指导数学推演 促进学习理解深入

□ 江苏省高邮市第一小学 王嘉玫

指导学生投入到数学推演学习之中，是引领孩子经历数学知识学习数学化的体验过程，是助推学习理解不断深入的过程。因此，在小学数学教学中教师要深入学习著名数学教育家赫斯考威克斯提出的“理解的类型层次说”理论，努力渗透抽象理解等学习引导，让学生能够初步把握数学知识内部逻辑关系，进行相应的学习推演，以更有效地激活数学知识之间的内在联系，促进深入学习与思考，使得学习理解得以顺利进行，让学生的数学学习更具逻辑思辨色彩，更富创新活力。

一、指导解剖，感悟知识衍生

指导学生进行相应的学习解剖，是培养他们逻辑推演的根本所在，是发展他们数学思维的重要举措。为此，在小学二年级“除法竖式计算”教学中教师就需要重视数学学习生活化与数学化二者的有机融合，既为他们创设一个个富有浓郁生活味的学习情境，又要重视在此过程中理性思考与分析的学习引领，通过相关问题研读和现象、结果等解剖学习，有效地感悟数学知识衍生的自然特性，使得他们的学习活动能够更深入地思考、思维，从而助推小学生数学推演意识得以萌发。

1.正视学习现象

除法竖式计算教学，教师一般都采取实践操作学习，来助推平均分以及除法意义理解，并在“分一分”活动中领悟到每一个过程的原理，从而理解和建构笔算除法的基本要义。当然，在此过程中还需要精准地引导，让学生在积累学习感知的同时，学习游离性地进行分析与推演，从中感悟数学知识本质所在，为他们有效学习提供思维支持，为学习质量提升打下坚实基础。

如，林老师要把8个足球分给小朋友，每一个小朋友都拿2个，可以分给几个小朋友？一般情况下教师都是引导学生用自己的学具—圆片、小棒等进行相应的操作。先拿出8个圆片，然后2个放成一堆，这样就发现可以放4堆，得出可以分给4个小朋友的结论。然后指导学生把刚才操作学习、分析过程等再通过竖式表现出来。学生会在已有知识与操作双重刺激下较好地理解被除数是小足球的总个数8，除数是每一个小朋友拿走的个数2，商是小朋友的人数4。可是，在学生进行相应的巩固练习中仍然有少部分学生对竖式各部分关系理解还是比较模糊，很不理解竖式中被除数8的下面还要写出个8，有学生认为这是重复地写一写，没有意义；也有学生心生疑问，这个8是不是随意写出来的呢？为什么不可以写成7或者6等。

2.指导解剖现象

从上述学习现象中不难看出，要让小学生把横式计算、操作实验和竖式计算科学地融合，实现思维大贯通可不是一件简单的事，不是情境化学习就能直接奏效的，也不是简单地操作和分析就能促进思维同步的。所有这些都还需要学生对此学习探究过程有一个理性的推想过程，以及严谨的逻辑推演学习来支持的。因此简单除法竖式计算教学中教师就要正视学习现象，并引导逐步解读现象，从而在层层解剖学习中领悟竖式与横式操作的连通性，明晰对应的思维过程，以达成知识的理解深入、初步建构的基本目的。

（1）引导比较。为突破学生思考难点，助力学生抓好问题研究关键点，教师就需要采取横式与竖式联动观察策略，并设计问题任务，引导学生积极地探究问题：横式中的被除数、除数和除号在竖式中在哪里？有着怎样的变化？于是，学生会在观察的基础上进行比较，并在不同思考交互中形成对应感悟，初步建立起除号变成了“厂”状符号，被除数在里面，除数在外面。就这样学生会把新的竖式计算格式与既往的除法横式格式实现连通，也就利于学生进行对应的连贯性、整体性思考，形成有效的理解，并知晓竖式构造的原理，由内而外学习沟通。再思考商的位置，对应除法横式中等号右边的结果，在除法竖式计算则在“厂”状符号的上面。

