聚焦思维·追求品质·稳中求变

赵志英 金雯雯

摘  要：函数是初中“数与代数”模块学习的主线，是初中数学的核心内容，是中考考查的重要内容之一. 2021年全国各地中考试卷中的函数试题着重考查三类函数的基础知识，深入考查图象与性质，以及综合应用问题. 从继承走向发展，在发展中融合创新，渗透了对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学学科核心素养的考查. 通过对试题从“基础性、综合性、应用性、关联性、新颖性”等方面的剖析，提出命题建议和复习策略.

关键词：函数命题;核心素养;基础知识

初中数学毕业考试是对学生初中阶段学习结果的终结性评价，同时兼顾升学选拔功能，对数学教育教学具有重要的导向作用. 随着教育部《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》的颁布与实施，聚焦学生数学学科核心素养成为近年中考数学命题的落脚点. 函数是初中“数与代数”模块学习的主线，也是未来代数学习的必备基础和关键思想，因此函数是中考考查的重要内容之一. 综观2021年全国各地中考试题，着重考查了三类基本函数（一次函数、反比例函数、二次函数）的概念、图象和性质，全面覆盖函数的基础知识. 函数综合题有机结合其他相关内容，涉及章内知识和各章知识的融合，考查学生应用函数思维分析并解决问题的能力.

2021年中考函数试题传承往年对函数的基础知识和基本技能的重视，立意发展基本思想和基本活动经验. 同时，命题从分析问题、解决问题转向发现问题、提出问题的新视角，渗透了对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学学科核心素养的考查，彰显数学理性思维和学科育人的理念.

一、试题分析

2021年中考试题的命制充分考虑了函数内容的基础性、综合性、应用性、关联性、新颖性，试题对函数教学起到了正面导向作用. 命题者充分考虑分层、分梯度设置问题，给不同思维水平的学生提供适当的展现机会，具有很好的区分度，展现了函数的育人价值. 这也体现了《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的基本理念.

1. 立足基础性，聚焦函数本质

《标准》指出，需要“了解函数的概念和三种表示方法”. 函数从“数量”的角度反映变化与对应关系的数学模型，最常用的表示函数的方法是解析法、列表法、图象法. 2021年全国各地中考函数试题继承往年考查函数的本质特征——联系与变化和单值对应，要求学生对函数的本质理解更加深刻.

例1 （浙江·嘉兴卷）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米为“加速期”，30米～80米为“中途期”，80米～100米为“冲刺期”. 市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m / s）与路程x（m）之间的观测数据绘制成曲线，如图1所示.

（1）y是关于x的函数吗？为什么？

（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？

（3）根据图1提供的信息，给小斌提一条训练建议.

例2 （北京卷）如图2，用绳子围成周长为10（m）

的矩形，记矩形的一边长为x（m），它的邻边长为y（m），矩形的面积为S（m2）. 当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（  ）.

（A）一次函数关系，二次函数关系

（B）反比例函数关系，二次函数关系

（C）一次函数关系，反比例函数关系

（D）反比例函数关系，一次函数关系

例3 （青海卷）新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头. 骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来. 当它一觉醒来，发現乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点. 用S1，S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（  ）.

【评析】例1以“百米赛跑数学模型”为背景，例2以周长确定的矩形为背景，例3以龟兔赛跑的新故事为背景，虽然背景不同，但试题均潜移默化地考查学生对函数概念本质的把握. 其中，例1通过辨析y是否为关于x的函数体现过程性评价的理念，可见正确地理解函数的概念是函数学习的基础. 同时，例1、例3着重考查学生的识图能力，图象法的直观性超越解析法和列表法，需要学生理解图象背后的信息，提高了试题的区分度.

2. 关注综合性，借助数形结合

函数的性质主要有解析式中系数的变化与图象位置的关系、增减性、最值、图象对称性等. 学习方法是借助函数图象与性质的研究，发现函数的本质特征，反过来也说明图象与性质是函数学习的主体部分. 在初中，虽然对函数的研究仅仅是初步阶段，但研究过程也体现了从函数的数量特征和图象的几何特征来刻画每类函数的性质，故数形结合思想是研究函数的基本思想. 2021年全国各地中考函数试题中，较多题目需要借助函数的图象信息挖掘函数的性质，增强了考试内容的综合性.

