浅谈对高三学生数学思维品质的培养

摘 要：文章立足高三数学教学，通过探讨数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、等价转化思想及基本数学方法的应用，以培养和提高学生解决问题的能力，促使学生的数学思维品质的发展。

关键词：高中数学;复习教学;思维品质

中图分类号：G427                                 文献标识码：A                                       文章编号：2095-9192（2022）03-0064-03

引  言

高三学生不同程度地存在重资料轻课本、重考法轻学法、重巧法轻通法、重知识轻能力的现象，往往忽视对基础知识、基本技能的掌握和运用，因而造成了自身分析问题和解决问题能力的相对薄弱，备考心理素质较差，考试成绩不理想等情况。针对上述情况，高三数学教师在复习教学中除了要继续抓紧抓好课本的使用和对《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》（以下简称《教学大纲》）的研究，把握正确的复习方向和迎考策略，努力夯实学生的基础外，还应加强和提高学生在教学活动中的参与意识与思维品质。

笔者在多年的高三教学实践中始终坚持“重三基，织网络，抓训练，提能力”，把培养和提高学生的参与意识和思维品质放在重要位置。在课堂教学中，笔者努力体现以教师为主导、学生为主体、训练为主线的指导方针，本着“精、活、透、准、新”的原则，全方位、高层次优化课堂教学结构，并加大对学法指导的力度，取得了较好的教学效果。下面仅就高三数学教学中如何培养和优化学生的思维品质谈一下个人的体会。

一、引导学生掌握数形结合的基本方法，培养学生思维的灵活性和独创性

数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，数是形的抽象概括，形是数的直观表现[1]。数学问题的思考应从数与形的联系入手，教师应充分重视并发挥学生的主体作用，最大限度地调动学生的参与意识，这样的课堂教学才会张扬个性、激活思维，课堂上才会出现简捷、高效的解题思路，学生的创造性思维品质才能真正得到发展。

数形结合的方法主要有图像法、坐标法、构造法、综合法等。数形结合的基本思路是以形助数、以数质形、数形结合。数形结合的本质是建模。

以形助数，就是已知某一数学问题的几何图形，寻求这一图形所对应的代数表示。这一代数表示可能是方程，也可能是不等式。以形助数的应用，对学生的思维层次和知识水平要求不是很高，因此在教学中问题不是很大。

以数质形，就是已知某一数学问题的代数特征，探寻在该代数特征下，原数学问题中所包含的几何解释及其转化规律。这是教学的重点，也是难点，教师在教学中应花大力气去研究、探讨和总结，使学生真正能够理解和感悟以数质形这种转化过程的本质和规律，从而真正提高学生的思维水平。现举两例加以说明。

例1：若，则的最小值是（   ）。

A.      B.      C.     D.1

【分析】此题难度不大，但学生往往从原方程出发解出，代入，然后由配方求解，这样处理问题比较麻烦。若学生能发散思维，视为直线L，那么就表示直线L上任意一点P到原点的距离，求的最小值实际上就转化为求L上任意一点P到原点（0，0）的最短距离d，这样就可求得d==，答案是A。

例2：当1<a<b时，求证ab-1>ba-1.

【分析】直接证明有困难，稍做变形，情况会怎样呢？两边取对数，即证（b-1）lga>（a-1）lgb，由于b-1>a-1>0，于是上式改写为>，由于lg1=0，此式即为，这让我们联想到斜率公式，若我们构造函数，考虑到1<a<b，画出如图1所示的图像： 其中A（a，lga ），B（b， lgb），C（1，0），易证KAC>KBC，于是有，从而原不等式得证。

从以上两例的求解过程可以看出，有些数学问题中的几何背景并不是一眼就能从题设中看出的，教师在教学中要注意引导学生思维的分层递进和相关知识的有机渗透，这样才能找到问题的本质，从而有效解决问题。同时，数到形的转化要求学生具备敏锐的观察力、丰富的联想能力、灵活迁移知识的能力。教学中，教师要有计划、有步骤、有重点地培养学生的这三种能力。

因此，在高三數学复习教学中，教师应多通过具体典型实例的讲解与分析，使学生体会到自己的主体参与意识和大胆探究行为对获取知识与解决实际问题的重要性，进而激发学生的求知欲，使他们形成强烈的数形结合意识，从而提高学习效率。

