均质细直杆在光滑半圆槽内运动的研究

罗 正

(北京理工大学精工书院 北京 102488)

1 提出问题

小球在光滑半圆槽内的运动是讲解动量守恒时常用的模型.如果将小球换成均质细直杆，那么对于均质细直杆的运动就无法用质点运动学的知识进行求解.均质细直杆是刚体，刚体运动因具有角速度而有别于质点运动，所以需要应用刚体运动学和动力学的相关知识进行推导.本文将以如下题目为例，通过两种方法求解均质细直杆在光滑半圆槽内的运动.

在图1所示的竖直平面内，质量m1=3m，半径为r的光滑半圆槽放置在光滑水平面上，其中放置有质量m2=m，长度为r的均质细直杆AB，初始时刻A端位于半圆槽左顶点处.系统无初速度释放，求杆AB发生30°转角的瞬间，杆AB的角速度.

图1 半圆槽-均质细杆系统

2 用动量守恒和机械能守恒求解杆AB的角速度

如图2所示，半圆槽沿水平方向做直线运动，杆AB的质心C相对于半圆槽以动点O为圆心做圆周运动.

图2 速度分析

设质心C的速度为vc，半圆槽速度为v0，质心C相对于半圆槽的速度为vr.以半圆槽为参考系，选取质心C为动点，根据伽利略速度变换有

vc=v0+vr

(1)

m1v1x+m2vcx=0

有

(2)

整理得

(3)

在系统运动的过程中，只有杆AB的重力做功，所以系统的机械能守恒.初始时刻系统的动能T0=0，末了时刻系统的动能为

(4)

设半圆槽最低点，也即末了时刻杆AB上B点所在的位置为零势能点.则初始时刻系统的势能

末了时刻系统的势能

根据机械能守恒定律

T0+V0=T1+V1

有

(5)

根据系统末了时刻的运动状态，可知杆AB沿逆时针方向转动，角速度方向垂直纸面向外.化简式(5)，角速度大小为

(6)

3 用瞬时法求解杆AB的角速度

上一节给出了用动量守恒和机械能守恒求解杆AB角速度的方法.本节将从系统运动瞬时状态的角度切入，给出此题的另一种解法.

(7)

其中

ω和α分别为杆AB的角速度和角加速度.杆AB的转动角度为φ时，假定各加速度方向如图3所示.

图3 加速度分析

在系统运动的过程中，半圆槽和杆AB组成的系统在水平方向不受外力，根据质心运动定理可知

(8)

整理得

(9)

(10)

杆AB的重力对动点O产生的力矩MO为

(11)

对杆AB使用相对动点O的动量矩定理

在垂直纸面方向上投影得到标量方程

(12)

(13)

(14)

将式(14)代入式(13)，整理得

(15)

考察式(15)发现，等式左侧可以合并为

即

(16)

(17)

4 基于MATLAB的数值模拟

图5 ω-t曲线

(18)

图6 运动周期随质量比的变化曲线

5 结束语

本文通过两种方法解出了例题中杆AB的角速度，利用MATLAB数值模拟清晰直观地分析了系统的周期性运动，又讨论了半圆槽与均质细直杆的质量比对系统运动周期的影响，给出了均质细直杆在光滑半圆槽内运动的综合性研究.