例4 （山东·菏泽卷）如图3（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥Ox，直线y = 2x + 1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a，b之间的函数关系图象如图3（2）所示，那么矩形ABCD的面积为（  ）.

（A） [5] （B） [25]

（C） 8 （D） 10

例5 （浙江·杭州卷）如图4，在“探索函数y = ax2 + bx + c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）. 同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（  ）.

（A） [52]

（B） [32]

（C） [56]

（D） [12]

【评析】例4需要从图3（2）中获得线段a与移动距离b的函数关系，从而得到矩形的边长，指向学生从函数图象中获取信息、理解信息、应用信息，并解决问题能力的考查. 例5立足二次项系数a的数值与开口大小的关系，有效考查了学生的计算能力和对二次函数图象的深入理解. 该类常见试题的解决思路是：从“数”的视角聚焦解析式，从“形”的视角瞄准函数图象，“数形结合”研究函数.

3. 突出应用性，提升建模能力

《标准》要求理解一次函数、反比例函数、二次函数的概念、图象、性质，并利用这三类函数解决简单的实际问题. 这三类函数都是刻画现实生活的重要模型，一次函数、二次函数、反比例函数、正比例函数分别是刻画“匀速”变化、“匀变速”变化、“定积”变化、“定比”变化的模型. 2021年全国各地中考函数试题背景形式丰富多彩，有方案设计问题、行程问题、利润问题等，考查从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，完成第一次抽象;建立函数表示数量关系和变化规律，完成第二次抽象，有助于学生初步形成模型思想，提升数学学科素养和应用意识.

例6 （浙江·台州卷）以初速度v（单位：m / s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h = vt - 4.9t2. 现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图5（1））;小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度為h2（如图5（2））. 若h1 = 2h2，则t1∶t2 等于       .

例7 （湖北·随州卷）如今我国的大棚（如图6）种植技术已十分成熟. 小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图7所示的平面直角坐标系. 已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足y[=-16]x2 + bx + c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米.

（1）直接写出b，c的值;

（2）求大棚的最高处到地面的距离;

（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为[3724]米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？

例8 （贵州·贵阳卷）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片. 如图8，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA = 8（m），桥拱顶点B到水面的距离是4（m）.

（1）按如图9（1）所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式;

（2）一只宽为1.2（m）的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点O 0.4（m）时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68（m）的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，说明理由（假设船底与水面齐平）;

（3）如图9（2），桥拱所在的函数图象是抛物线y = ax2 + bx + c（a ≠ 0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象. 将新函数图象向右平移m（m > 0）个单位长度，平移后的函数图象在8 ≤ x ≤ 9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围.

【评析】函数模型在生活中有广泛的应用，以上试题符合《标准》中提到的“用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活和其他学科中的问题，增强应用数学的意识”. 例6将抛球运动中的自由落体运动抽象为二次函数模型，考查顶点坐标. 例7将抛物线型的蔬菜大棚抽象为二次函数模型，考查自变量范围内的函数的最大值，以及给定自变量求函数值的知识. 例8将甲秀楼建筑抽象为抛物线，在实际背景下考查二次函数的应用问题. 值得一提的是，第（3）小题通过对部分图象作关于x轴的轴对称变换，得到新函数图象，借助函数思维考查新函数图象的增减性问题，渗透函数思想. 这类基于真实生活情境的应用型试题考查学生的阅读理解能力，促进学生自主探究，在“数学抽象—数学建模—分析模型—求解模型—应用模型”的过程中潜移默化地落实数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等学科核心素养. 这类试题大多数出现在客观题和主观题的压轴题位置，是“知识与能力并重，思想与方法交融”的命题思想的完美呈现，使得关键题、压轴题的综合性、公平性和导向性得到充分体现.

