等腰取等三角形几何不等式研究的若干新结果

刘保乾

（西藏自治区组织编制信息管理中心，西藏 拉萨 850000）

0 引言

当三角形为等腰三角形时取等号的不等式简称为等腰取等不等式.说到等腰取等不等式，首先想到的就是Bottema基本不等式[1]

除不等式（1）之外，是否还有其它等腰三角形时取等号的不等式呢？

1995年，杨学枝提出并证明了[2]：在ΔABC中，有关于中线的不等式

不等式（2）当且仅当三角形为等腰三角形时取等号.注意不等式（2）等价于不等式[3]

上述不等式虽然是等腰取等的，但它们有一个共同的特点就是，当给不等式两边直接平方并分解因式时会出现因式因而我们认为它们是平凡的等腰取等不等式.

真正的不平凡的等腰取等不等式出现于文献[4]中.文献[4]中给出了关于三角形中线的不等式

不等式（4）当且仅当三角形为等腰三角形时取等号.像（4）式这种不等式以根式形式出现，取等号条件不能通过简单的变形或分解因式得到，因而它们是不平凡的.从此以后，等腰取等不等式越来越多地出现在人们的视野中（参阅文献[5-8]）.本文介绍笔者近几年在等腰取等不等式研究方面的若干新成果.

以下约定：ΔABC三边为 a，b，c，半周为 s，角平分线、中线、高分别为 wa，wb，wc、ma，mb，mc和ha，hb，hc，内切圆和外接圆半径分别为r和R.用∑和∏分别表示循环和与循环积.

1 等腰取等量及其运算性质

在ΔABC中，如果一个对称表达式当ΔABC为等腰三角形时取值为零或为1，则称这个表达式是等腰取等量.在等腰取等量中，有两个特殊的量需要特别注意，一是加强余项，它是指非负的等腰取等量，当三角形为等腰三角形时其取值为零.显然等腰取等不等式的式差（不等式两边的差）构成的量就是一个加强余项.二是加强因子，它是指不小于1的等腰取等量，当三角形为等腰三角形时其取值为1.显然等腰取等不等式的式商（即不等式两边相除）构成一个加强因子.由于当三角形为等腰三角形时加强余项取值为零，故给等腰取等不等式加上或者减去一个加强余项时不等式取等号条件不会变化，利用这个特点可以加强等腰取等不等式.同样，当三角形为等腰三角形时加强因子取值为1，故给等腰取等不等式某项乘上一个加强因子时不等式取等号条件也不会发生变化.不论是加强余项还是加强因子，它们在加强等腰取等不等式或者使其反向中扮演着重要角色，在等腰取等不等式研究中有着特殊的地位和作用.

等腰取等量对加、减、乘、除运算是封闭的，即任何两个等腰取等量对加、减、乘、除运算产生的结果仍是等腰取等量.根据这个性质就可以对等腰取等不等式进行加强，并发现新的等腰取等不等式.

结果发现了反向的等腰取等不等式

试证明不等式（5）.

由于等腰取等量的这些性质，在对等腰取等不等式进行放缩的过程中始终用等腰取等量，这样能够保证所得结果永远为等腰取等不等式，而不至于退化为普通的三角形几何不等式.

2 尹华焱模型及其新探索

尹华焱模型首次出现于文献[6]中，其内容是：设Q是关于ΔABC线元或角元的零次几何量，且当b＝c时，Qa＝1，Qb＝Qc，则可构造出一个等腰三角形时取等号的不等式

至于（6）式是否成立，要视Q所取表达式的具体情况通过验证来确定.文献[6]中模型（6）提出后，尹华焱用其构造了大量等腰三角形时取等号的不等式，杨学枝、褚小光证明了其中的若干不等式，这些结果收入到文献[6]中.下面介绍笔者研究模型（6）的一些收获和体会.

从模型（6）的要求来看，只要能够得到等腰三角形时取等号的局部对称不等式，就可以得到相应的Q表达式，而等腰三角形时取等号的局部对称不等式是很多的，这样就可以得到发现等腰取等不等式的比较实用的途径.

2.1 模型（6）的内和外

不仅可以通过模型（6）直接构造等腰取等不等式，其它一些看似与（6）式相差甚远的等腰取等不等式也有可能化为（6）的形式.

例3由模型（6）可验证发现等腰取等不等式

容易证明不等式（7）等价于不等式（2）和（3），这说明尹华焱模型包含了这两个有名的不等式.由此可见模型（6）的涵义是相当深刻和广泛的.

这里出现了一个问题，就是模型（6）的内和外，即可转化为模型（6）的等腰取等不等式与不可转化为模型（6）的等腰取等不等式.文献[8]中笔者提出并证明了若干模型（6）以外的等腰取等不等式.笔者认为，固然利用模型（6）进一步研究等腰取等不等式很有意义，但发现新的模型（6）以外的结果更有价值和意义.

2.2 模型（6）的常规使用

即严格地按照模型（6）的条件和要求构造等腰取等不等式.

