巧借乘法算理 理解分配本质

屈婷 袁凌云

“乘法分配律”是运算律教学中最有挑战性的内容。乘法分配律内容之后，人教版教材练习七安排了一组多位数乘两位数的练习，并明确提出用乘法分配律计算。做这组题时，学生的错误率往往较高，究其原因，是学生对乘法分配律的本质认识不到位。如何引导学生从知识的源头出发，找到解决问题的突破口？

一、整合学习经验，建立知识联系

对于乘法分配律，学生在之前的学习中已经有广泛的接触——多位数乘法的计算过程就是乘法分配律的直接体现。教师引导学生回顾多位数乘法计算的算理与算法，让他们从运算定律的角度对计算过程进行剖析与审视，沟通运算方法与乘法分配律之间的联系。

新课伊始，笔者呈现“12×3”的口算过程图（图略），并借助口算橫式引导学生思考：计算12×3时，我们是怎样口算的？12为什么没有参与计算？学生回答：12其实参与了计算，只是12拆分成了10与2的和。接着，笔者出示“14×12”的笔算过程图（如下图），并提问：14×12竖式的每一部分分别表示什么意思？计算过程中是怎样拆数的？

学生通过观察发现：笔算两位数乘两位数可以将其中一个两位数拆成整十数和一位数，分别与另一个乘数相乘，再把两部分积相加。笔者进一步追问：笔算145×12时，可以将哪个乘数拆开？如果不列竖式，你能写出拆数过程吗？通过多次联系竖式计算过程进行拆数，学生体会到：多位数乘两位数的笔算方法实质上都是利用乘法分配律将某个数拆开，先求积，再求和。

二、关注算式特点，明晰简算本质

两个数相乘，如果不符合乘法分配律的结构特点，在形式上无法直接套用，那么需将其中一个乘数进行拆分，才能转化成基本题。“如何拆分、为什么要这样拆分”是解题的关键。教学中，教师要引导学生根据算式的数据特点以及数与数之间的关系对数进行合理拆分，并思考拆数的目的，明晰简算的本质。

教学笔算“103×12”时，笔者问学生：可以将哪个乘数拆开与另一个乘数相乘？学生想到了如下方法：①103×12=103×（10+2）=103×10+103×2;②103×12=（100+3）×12=100×12+3×12。后续，笔者这样教学。

师：不借助笔算，只用口算的方法，哪种拆分方法更容易算出结果？

生1：第②种方法更好，因为这样拆分后两部分的积都能口算，1200与36的和也能口算。

师：看来，拆数也是一门学问。你认为“125×81”可以怎样拆？

生2：125×81=（100+25）×81=100×81+25×81

生3：125×81=125×（80+1）=125×80+125×1

师：以上两种拆数方法，哪种更容易口算出得数？

生4：将81拆开更好算，125与80这两个数比较特殊，它们的积是10000，再加125，可以直接写出得数。

师：98×12呢？你打算拆哪个数？怎样拆？

生5：98×12=（90+8）×12=90×12+8×12

生6：98×12=98×（2+10）=98×2+98×10

生7：我发现无论用哪种拆分方法，都不简便。

师：前面两道题，我们是利用数的位值对一个数进行拆分，比如将103拆成100与3的和，将81拆成80与1的和。乘法分配律的模型既有加法，也有减法。如果想利用乘法对减法的分配律让计算变得简便，可以怎样拆？

生8：98×12=（100-2）×12=100×12-2×12

生9：98×12=（98+2）×12=100×12

师：以上两种方法都对吗？

生10：第二种方法不对，这种拆法把98×12的结果算大了，拆成的数必须与原来的数大小相等。

师：98除了是100与2的差，也是99与1的差，为什么不把它拆成99与1的差？

生11：这样拆不好计算。把98拆成100与2的差，是因为100乘12、2乘12都可以口算，再将这两个差相减也很好算。

经历以上过程，学生对“运用乘法分配律计算多位数乘两位数”简算的目的和方法有了更清晰的认识，“凑整”的思想也在不经意间渗透。

三、巧辨乘法“两律”，掌握运算技巧

乘法分配律和乘法结合律在表现形式上比较接近，当题目没有明确要求时，学生即使能将数进行合理拆分，也容易被“两律”的“形同表象”所蒙蔽，产生混淆。教学中，教师可设计一些对比题让学生辨析，进而掌握运算技巧，强化简算的意识。在练习环节，笔者设置了两组对比题。

1.先用乘法分配律计算下面各题，再思考以下问题。

①250×14       ②24×205       ③24×198               （1）与103×12、125×81、98×12的拆数方法相比，以上哪道题目的拆数方法与103×12的方法类似？

（2）你能找到与125×81、98×12类似的题目吗？

2.④20×55    ⑤125×72     ⑥125×73

（1）上面这些题目可以用乘法分配律进行简便计算吗？

（2）A、B两名学生用以下方法来计算题④，你认为对吗？用乘法分配律和用乘法结合律进行拆分有什么不同？

A：20×55=20×（11×5）=20×11+20×5

B：20×55=20×（11×5）=20×11×5

（3）⑤、⑥两题能用乘法结合律使计算简便吗？

第1题，从学生的答题情况来看，大部分学生能根据算式的特点对算式进行灵活拆分，并利用乘法分配律算出结果。对于问题（1）和问题（2），学生能通过类比总结规律：当乘法算式中有一个乘数比整百数大一点或小一点时，可将这个乘数拆成整百数与一位数的和（或差）;当算式中有25、125这些特殊数时，要想办法将另一个乘数拆成4（或40）、8（或80）与某个数的和，从而使计算变得简便。

第2题，对于问题（1），学生通过交流得出，题④可以使用乘法分配律进行简便计算，题⑤、题⑥则不行，从而体会到并不是所有的多位数乘两位数都能使用乘法分配律进行简便计算。对于问题（2），学生通过分析发现：乘法结合律和乘法分配律可以适用于同一道题，只是拆数方法不同，拆成两个数的“积”的形式与“和”的形式虽然看似很像，但实质不同，拆成“积”的形式只能“结合”，不能“分配”。教师通过对“20×55”的分析，使问题（3）中“125×72”的简算方法迎刃而解。还有个别会变通的学生将“125×73”变为“125×72+125×1”，借助上一题的计算结果，使计算变得更加简便。

（作者单位：宜城市窑湾小学）

责任编辑  张敏