（2）指导推演。如果说除法计算横式与竖式表象上的沟通联系学习是学生建构笔算除法计算原理学习基础之一，那么深入地探究每一个对应细节，把握好相关的计算原理，则会成为小学生顺利地建立笔算除法学习的重要内容之一，也是形成对应除法笔算学习建构的核心要素。因为小学生数学思维以适宜形象、具体为主，而笔算除法看似很直观，但是要真正地深入到数学本质，还需要抽象思考。在教学中教师可以看到，除法竖式计算符号内的部分与横式计算几乎是没有关联之处的。为此，教师就得指导深入解剖操作过程中的思维过程，以此加速学习推演生成。

教师要直接指导学生进行必要的学习推演，首先引导学生深入思考，当商是1时，对应的意义是什么？学生很自然地从分足球的操作中理解到：分给一个小朋友时，他会得到两个足球。“这里的2个是从哪里拿走的？”学生很容易找出，是从被除数（总数）中拿走的，这样在8的下面就得写上2，这样就明白在被除数下面写上数的原理，而且还能明白写上2的道理，因为商1就是1个小朋友拿走的2个。

其次，继续引导学生解剖商2、3直至4时的学习推演，从中学生必定能理解被除数下面的数不是随意写出来的，而是商与除数的乘积，最后横线下的0也不是随意得到的，是被除数（总数）与乘积（商与除数的乘积，也就是拿走的个数）相减得来的。

二、指导深究，体味规律由来

指导学生深究每一步学习缘由，是引发学习推演的关键，是打造理性数学学习的核心所在。为此，在“乘法分配律”教学中教师要关注学生理性思考的指导，让他们在深究每一个环节中把握规律的原理，明晰规律的由来，从而发现乘法分配律这一规律形成的合理性，致使他们学习理解更加深刻。

1.指导探究，初感规律

首先借助教材资源，适当地加以改编，使之更契合本地学生的生活实际，让学习更接地气。比如，音乐老师准备为“白雪公主和七个小矮人”表演队购买演出服装，上衣是45元，裙子是25元。假如不考虑性别，问买好8个人的演出服装一共需要多少元？

其次组织学生自主思考。学生会在已有经验支持下迅速地进行思考与分析并形成相应的解答。有学生说：先算出上衣的价钱45×8=360（元），再算出裙子的价钱25×8=200（元），总钱数是360+200=560（元）。也有学生说：先算一套演出服的价钱，45+25=70（元），再算出8套总价70×8=560（元）。

接下来教师就要创设一个探究学习情境，引导学生对两种思路进行理性分析与比较，以促使他们初步理解乘法分配律等式雏形。学生在讨论中得出，不论怎样计算，8套演出服总价结果一定是相等的。紧接着，再组织学生仿写类似的等式，体会其中内在特点，以帮助学生形成乘法分配律的丰厚感知。于是，学生各抒己见，各显神通，写出许多具有乘法分配律规则的等式，从而进一步丰富乘法分配律表象的积累。

2.引导深究，建构规律

当然，教师还需要清醒地认识到这样推理出乘法分配律是以表象为基础的，看似学生都能记住，也能简单应用。可是在适度的变式练习中又是无所适从，甚至有胡乱写一通的现象。笔者认为，这就是小学生数学学习中数学推演介入不深所导致的，因为他们缺乏应有的理性思考和逻辑推理支撑，导致该规律建构显得单薄。

由此可见，虽然是在大量实践和计算支持下获得的规律，但是学生对公式的理性解读还是缺乏的，这就会导致他们在提取知识解决问题时出现混淆，造成学而不精的局面。所以教师要指导探究数学知识内部之间联系，探寻数学知识生长的逻辑联系。

比如，引导学生解读45×8+25×8就是45个8加上25个8得到70个8，是70×8。当然，也可以指导学生这样探究（45+25）×8=（45+25）+（45+25）+（45+25）+（45+25）+（45+25）+（45+25）+（45+25）+（45+25）。上述的数学推演反之也成立的。

经过上述两种思路的深度解读，都是典型的乘法意义再现。当学生用乘法意义再去深究这一学习过程时，就能够有效地打破乘法意义与乘法分配律之间的知识壁垒，从而实现乘法意义与乘法分配律之间逻辑联系，有助于深入学习。

