考虑滚动体尺寸误差和径向游隙时直线轴承的力学性能分析

吉 悦， 安 琦

（华东理工大学机械与动力工程学院，上海 200237）

直线轴承是一种通过钢球在内部轨道进行循环或往复滚动实现直线运动的元件，直线轴承工作过程中一般承受横向载荷，其内部的滚动体受力和变形十分复杂，对直线轴承工作过程力学性能进行研究十分必要。

孙健利[1]建立了力学模型，计算出直线轴承的垂直位移、钢球载荷、接触角和最大接触压力。You 等[2]基于赫兹接触理论对直线轴承受载时滚动体的载荷和接触应力进行了研究，探索了游隙对滚动体受力的影响规律。田红亮等[3]建立了滚珠直线导轨副的刚度公式，计算了滚动体的接触变形量，推导了导轨副重载时的各静力学参数。高飞[4]根据赫兹接触理论对滚动体进行了接触力学性能分析，并利用ANSYS 软件模拟分析了改善滚动体载荷的分布状态的方法。周怡帆等[5]结合赫兹接触理论、Stribeck 曲线关系等理论，通过理论推导加试验台验证的方法研究了预紧力大小对直线轴承综合性能的影响关系。徐斌等[6]基于经典力学理论和赫兹接触理论分析了垂向载荷作用下直线导轨副滚动体和滚道之间的接触受力变形。Wu 等[7]研究了俯仰、倾斜和偏摆力矩对直线导轨副力学性能的影响，发现力矩载荷比横向力更容易引起导轨副的形变。Kwon 等[8]建立了外载荷作用下直线导轨副的五个自由度静态分析模型，计算了滚动体和导轨接触时的弹性变形，研究了预紧力对直线导轨副力学性能的影响。毛宽民等[9]基于赫兹接触理论分析了滚动体与滚道两者之间接触量和接触力的关系，得到滑块在五个自由度上的振动位移量和接触力。王会彬[10]基于赫兹接触理论建立了导轨副内部接触模型，研究了GCr15 滚珠和Si3N4滚珠直线导轨副的力学性能。Tomović[11-12]研究了滚动体处于对称位置时载荷的分布情况，但没有考虑一般位置、滚动体尺寸误差和游隙等情况，无法实现对滚动体受力的精确计算。陈汀等[13]基于接触力学和弹性变形协调条件建立了一种考虑滑块裙部变形的滚珠直线导轨副垂直刚度模型，研究了导轨的刚度计算方法。徐起贺等[14]基于力学平衡和赫兹接触理论对滚珠直线导轨副钢球的受力进行计算，建立了滚珠直线导轨副在一般载荷作用下的额定寿命计算公式。

综上，直线轴承的力学性能研究大多是利用赫兹接触理论，在不考虑直线轴承滚动体尺寸误差的前提下进行的，难以实现精确的力学性能计算。此外，对载荷作用的位置、游隙、滚动体几何误差等因素的影响鲜少进行考虑，会造成滚动体受力的计算误差，影响对滚动体力学性能判断的准确性。为此，本文以受横向载荷的滚珠直线轴承为研究对象，构建能对每一个滚动体受力、变形进行更为精确计算的力学模型，深入研究载荷大小及位置、滚动体尺寸误差、滚动体与滚道之间的游隙等因素对直线轴承力学性能的影响规律。

1 力学模型构建

1.1 直线轴承的力学分析

图1 示出了直线轴承的结构图。如图1 所示，滚珠直线轴承一般由轴承套、保持架、多列滚动体和两端环形密封挡板构成。多列滚动体密布在环形保持架内，外圈内表面两端的环形密封挡板对保持架起固定作用。

图1 直线轴承结构图Fig. 1 Structure of linear bearing

直线轴承在工作过程中，一般是外圈受横向载荷。本文在建立力学模型时，假设如下：（1）各滚动体和滚道接触变形均在弹性范围内；（2）滚动体的尺寸误差仅为直径误差，仍然保持为球形；（3）不考虑与直线轴承配合的轴和轴承内部轨道的几何误差[15]。

