磁子在粘性液体中稳定悬浮现象的研究

2022-03-03冯娟娟李元杰王心华

大学物理实验 2022年6期

冯娟娟,李元杰，王心华

(1．兰州大学物理科学与技术学院物理学国家级实验教学示范中心,甘肃兰州 730000；2.兰州大学物理科学与技术学院,甘肃兰州 730000)

悬浮是一种利用磁场、电场或声场使物体悬浮在稳定的机械平衡状态以对抗重力的技术。寻找便宜而简单的稳定悬浮方法为其广泛应用提供了前景，如无摩擦运输、无容器存储、无接触操纵等[1-7]。对于磁悬浮，需要考虑欧肖定理，该定理表明，偶极子只有在动态稳定的情况下才能被悬浮[8-13]。本文讨论一种新的方法：使用标准的实验室工具:磁力搅拌器，实现被动磁悬浮。利用这个装置，在甘油中，观察到一个简单的棒状磁子经历了从稳定的旋转模式到稳定的振荡悬浮模式的转变。

主要的实验装置为磁力搅拌器，棒状磁子，粘性液体-甘油。通过逐渐增大驱动子的转速。在某些特定情况下，磁力搅拌器的“搅拌子”在搅拌时，能在粘性流体中稳定地上升和悬浮。本文探究了“搅拌子”动态稳定的起源，讨论了相关参数的影响。

所谓的动态稳定包括竖直稳定和径向稳定。竖直稳定是指在竖直方向上磁子几何中心高度基本保持不变。而径向稳定是指磁子在水平方向基本处于中心位置，并且认为磁子能保持30 s以上稳定，并且给其微扰可以回归。

1 悬浮子的动力学

驱动子和悬浮子在悬浮子角速度ωd=ω↑时悬浮子开始悬浮。当ωd减小到ω↑时，悬浮子不下落，直到ωd=ω↓时下落。其中ωd是驱动子角速度，ω↑定义为悬浮子开始悬浮时搅拌子的临界角速度，ω↓定义为悬浮子从悬浮状态开始下落时搅拌子的临界角速度。

水平方向上的转动运动的分析：由于磁力的水平分量提供的磁力矩作周期性变化，悬浮后的悬浮子在水平方向上的转动除了一个有恒定角速度为ωs的旋转(spin)外，还有一个角振幅为A,角频率为ωw的摇摆(waggle)。

通过初步分析，本文认为磁子竖直方向上的稳定性是由于磁子转动时，排斥力作用时间大于吸引力作用时间，一个周期内斥力和吸引力的平均作用效果和重力作用效果实现平衡(抵消)[14]，而水平方向上的稳定是由于偏离驱动子转轴的搅拌子会进行偏心抖动，产生指向驱动子转轴的向心力，使其回归。

令烧杯底至驱动子距离为Zb,搅拌子至驱动子距离为Z,搅拌子转过的角度为θ，驱动子与搅拌子的夹角为φ。

图1为实验装置示意图。

(a) 实验装置示意图

对于磁子悬浮前的过程，称之为同步过程。当驱动子转速不大时，搅拌子停留在容器底部，与驱动子同步转动。同步旋转阶段的动力学方程为：

(1)

D是长椭球体的阻力常数，K是几何因子，ϒ 表示由于容器底部的接近而增加的阻力，ι是搅拌子长度，η是粘滞系数。md和mf分别是驱动器和悬浮子的磁矩，μ0是真空磁导率。

随着ωd逐渐增加，φ逐渐增大至π/2，此时磁力作用效果由吸引变为排斥，磁力矩达到最大值。进一步加大转速，使得阻力矩大于磁力矩，搅拌子与驱动子不再同步，最后达到悬浮状态。

(2)

将M和D的表达式代入，得：

(3)

此即悬浮子开始悬浮时的驱动子角速度。

悬浮后的水平方向上的动力学方程为：

(4)

而归化后的竖直方向上的动力学方程为：

(5)

Z0为悬浮子到驱动子的距离，此时竖直方向上的磁力等于重力。νt为搅拌子在甘油中自由下落的最终速度，g′为考虑浮力后修正的重力加速度。

2 稳定悬浮高度与ωd的关系

要进行数值计算，需要知道的参量有：磁子的转动惯量I，式中的阻力常数D，磁力力矩M(Z0)、等效重力加速度g′,磁子下落的稳定速度νt以及式中的平衡高度Z0。

运用扭摆测量，得转动惯量I=2.47×10-8kg·m2。考虑到浮力后修正的等效重力加速度为g′=8.01 m/s2。测得Z0为4.25 cm。代入(3)得μ0mdmf=1.27×10-6m5·kg·s-2。测得此时的ω↑为242 rad/s。由其表达式可得D=6.8×10-4kg·m/s。通过tracker获得悬浮子下沉的坐标数据，通过线性拟合后得到νt=6.62 cm/s。

联立(4)、(5)，

将上面所测量结果带入微分方程，运用MATLAB计算，结果见图2。

t/s

图2(a)是通过龙格库塔法[15]得到的θ随时间的变化情况，可以看到，正如预期的，它是一个匀速转动和摆动的叠加。运用ODE函数[16]验证，得到了类似的结果(图2(b))。

而后图3是转速分别为180、240、300、360 rad/s下，Z随时间的变化关系。

从图3可以看出，随着转速的增大，稳定悬浮的高度逐渐降低，振幅逐渐变小。

通过实验结果，可以验证上面的模拟结果。

t/s

在模拟时通过取不同的ωd得到相应的稳定悬浮的高度，再将其连接起来，作为Z-ωd理论曲线。实际实验中，通过在不同的ωd下测得稳定悬浮的高度，作为实验值，从图4中可以看出实验值与理论值吻合得很好，表明理论模型基本正确。

ωd(rad/s)

上述的理论计算结果和实验结果表明，在甘油液体中，可以通过改变相关参量(例如ωd)，来控制稳定悬浮的悬浮高度。

3 影响ω↑与ω↓的相关参数

另外，对可能影响ω↑、ω↓的另外几个参数也进行了研究。具体研究的参量关系有：(a)研究了ω↑、ω↓与液体深度的关系(图5.(a))，结果表明ω↑、ω↓与液体深度无明显关系；(b)研究了ω↑、ω↓与甘油浓度的关系，如图5(b)所示，ω↑与粘度的-1.5次方成正比；(c)研究了ω↑、ω↓与Zb的关系，图5(c)显示ω↑与Zb的负三次方成正比；(d)研究了不同尺寸搅拌子与ω↑、ω↓的关系(图5(d)),可以看到ω↑、ω↓对于不同尺寸存在差异；(e)研究了不同杯径烧杯与ω↑、ω↓的关系(图5(e))，实验结果ω↑、ω↓与杯径无明显关系。