4. 考查关联性，处理相关知识

函数既可以用数量关系来刻画，又可以用图象直观表达. 兼具“数”和“形”两方面的性质，“数”可以与方程、不等式等联动，“形”可以和几何图形变换综合. 2021年中考函数试题进一步呈现函数各分支内容与其他内容之间的联系，函数与方程、不等式之间的关系及几何图形性质等，体现考查内容之间的关联性，促使学生从整体上构建知识框架.

例9 （湖北·鄂州卷）数形结合是解决数学问题常用的思想方法. 如图10，直线[y=2x-1]与直线[y=kx+bk≠0]相交于点[P2，3]. 根据图象可知，关于[x]的不等式[2x-1>kx+b]的解集是（    ）.

（A） [x<2]

（B） [x<3]

（C） [x>2]

（D） [x>3]

例10 （浙江·湖州卷）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A（3，4），M是抛物线y = ax2 +bx + 2（a ≠ 0）对称轴上的一个动点. 小明经探究发现：当[ba]的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线y = ax2 + bx + 2（a ≠ 0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则[ba]的值是     .

【评析】例9将函数与不等式进行联动，对学生的“识图、用图”能力提出了合理的要求. 例10考查在函数背景下直角三角形的存在性问题，由点M的个数为3个，得出对称轴与以OA为直径的圆相切，进一步确定[ba]的值. 此类问题命题时重视函数与“数与代数”“图形与几何”的关联，强调函数与其他知识的内在联系，要求学生整体把握知识，体现了试题的区分度.

5. 衔接新颖性，迁移函数思维

函数学习的思路是“定义—表示—性质—应用”. 2021年部分中考函数试题题设新颖，关注点为利用函数思维解决问题，考查过程需要运用联系与变化的观点，理清量与量之间的关系，发现对应关系及其规律，重现研究函数的内容与方法. 在画函数图象的过程中，经历取点、画图、测量、列表、建系、描点等步骤，探究变量之间的关系，研究函数的图象与性质，利用函数思维及有关知识融合，进而解决问题.

例11 （湖北·荆州卷）小爱同学学习二次函数后，对函数y =[-x-12]进行了探究. 在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图11所示的函数图象.根据函数图象，回答下列问题.

（1）观察探究：

① 写出该函数的一条性质       ;

② 方程[-x-12=-1]的解为       ;

③ 若方程[-x-12=a]有四个实数根，则a的取值范围是       .

（2）延伸思考：

将函数y =[-x-12]的图象经过怎样的平移可得到函数y1 =[-x-2-12+3]的图象？写出平移过程，并直接写出当2 < y1 ≤ 3时，自变量x的取值范围.

例12 （浙江·杭州卷）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x = m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1 + M2 = 0，则称函数y1和y2具有性质P. 以下函数y1和y2具有性质P的是（  ）.

（A）y1 = x2 + 2x和y2 = -x - 1

（B）y1 = x2 + 2x和y2 = -x + 1

（C）y1[=-1x]和y2 = -x - 1

（D）y1[=-1x]和y2 = -x + 1

【评析】例11、例12都让学生根据以往学习三类函数的经验，参照函数的研究过程与方法，经历“取点—描点—观察图象—发现性质”的过程，对构造的新函数进行探究，构建逻辑连贯、系统一致的函数学习过程. 相似的试题还有浙江衢州卷第23题、重庆B卷第22题等. 例12通过定义“存在自变量使得两个函数的和为0”的性质P，考查一元二次方程的解的存在性. 此类试题加强思想内涵的考查，减弱繁难的推理论证，立足新颖性，注重适度的开放性和有效的探索性，其本质依然是对函数概念和函数思维的考查，值得推广和借鉴.

二、命题建议

函数试题的命制既要关注知识，又要关注方法. 着重考查基础知识和基本技能，强化运动变化和内在联系;既要深化联系，关注数学内部整体构建，又要考查生成，关注数学思维习惯的养成;既要规范命题设问，尽量与教材编写保持一致，又要关注人文情怀，促使评价导向立德树人.