二、通过函数、方程、不等式知识的整合与方程思想应用的训练，培养学生思维的深刻性与广阔性

函数是高中数学的一条主线，著名数学家克莱因曾说：“一般教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考。”这就告诉数学教师必须把函数思想渗透到教学的各个方面，更好地为解题教学服务。为此，在高三数学复习教学中，教师应带领学生做到以下三点：第一，厘清函数、方程、不等式三者间的联系;第二，明确函数与方程的关系;第三，学会用函数方法解决方程问题。通过第一点学生会明确认识到：函数是整体，不等式是部分，方程是个体，可以结合二次函数的图像来认识。通过第二点和第三点学生明确认识以下内容：函数和方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可以看成一个方程;一个二元方程，两个变量间存在某种对应关系，如果这种对应关系又是函数关系，那么这个方程也可以看作一个函数。一个二元方程，它的两端可以看成函数，方程的解就是这两个函数图像的交点的横坐标。因此，许多有关方程的问题也可以用函数的方法解决;反之，许多函数的问题也可以通过方程的方法解决。所以，在高三数学复习教学中，教师要积极引导学生领悟蕴含在数学问题解题过程中的函数与方程思想，使学生真正获得方法的积累和能力的提高。此外，教师还要重视课本，强化对单元题组的训练，进而提高学生的思维能力。

例3：已知关于x的方程sin2x+acosx-2a=0有实数解，求实数a的取值范围。

【分析一】（二次函数图像法）将原方程化为二次函数，结合函数图像来考虑。

将方程变形为cos2x-acosx+2a-1=0        ①

令t=cosx，则方程①变为 t2-at+2a-1=0

设f（t）=t2-at+2a-1，t∈[-1，1]

由f（-1）f（1）≤0或

解得：0≤a≤4

【分析二】（变量分离法）在带参数的一元方程中，参数a与变量x之间必存在一个对应关系，这个关系如果是的函数关系，那么关于x的方程有实根时，求参数a的取值范围可转化为求实函数a=的值域，将方程① 变为

≤=，当且仅当2-cosx=时，（2-cosx）+ 有最小值， 所以a的取值范围为。

通过上述一题多解的求解分析可以看出，函数、方程、不等式是互相包容和有机渗透的，而方程思想在高中数学的各个分支都有广泛的应用，因此在高三数学复习教学中，教师应充分引导学生理解和重视函数、方程、不等式三者间的依赖关系及相关转化原理，深入挖掘和探讨数学问题中各题设间的内在联系，并灵活运用方程思想去解决问题，这对学生思维品质的发展是非常有益的。

三、启迪学生想象思维，培养学生思维的多向性和创造性

思維的多向性是指思维的发散性和求异性，即善于从不同的方位、不同的层次去考虑问题，或从同一条件下得出多种不同的结论。创造性思维形成于发散思维后的收敛思维中，可见发散思维是创造性思维的核心。数学教学中对学生思维多向性的培养，一般的做法是以问题解决为核心，启迪学生多层次观察，多方面联想，多角度探索，多途径获解。

例4：已知b>a>0，m>0，求证.

关于它的证明，顺向思维和逆向思维将产生以下作差法、作商法、分析法、反证法四种常规证明方法。

在学生明确了上述常规证明方法后，为了进一步拓宽学生的知识视野，强化数学思想方法，活跃不等式的证明思路，教师引导学生给出以下两种非常规证明方法，也是非常有益的。

证明1（函数构造法）：由与的类比，构造单调递增函数（x∈R+），于是0<x1<x2<+∞时，

∴f（x1）<f（x2）

∴f（x）在R+上是增函数，进而f（x）在当x≥0时，也是增函数

∴令x1=0，x2=m，得

证明2（解析构造法）：将与解析几何中的斜率公式类比，于是构造图2，在平面直角坐标系xOy中，设A（b，a），B（-m，-m）， KOA=，  KBA=，设AB与x轴交于点C，则∠ACX >∠AOC，tg∠ACX > tg∠AOC，

从例4的这两种证法中可以看出，引导学生认识和活用基础知识，善于类比联想，注重转化与化归思想的渗透，是创造性、多向性解决数学问题的关键。

结  语

因此，在高三数学复习教学中，教师应帮助学生正确认识思维品质的发展对学好高中数学的重要性，这样学生才会在重视知识掌握的同时自觉主动地开展以思维创新、思维批判、思维发展等为内容的学习活动。教师也应坚持不懈地进行以思维点拨、思维探究、思维升华等为目标的教学研究与实践活动，使学生的思维品质向着更深层次发展。

[参考文献]

吴莉娜.精设高三数学复习课 提升学生思维品质[J].数学之友，2013（08）：75-77.

作者简介：王建军（1964.3-），男，甘肃张掖人，任教于甘肃省张掖市第二中学，中学高级教师，研究生学历。