一道错题引发的深入思考和拓广探究

安徽省合肥市第八中学 合肥市蒲荣飞教育名师工作室 蒲荣飞 （邮编：230071）

1 原题再现

某校数学新教材选择性必修第一册校本练习册有这样一道题目：

如图1，在梯形ABCD中，已知双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，则双曲线的离心率为____.

图1

将参考答案抄录如下：

2 问题质疑

该问题和解答看似天衣无缝，但是如果结合图象细细品味一下，便会发现其中端倪.如图2所示，由即有|AM|＞|AN|，与实际位置显然不符.

图2

于是，开始怀疑可能是题目本身出了问题.

3 同源题组

为了证实自己的疑虑，笔者搜集了一组类似的试题如下：

试题1（湖南长郡中学高三测试）已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，点E在线段AC上，且双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，则双曲线的离心率e的值为（ ）.

答案：A

试题2（江苏泰州中学高二测试）已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，点E分有向线段所成的比为双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，则双曲线的离心率为____.

答案：3

试题3（四川雅安中学高二测试）已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，点E在线段AC上，且满足双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，双曲线的离心率e的取值范围是（ ）.

答案：A

4 深入思考

那么λ的取值范围是什么呢？笔者从定性的直观感知和定量的操作确认两个视角进行了深入思考.

视角1：直观感知——定性判断

当梯形的上底CD向下逐渐靠近下底AB的过程中，双曲线的张口越来越小；当CD无限逼近AB时，如图3所示双曲线就退缩为两条射线，此时点D和点E重合

图3

而当梯形的上底CD向上逐渐远离下底AB的过程中，双曲线的张口越来越大；当CD无限远离AB时，梯形无限逼近一个矩形，双曲线就退缩为线段AB的中垂线，此时点E即为AC的中点，故可估计λ的取值范围为

视角2：操作确认——定量计算

5 拓广探究

如果将题中的条件|AB|＝2|CD|也一般化呢？进一步进行探究了其拓广问题：

在梯形ABCD中，已知如果双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，那么双曲线的离心率是多少？λ的取值范围又是多少呢？

故λ的取值范围为

6 感悟体会

感悟1：做到科学创编，谨防随意想当然

备、教、批、辅、考是一线教师每天都面对的教学常规工作，其中考试不仅是检测教学效果最有效的手段，它还对教学工作起到了风向标的指导作用.而决定考试质量的最重要因素莫过于试题的质量，命制一份高质量的试卷应该是每一位教师必备的一项基本的技能.

命题也称为创编试题，它分为原创和改编两种主要形式.原创试题往往题目新颖，可以有效克服那些以死记硬背、简单重复、低级模仿为主要形式、单纯以刷题为主要手段的教学弊端，它能够激发学生独立思考、自主探究的热情，能够真正检测学生对数学概念、思想和方法的理解和感悟.同时也对命题者要求较高：要深度理解课标，又准确把握学情；要体现主干知识的交汇，又注重思想方法的融合；要命题立意高远内涵丰富，又角度新颖不落俗套；…….因此对现有试题进行适当的改编便成了一线教师命题时最常采用的方法，相较于原创，改编更便于操作，往往只需改变一下问题情境、更改一下设问方式、修改一下数值字母、颠倒一下题设结论、变换一下图形位置、推广一下一般结论等便可快速得到一道相对质量较高的试题.

但是在一线教学实践中，不时会遇到如同本文展示的类似错题，而造成这种命题失误的主要原因在于命题者在进行试题改编时经常受定势思维影响想当然地随意变换条件.作为命题者务必要具备高度的责任心和严谨的工作态度，要站在试题质量是教学的生命线的高度，从全局整体上去深入思考，严格执行命题的科学流程方能命制出符合要求的高质量试题.

感悟2：善用错误资源，实现价值最大化下

对于错题如果采取将错就错的态度是不尊重科学事实的表现，与数学求真的精神相悖；而如果直接删除或者简单纠错则是一种暴殄天物的浪费行为，着实让人感到可惜.

错题作为一种特别宝贵的资源，一线教师要积极开发和充分利用这种资源，抓住学生喜欢猎奇的心理，鼓励他们深入思考开展探究，从”纠错”到”究错”挖掘出导致命题出现谬误背后的原因或原理，不但使他们的探究能力和思维水平得到发展，而且可以培养他们求真求实的科学精神，从而实现错题资源教育价值的最大化.