1. 以生为本，落实学科核心素养要求

核心素养是一个指向未来的发展概念，数学命题应当关注学生的发展性. 以生为本，要有机整合数学问题的解决过程和数学基本能力，从情境维度和知识迁移维度考查学生的数学学科核心素养，提升学生的关键能力. 通过考查从情境中抽象出解决问题的思路和方法，并用已有知识和方法进行迁移，达到学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界的目的.

2. 以标为纲，导向函数基础知识考查

准确把握《标准》对函数部分提出的本质属性要求是命题的必要前提和品质保证. 基于《标准》要求，挖掘教材中的例题和习题，进行改编和创新，把握难度，坚持内容不超不偏. 也有部分题目以函数图象为背景，考查的核心是几何，如图形形状的判定、图形关系的判定、图形大小的计算、特殊几何图形的存在性问题等的“伪函数”命题，与函数的数学本質相违背，过度强调“解析化”，超出《标准》的要求，降低了试题的效度和信度，该类命题还有待商榷.

3. 以思为主，提升题目情境的合理性

创设真实的问题情境，强化由现实问题到数学问题的抽象过程. 命题编制需要选择一个蕴含数学知识、具有良好数学结构的学习情境. 在该过程中，转化能力体现了学生是否掌握函数知识的本质和基础知识、基本技能的良好考查指标.

4. 以学为用，联系生活实际科学命题

作为刻画现实世界的重要数学模型之一，函数的命题更应该紧密联系生活实际科学命制，增强学生的应用意识，促使学生比较全面地认识数学与社会、科学、技术之间的协同关系，体现了数学来源于生活并应用于生活的学科内涵，提高学生的应用意识和创新意识.

5. 以质为先，应用多关注“跨学科学习”

以往的综合性问题更多的是整合学科内知识之间的联系，考查学生灵活运用知识的能力. 随着“跨学科学习”和项目式学习越来越热门，中考试题的命制也可紧密结合实际. 例如，浙江台州卷第16题、第23题，浙江丽水卷第9题等试题，在科学性的基础上，适当整合其他学科知识和技能，指向发展学生关键能力的培养. 如何更好地创新，如何更好地整合其他学科是值得我们深思的.

三、模拟题

为便于更好地交流学习，笔者为大家提供几道函数相关题目，仅供参考和赏析，也欢迎批评指正.

1. 路程s、速度v、时间t三者之间的关系式为s = vt，当其中一个量是常量时，另外两个变量的函数图象不可能是（  ）.

答案：D.

2. 在下列函数图象上任取不同的两点[P1x1，y1]，[P2x2，y2]，一定能使[y2-y1x2-x1>0]的是（    ）.

（A） [y=1xx>0]

（B） [y=x2-2x-3x≥0]

（C） [y=-x2+4x+1x<0]

（D） [y=-4x+2x>0]

答案：C.

3. 已知函数y = mx2 + nx - 3，且2m - n = 1，若不论m取何正数时，函数值y都随自变量x的增大而减小，则满足条件的x的取值范围可能是（    ）.

（A） [-6≤x≤-4] （B） [-2≤x≤][-12]

（C） [0<x≤3] （D） [3≤x≤5]

答案：A.

4. 关于函数[y=mx+m-1x-1]. 下列说法正确的是（    ）.

（A）无论m取何值，函数图象总经过点（1，0）和（-1，-2）

（B）当[m≠12]时，函数图象与x轴总有2个交点

（C）若[m>12]，则当[x<1]时，y随x的增大而减小

（D）当[m>0]时，函数有最小值是[-14m-m+1]

答案：D.

5. 已知：点[Pa2+1， 2a2+1]是一次函数[y=-kx-][1-3k]上的点，求[k]的取值范围.

答案：[-34≤k<0.]

