（x）min≥0，即可确保不等式恒成立；最后解不等式，求出参数的取值范围.

例1.若不等式（x+1）1n（x+1）

解：根据题设可设f（x）=（x+1）1n（x+1）-ax2-2ax，

于是问题转化为使f（x）<0在（0，+∞）上恒成立，

则f′（x）=1n（x+1）-2ax-2a+1，x>0，

（ⅰ）当a≤0时，f′（x）=1n（x+1）+1-2a（x+1）>0，

则f（x）在（0，+∞）上是增函数，

所以f（x）>f（0）=0在（0，+∞）上恒成立，与已知条件不相符，

所以a≤0不合题意，舍去.

故φ（x）<φ（0）=1-2a≤0，即f′（x）<0在x∈（0，+∞）上成立，则f（x）在x∈（0，+∞）上是减函数，

故f（x）