2021年江西预赛压轴题的向量证法与变式探究

上海市育才中学 龚新平 （邮编：201801）

向量是一种重要的数学工具，它在平面几何等诸多学科方面有着重要应用，很多数学结构或关系都可以用向量数量积和向量分解定理等形式来准确表达.2021年全国高中数学预赛试题中很多都有向量的影子，如2021年上海高三数学竞赛填空压轴题就能利用向量表达三点共线的条件加于解决.以下本文将对2021年江西预赛平面几何压轴题利用向量方法给予证明，并在此基础上变式探究几个相关问题.

1 问题呈现

（2021江西预赛）如图1，锐角 △ABC中，以高AD为直径的圆O，交AC、AB于E、F，过 点E、F分别作圆O的切线，若两切线相交于点P，证明：直线AP重合于△ABC的一条中线.

图1

2 向量证明

3 变式探究

3.1 向 量与 中 线 向 量有 怎 样 的 等量关系呢？

分析事实上，若将λ＝μ代入等式①即可得到故向量

改编题1在△ABC中，边BC中点为M，高AD＝2，D为垂足，且BD＝3，CD＝1，以高AD为直径的圆O，交AC、AB于E、F，过点E、F分别作圆O的切线，若两切线相交于点P，求证：

3.2 是否存在点P，使A、B、P、C四点依次构成平行四边形呢？

分析当，即bc＝2R2时构成平行四边形.

改编题2在△ABC中，高AD＝2，D为垂足，且BD＝2，CD＝1，以高AD为直径的圆O，交AC、AB于E、F，过点E、F分别作圆O的切线，若两切线相交于点P，求证：四边形ABPC为平行四边形.

3.3 是否存在点P，使得向量与互为负向量呢？

分析如图2，当即bc＝8R2时

图2

改编题3在△ABC中，边BC中点为M，高AD＝2，D为垂足，且BD＝4，CD＝2，以高AD为直径的圆O，交AC、AB于E、F，过点E、F分别作圆O的切线，若两切线相交于点P，求证：A为MP的中点.

3.4 系数λ的取值范围是什么？点P可以取到直线AM上的哪些点？2

分析如图3，由易知：

图3

4 点评结语

数学竞赛中的平面几何问题一般都要用到一些重要定理，如梅涅劳斯定理、塞瓦定理等，本文仅利用平面向量分解基本定理，结合向量数量积运算，并用新教材中投影向量的概念表达垂直关系，成功建立了系数λ、μ的线性方程组，从而证明了λ＝μ，这是解题的核心与关键！有兴趣的读者可以进一步尝试运用向量方法解答2021年广西预赛的平面几何问题.