图2（c）为直线轴承在图2（b）的j-j截面处的剖视图。如图2(c)所示，假设截面j受到的外力为Fj，在Fj的作用下，外圈将产生径向位移，使每个滚动体受力。由于滚动体存在尺寸误差，尺寸大的滚动体首先接触，发生弹性变形，尺寸较小的滚动体也逐渐产生受力变形。

图2 直线轴承的受力分析Fig. 2 Force analysis of linear bearing

1.2 滚动体与滚道接触受力及变形计算方法

1.3 滚动体受力计算方法

图3 单个滚动体的弹性变形Fig. 3 Deformation of single ball

工程中计算Js、Qs常运用查表的方法。在此基础上文献[18]中Brewe、Harmrock 使用线性回归方程得到近似表达式：

根据受力平衡和几何关系，竖直方向上各钢球所受的载荷分量之和与F平衡：

在竖直方向上各钢球所受的载荷分量对F的作用点满足力矩平衡：

水平方向上各钢球所受的载荷互相抵消，即

1.4 数值计算方法

根据上述力学建模，制定了直线轴承滚动体受力的数值计算方法，计算流程如图4 所示。

图4 直线轴承滚动体受力计算流程图Fig. 4 Calculation flow chart of force on rolling elements of the linear bearing

2 算例研究

以LM8UU 型直线轴承为例进行计算研究，外圈、主轴及滚动体材料为高碳铬轴承钢GCr15，其结构参数见表1，其中：E1和E2分别为滚子和滚道的材料弹性模量；μ1和μ2分别为滚子和滚道的泊松比。

表1 直线轴承参数Table 1 Parameters of linear bearing

2.1 载荷大小对滚动体受力的影响

图5 示出了不考虑滚动体误差和游隙情况下载荷大小对滚动体受力的影响。可以看出，圆周第1 列和第4 列滚动体从轴向第9 列开始受力，随载荷的增大，每一个滚动体的受力都在增大；圆周第2 列和第3 列滚动体从轴向第1 列至第9 列滚动体受力，且随载荷增大而增大，轴向第9 列之后的滚动体不受力。

图5 不同载荷下直线轴承各列滚动体受力（x=1 mm）Fig. 5 Force on balls of linear bearing under different loads（x=1 mm）

2.2 载荷作用位置对滚动体受力的影响

图6 示出了不考虑滚动体尺寸误差和游隙情况下载荷作用位置对滚动体受力的影响。从图6 可以看出，当载荷位置作用于轴向中点对称位置(x=8.25 mm)时，仅有圆周第2 列和第3 列滚动体受力，且轴向列滚动体受力均匀。随着横向载荷向两端偏移，轴向列滚动体受力变得不均匀，当载荷偏离中心较大时，圆周第1 列和第4 列滚动体也开始受力，且轴向列滚动体受力分布也不均匀。

图6 不同载荷作用位置下各列滚动体受力（F=40 N）Fig. 6 Force on balls with different load positions (F=40 N)

2.3 游隙大小对滚动体受力的影响

图7 示出了不考虑滚动体尺寸误差情况下游隙大小对滚动体受力的影响，在不同的游隙下滚动体受力的曲线具有相似性。由图7(a)、7(d)可知，圆周第1 列和第4 列的滚动体在轴向上都从第9 列之后开始受力，受力的大小随着游隙的增大而减小；当游隙继续增大，轴向上受力的滚动体变少。由图7(b)、7(c)可知，圆周第2 列和第3 列受力的滚动体均为轴向1～8 号滚动体，其中轴向1、2 号滚动体受力随着游隙的增大而增大，4～8 号滚动体受力随着游隙的增大而减小，3 号滚动体受力几乎不随游隙变化。