6. 某位同学做实验考查电流变化情况时，可以选择若干定值电阻进行并联（假设可以选择任何数值的电阻），已知电源电压U为2V.（注：公式[I=UR]，其中I是电流强度，U是电压，R是电阻.）

（1）若只接入一个电阻，I和R是函数关系吗？为什么？如果是，说明这是哪类函数？

（2）若只接入一个电阻，测得电流强度I为0.1A，求该电阻R的值.

（3）若所选的两个电阻分别为R1，R2，且R1 + R2 = 20Ω，恰好使总电流强度I最小，求对应电阻R1，R2的值.（注：并联时总电阻[R=R1×R2R1+R2].）

答案：（1）是，I是R的反比例函数.

（2）R = 20Ω.

（3）恰好使总电流强度I最小，对应电阻R1，R2的值都为10Ω，此时I = 0.4A.

7. 已知二次函數[y=ax2-4ax+a2][a≠0].

（1）若点（2，0）在抛物线上，求出抛物线的表达式.

（2）若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1 < y2，试结合函数图象确定实数a的取值范围.

答案：（1） [y=4x2-16x+16].

（2） [a<0或1<a<3].

8. 已知二次函数[y=x2-6ax+9]（a为常数）.

（1）若该函数图象经过点P（2，7），试求a的值和图象顶点坐标;

（2）在（1）的情况下，当[-1≤x<2]时，求y的取值范围;

（3）当[x≥3]时，y随x的增大而增大，[Px1，y1]，[Qx2，y2]是该函数图象上的两个点，对任意的[3a-2≤][x1≤5，3a-2≤x2≤5]，[y1，y2 ]总满足[y1-y2≤9a2+25]，试求[a]的取值范围.

答案：（1） [a=12]，表达式为[y=x2-3x+9]，顶点坐标为[32， 274].

（2）当x = -1时，有最大值13;

当x =[32]时，有最小值[274].

所以y的取值范围是[274≤y≤13].

（3） [0≤a≤1].

四、复习建议

1. 循序渐进渗透函数概念，合理把握《标准》要求

分析2021年中考函数试题可知，加大了对函数概念本质（联系与变化、单值对应）的考查. 在教学中，我们要摒弃“重视函数三种表示方法的讲解，轻视函数的概念形成过程”的教学思路，转变为借助生活中的实例，循序渐进地渗透函数概念，潜移默化地构建函数思想. 在“代数式求值”“二元一次方程”“分式有意义的条件”“分式值为0的条件”等内容的课堂上，要以函数思想为引领审视教材内容，引导学生感受变化与对应的思想内涵. 复习时在“代数式”章节、“方程与不等式”章节也需要用函数思想引领，完善代数学习体系.

在当下取消考试说明的背景下，《标准》是命题和教学最重要的依据. 考试注重考查核心知识，复习时要以《标准》为依据落实知识点，不可超越《标准》内容及要求.

2. 数形结合理解函数性质，加工教材创新使用

从函数的数量特征及图象的几何特征来刻画每类函数的性质是研究函数的基本方法. 在复习时，教师要关注数形结合思想的运用.

教材直接反映《标准》理念，是“四基”的直接载体. 近年来中考函数命题致力于教材资源价值洼地的开发，让教材发挥其应有的“范本”功能. 因此，在复习时，教师要善于研读教材，创造性地使用教材中的母题，更要善于引导学生重视教材资源，合理、恰当地使用教辅资料.

3. 科学合理设计函数作业，减轻学生过重负担

2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确全面压减作业总量和时长，减轻学生过重的作业负担. 在复习时，教师精选与函数内容匹配、符合复习目标和学生实际、利于知识和技能巩固的适量习题作为作业. 严格把控作业量和作业时间，避免机械性、重复性、长时性作业，尝试探索基于本班学情的弹性作业，满足不同层次学生的学习需求.

参考文献：

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[2]胡玲君. 2019年中考“函数”专题解题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2020（1 / 2）：63-71.

[3]陈世文，张宗余. 2020年中考“函数”专题命题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2021（1 / 2）：41-46.

[4]吴增生. 初中数学毕业考试命题变革的思考与实践[J]. 数学通报，2021，60（1）：41-51.

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