能实现“磁聚焦”的匀强磁场最小面积的探讨

李 惠

(株洲市第二中学 湖南 株洲 412007)

1 建模

1.1 提出问题

图1 提出问题的情境配图

1.2 解决问题

因为磁场分布区域未知，粒子可以在匀强磁场中做一小段匀速圆周运动，再离开磁场做一小段匀速直线运动，再进入磁场中做匀速圆周运动……最后从CD边沿+x轴方向射出磁场；粒子也可以一直在匀强磁场中，待到速度方向为+x轴方向时离开磁场.粒子入射的初速度方向不同，进入磁场的时刻不同，进出磁场的次数也无限制，所以磁场的区域会有很多种不同的分布形式，我们在寻找磁场的几何边界方程的过程中，尤其是磁场区域有洞的情形，会出现超越方程，只能采用近似数值解.笔者在下文中仅考虑有精确解析解的前提下来定量探讨磁场的分布以及对应的最小面积.

给定磁感应强度，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径恒定为r,且

(1)

对于从确定方向射出的粒子要达到题目要求必须要偏转确定的角度.例如入射速度方向与+x轴方向成θ角的粒子要偏转(θ+2nπ)后才能沿+x轴方向射出，也就是说它必须至少在磁场中走过半径为r，圆心角为θ的一段圆弧，把所有的粒子至少需要走过的圆弧密排在一起形成的平面图形的面积就是该磁感应强度B下对应的磁场的最小面积Smin.

接下来我们来寻求Smin与r的关系.

如图2所示，入射方向与+x轴方向成θ角的粒子1在磁场中运动的圆弧为OF，圆心在F′,圆心角为θ，与+x轴方向成角(θ+dθ)的粒子2在磁场中运动的圆弧为OE, 圆心在E′,圆心角为(θ+dθ).当dθ→0时，两条弧线密排形成的面积就是月牙形区域OEFO的面积.

图2 计算粒子最短轨迹密排成的图形面积

设为dS，其大小为扇形OEE′O的面积加上EFF′E′区域面积再加上小扇形OF′E′区域的面积，减去扇形OFF′O的面积，即

若入射粒子的速度方向与+x轴夹角从θ1到θ2分布，则密排形成的面积为S，即

r2[(θ2-θ1)-(sinθ2-sinθ1)]

(2)

(3)

若粒子入射方向为[0,π],则

S=πr2

(4)

由此可见，对于磁感应强度B为确定大小的磁场，要满足题目要求，磁场的最小面积由式(1)、(2)确定，但磁场区域的形状有多种可能.

2 应用

【例1】(2009年海南卷)如图3所示，ABCD是边长为a的正方形.质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场.电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场.不计重力，求：

图3 2009年海南卷第16题图

(1)求匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；

(2)此匀强磁场区域的最小面积.

用模型解答该题：我们知道，对于确定的磁感应强度B一定有对应的磁场区域的最小面积，该题把这个一一对应关系放在独立的两小问中，是颇让笔者费解的，而且磁场的分布有多种可能，此题的参考答案仅给出了一种情形，即当粒子的轨迹圆半径r等于正方形区域的边长时磁场区域为圆形区域的情形.笔者现就这种磁感应强度提出3组分布，且定量求出3组分布中磁场的最小面积都是相等的，具体如下.

第一种分布：如图4阴影部分所示，假设粒子可以先做直线运动，再从(x1,y1)处进入磁场再聚集到坐标原点，则

图4 磁场分布的第一种情形

x1=rsinθ

y1=r(1-cosθ)

(5)

这就是磁场的下边界，它是圆心在(0，r)处，半径为r的圆的一部分，上边界自然是从(0，0)处射出的粒子的轨迹

(6)

上边界如式(6)所示，二者所围面积即磁场的最小面积

与模型中式(3)相符.

第二种分布：如图5所示，粒子从

图5 磁场分布的第二种情形

x=r

(7)

处边界进入磁场，偏转一定角度后出磁场，做匀速直线运动聚集于O点，设粒子在P(x3,y3)处出磁场，则由几何关系得

(8)

式(6)、(7)、(8)分别作为磁场的上边界、右边界和下边界，我们用积分求解其面积.

与第一种分布的最小面积相等.

图6 磁场分布的第三种情形

(9)

(10)

面积计算如下

由以上积分可以看出，此面积与l(θ)的具体形式无关，且最小面积是个定值.也即，磁场区域中即使有有限个洞(图7)，粒子按题目所述方式入射再聚集在O点，磁场的最小面积是个定值.

图7 解析配图

若是把磁感应强度增大，粒子圆周运动半径减小，也是可以达到题目要求完成磁聚集的.例如，我们把粒子的圆周运动半径设为R，但R

(x6-a)2+[y6-(a-R)]2=R2

(11)

左边界为

(12)

右边界

x8=a

(13)

粒子的圆周运动半径R不同，磁场形状就不同，图8所示为可能存在的两种情形.我们用Mathmatical软件计算R

图8 圆周运动半径R不同解析配图

设有以下4种参数对应的情形，脚本运行结果如表1所示.

表1 计算结果

可以看出，R越小，磁场面积越小，但都比本文建模得到的结论的最小面积大.也即在该解析解的情形中，粒子轨道在磁场中没有达到密排.若要达到密排，必须由更高级方法才能达到，但可以肯定，密排之后磁场的最小面积一定如本文文首模型所述.

【例2】(2021年高考湖南卷)带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一.带电粒子流(每个粒子的质量为m，电荷量为+q)以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用.对处在xOy平面内的粒子，求解以下问题.

(1)如图9(a)所示，宽度为2r1的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为A(0，r1)、半径为r1的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小.

(2)如图9(a)所示，虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于C(0，-r2).在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并沿x轴正方向射出.求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程).

(3)如图9(b)所示，虛线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方形.在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子流沿x轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束.求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程).

图9 2021年高考湖南卷第13题配图