例4设三角形过Gergonne点的Ceva线为ga，gb，gc，则由模型（6）可发现等腰取等的不等式

例5由陈计证明的不等式2a2＋bc≥4mbmc（参阅文献[9]）再结合模型（6），可得等腰取等的不等式

逐次增大指数t的值，验证所得不等式是否成立.当t＝2时得反向不等式

不等式（10）是一个等腰取等的不等式，当然还需要给出证明.

2.3 不等式不成立时可进行调整，使其成立

如果按照模型（6）的要求构造的不等式不成立，此时要进行调整使其成立.注意调整时所用几何量必须是等腰取等量，否则会改变取等号的条件，我们称此为“取等号条件的封闭性”.

例6在ΔABC中，熟知有不等式

经过验证知，这个不等式不成立，且反向也不成立.怎么办？可以应用文献[10]的调整思想进行调整.事实上，用不等式（2）对上面这个不等式进行放缩（相当于乘了加强因子），可得不等式

不等式（12）是等腰取等不等式，当然还需要给出证明.

2.4 利用模型（6）发现非等腰取等的普通不等式

设P是关于ΔABC线元或角元的零次几何量，且当ΔABC为正三角形时P的取值为1（称这个值为规范值），则模型（6）可变为

此时不等式（13）不再是等腰取等不等式了，而是一个普通的不等式.

这个不等式成立，且可加强为

但这个不等式不成立.经过调整得（猜想）

裸角不等式（15）十分优美.

2.5 向多元不等式进行推广

模型（6）还可向多元不等式进行推广.设Q是一个四元表达式，且Q的规范值为1，则可构造出不等式

不等式（16）是否成立要进行验证，如果不成立，可以调整使其成立.

例 9 设 x1，x2，x3，x4＞0，规范值为1，故由（16）可得待验不等式

这个不等式成立，且可加强为

模型（6）还可向四面体进行推广，限于篇幅，这里不进一步讨论了.

3 验证等腰取等不等式最佳系数的一种方法

确定三角形几何不等式最佳系数时往往需借助于一些软件，但对不少问题机器解决不了，对于等腰取等不等式遇到的困难则更多.经过探讨，笔者得到了一种验证等腰取等不等式最佳系数的方法，这个方法的步骤是：

b.对剩下的含有待定参数的式子用正三角形的数据验证求值，即把三角形中的元素用下面的集合代换

然后令表达式为零，求得参数的值.

c.对所得最佳值进行验证.

例10在ΔABC中，求最佳k，使不等式

成立.

解 不等式（19）等价于

由上述推证知，要证（20）式，只需证

即可，而这容易证明.不等式（20）的反向不等式是

例11在ΔABC中，求最佳k，使不等式

成立.

解 不等式（22）等价于

作角代换A→ －2A，B→ －2B，C→ －2C，得锐角三角形中的等价不等式

将不等式（23）两边同时平方（注意在证明不等式时这一步需要讨论），约去因子后，含有参数k的剩余式是

不等式（24）用Bottema软件[11]验证成立.注意，为了证明不等式（24），除过证明外，还需要结合一些条件，例如对（23）式两边同时平方时讨论的情况，这预示着不等式（24）的证明是比较困难的.用类似的方法可以验证发现不等式上述不等式尤其是不等式（25）和（26），如果用其它软件或方法来确定不等式的最佳系数是很困难的，甚至是不可能的.

4 与等腰取等不等式不分强弱的不等式

一直以来，从经验上人们总认为等腰取等不等式是最强的，可以推出其它相应的不等式.但下面这些不等式的出现改变了这个看法，这就是与等腰取等不等式不分强弱的不等式.

例12由排序不等式易证，在ΔABC中，有不等式

又熟知有等腰取等的不等式（参阅文献[4]）

容易验证不等式（29）与不等式（30）不分强弱.

例13容易证明不等式

不等式（31）不能由等腰取等不等式（4）推出.

5 综合应用举例

容易证明不等式（32）成立.事实上，如果我们把尹华焱模型写为

的形式时，可得如下加强模型

或者

按照这个思路，可得不等式[5]

优美的加强式

不等式链（34）是等腰取等不等式.也可发现不等式（4）的加强式

例15在ΔABC中，有等腰取等的三角形规范几何量不等式

当xa，xb，xc取为中线时，得到的不等式是

对不等式（37）按照不等式（30）进行调整，得到优美的反向不等式

不等式（38）是等腰取等不等式，试证明（38）式.

注意，当（xa，xb，xc）→（ha，hb，hc）时，不等式（36）变为恒等式.当 xa，xb，xc取为角平分线、类似中线等线元时限于篇幅这里不再讨论.

例16根据模型（6），写出待验式

虽然这个待验式是等腰取等的，但并不成立.不成立没有关系，我们可以调整使其成立.用（2）式对待验式进行调整得不等式

不等式（40）是等腰取等不等式，试证明不等式（40）.同理，用模型（6）可得待验式

用（2）式调整得

不等式（41）是等腰取等不等式，试证明不等式（41）.