由此可见，教师在乘法分配律教学中不能只满足事理性的探究与解读，更要关注住数学知识之间的逻辑联系，努力通过知识之间的逻辑推理来深化学习理解，加速知识领悟，从而助推学习认知的科学建构、有效建构，真正内化为学生的知识技能与数学素养。

三、引再创造，领悟方法建构

引领学生发现学习活动中的规律，指导他们利用规律进行学习再创造，是建构主义学习理论的实践，是确立“以人为本”教学思想体现。所以在“分数除法”教学中教师就要善于创造条件、把握时机，并搭建好适合学习平台，引导学生进行学习再创造，进而体验方法建构的多样性，让他们在数学学习时更具理性，更显灵性。

1.搭建平台，引发活力学习

首先抓实教材资源，组织例题学习探究。教学中教师要紧紧依托教材，并以例题为源点，创设恰当的探究学习情境，搭建适合的研究学习平台，让每一个学生都能释放个性，进行个性化学习。为此，教学中教师可以从生活化角度去改编例题，给学生一种更亲近的学习感受。像设计这样的话题：猴妈妈拿出4/5升果汁，准备把它平均分给2个猴宝宝喝。问每一个猴宝宝可以喝到多少升的果汁？

学生会根据已经学习过的平均分意义，进行学习迁移，顺利地列出算式—4/5÷2=（？）紧接着，教师就需要创设一个开放式学习情境，鼓励学生自主探索，“想想你能用什么方法把这个除法结果计算出来？”问题会激发学生学习思考活力，促进他们探究投入。

其次发挥个性学习优势，实现思想大碰撞。在一定学习研究之后，有学生这样思考：4/5升等于800毫升，平均分成2份，1份就是800÷2=400（毫升），400毫升是400/1000升，也就是2/5升。也有学生用画图策略来研究：画一个长方形表示1升，4/5升就是把长方形平均分成5份，取其中的4份。这样把4份涂上红色，平均分给2个猴宝宝，只要把红色的4份平均分成2份就可以了，很明显1份就是4÷2=2块涂色部分。不同的思考方式，给学生带来不一样的冲击，相等的结果又能诱发学生更深层次的思考。

2.诱发思考，促再创造学习

首先结合图例以及化升为毫升的学习反刍，学生都能感悟4/5÷2的方法。一是分子4直接除以2，得到2，商就是2/5；二是部分学生理解为平均分成2份，每一份就是单位1的二分之一，所以得出4/5÷2= 4/5×1/2=2/5。

其次是随着教学推进，教师还需要把例题进行拓展，以便于整个分数除以整数除法学习的开展。如：猴妈妈把这些果汁平均分给3个猴宝宝，每一个猴宝宝能分得多少升的果汁呢？教师先是采取放手策略，给学生一个自由发挥机会，旨在让学生借鉴前面的学习积累和经验，促进学习思考朝着多元化方面迈进。同时，也能感受到转化单位、画图这两种方法解决问题的局限性。果不其然，很多学生都能发现转化单位后800毫升除以3是没法整除的，同样用分子4除以3也面临着同样的困难。从而诱使更多的学生去进一步审视化除为乘的思路，探究这一方法的可行性。

再次是正视学生创新思考。就在学生纠结其间，有学生提出新的思考：4/5÷3=12/15÷3，这时就可以用分子直接除以3了。教师在充分肯定这种思路的情况下，引导学生再度思考，如果是5个猴宝宝，那又该如何？在这样情景下学生终于意识到这种类似通分的策略是可行的，先把分数的分子和分母同乘5，再用现在分子除以5。经过分析、思考和同伴争辩等学习活动，学生不仅能较好地掌握分数除以整数计算的基本策略，理解除以整数，乘以几分之一（整数的倒数）。同时，还可以直接把除法变成乘法，分子不变，分母直接乘除数。

综上所述，小学数学教学中教师应把握好《义务教育数学课程标准（2011年版）》精神，既要重视数学学习生活化打造，又要千方百计地引领学生积极融入到数学知识数学化过程。教学中教师要关注深层次的数学化学习体验，让他们在数学学习推演中更理性地解读各种数学现象，提炼出对应的数学规律、概念、性质等。在自主性的再创造学习中，让他们对数学学习的理解达到一个理想层次，进而科学地建构数学认知，促进数学思维、数学活动经验等素养全面发展。