图7 不同游隙下的直线轴承滚动体受力（F=40 N; x=1 mm）Fig. 7 Force on balls of linear bearings with different clearances (F=40 N; x=1 mm)

2.4 滚动体尺寸误差对滚动体受力的影响

图8 和图9 分别为圆周第3 列在轴向的2 号滚动体存在3 μm 负误差和正误差时直线轴承各滚动体受力图。从图8(a)、8(c)可知，当2 号滚动体存在负误差时，该滚动体受力减小，同一圆周列中与之相邻的滚动体受力略微增大，圆周第一列滚动体轴向9～12 号滚动体受力略微增大；从图9(a)、9(c)可知，当圆周第3 列在轴向的2 号滚动体存在正误差时，其受力增大，同一圆周列与之相邻的滚动体受力略微减小，第一列滚动体轴向9～12 号滚动体受力略微减小，以保证和外载荷平衡。通过图8(b)、图8(c)、9(b)、9(c)可知，不存在滚动体尺寸误差的圆周列滚动体的受力几乎不受影响。

图8 1 个滚动体存在3 μm 负误差时各列滚动体受力（F=40 N; x=1 mm）Fig. 8 Force on balls with 3 μm negative error for a ball (F=40 N; x=1 mm)

图9 1 个滚动体存在3 μm 正误差时各列滚动体受力（F=40 N; x=1 mm）Fig. 9 Force on balls with 3 μm positive error for a ball (F=40 N; x=1 mm)

为了研究滚动体尺寸随机误差的影响，作者利用Matlab 中的函数随机生成一组滚动体直径的误差值，模拟实际加工过程中滚动体的误差分布。图10示出了随机生成的误差范围为±2 μm 的每一个滚动体直径误差值。

图10 滚动体直径误差序列Fig. 10 Diameter error series of balls

图11 所 示 为 横 向 载 荷F为40 N、x为1 mm、不考虑游隙时直线轴承所有滚动体受力。图12将考虑随机误差下各列滚动体受力与尺寸无误差时滚动体受力进行对比，可知考虑滚动体直径的随机误差时，每一个滚动体的受力将发生较大的变化。

图11 每 个 滚 动 体 存 在 随 机 尺 寸 误 差 时 滚 动 体 受 力（F=40 N; x=1 mm）Fig. 11 Force on balls while each ball has random size error(F=40 N; x=1 mm)

图12 每个滚动体存在随机误差时直线轴承滚动体受力（F=40 N; x=1 mm）Fig. 12 Force on balls of linear bearing while each ball has random size error (F=40 N; x=1 mm)

3 结 论

（1）结合具体算例，研究了横向载荷作用位置对直线轴承滚动体受力的影响规律。在不考虑滚动体误差和游隙的情况下，横向载荷作用于直线轴承中心对称位置时沿轴向方向每一列中每一个滚动体受力相同。当载荷偏离中心对称位置时，滚动体受力变得不均匀，偏离一定程度后，轴向列只有部分滚动体受力。

（2）研究了直线轴承径向游隙对滚动体受力的影响规律。不考虑滚动体尺寸误差的情况下，随着游隙增大，直线轴承轴向每一列滚动体受力各不相同，有的列受力随游隙的增大而增大，有的列受力随游隙的增大而减小。

（3）计算了只有1 个滚动体存在误差和所有滚动体都存在随机性误差时各个滚动体受力的情况。在不考虑游隙的情况下，只有1 个滚动体的尺寸出现正误差会使该滚动体受力增大，同一圆周列其他滚动体受力会略微减小。只有1 个滚动体尺寸出现负误差会使该滚动体受力减小，其周围的同一圆周列的滚动体受力会略微增大，以保持受力平衡。当考虑所有滚动体出现随机误差时，每一个滚动体的受力将与不考虑误差时有明显不同。本文结论与文献[17]和文献[19]相符合。